Teorema do Valor Intermediário

No estudo da continuidade, vimos que uma função contínua não apresenta "saltos" em seu gráfico.

Essa propriedade permite obter uma importante conclusão: se uma função contínua assume dois valores, então ela também assume todos os valores que estão entre eles.

Esse resultado é conhecido como Teorema do Valor Intermediário.

1. Ideia intuitiva

Imagine uma função contínua definida em um intervalo $[a,b]$.

Suponha que

$$f(a)=2$$

e

$$f(b)=8.$$

Se a função é contínua nesse intervalo, então, para passar do valor $2$ ao valor $8$, ela necessariamente precisa assumir todos os valores entre eles.

Por exemplo, deve existir algum ponto $c\in[a,b]$ tal que

$$f(c)=5.$$

O mesmo vale para qualquer valor $k$ entre $2$ e $8$.

Assim, se

$$2<k<8,$$

então existe algum $c\in[a,b]$ tal que

$$f(c)=k.$$

Essa é a ideia central do Teorema do Valor Intermediário.

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2. Enunciado do Teorema do Valor Intermediário

Seja $f$ uma função contínua no intervalo fechado $[a,b]$.

Se $k$ é um número compreendido entre $f(a)$ e $f(b)$, então existe pelo menos um número $c\in[a,b]$ tal que

$$\boxed{ f(c)=k }$$

Em outras palavras, uma função contínua assume todos os valores intermediários entre $f(a)$ e $f(b)$.

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3. Representação matemática

Suponha, por exemplo, que

$$f(a)<k<f(b).$$

Se $f$ é contínua em $[a,b]$, então existe $c\in(a,b)$ tal que

$$f(c)=k.$$

Também podemos ter

$$f(b)<k<f(a).$$

O teorema continua sendo válido.

Portanto, não importa qual dos extremos possui o maior valor.

O ponto fundamental é que $k$ esteja entre $f(a)$ e $f(b)$.

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4. Por que a continuidade é importante?

A hipótese de continuidade é essencial.

Considere uma função que apresenta um salto.

Por exemplo,

$$f(x)= \begin{cases} 1, & x<0,\\ 5, & x\geq0. \end{cases}$$

Temos

$$f(-1)=1$$

e

$$f(1)=5.$$

Entretanto, a função nunca assume os valores entre $1$ e $5$.

Por exemplo, não existe $x$ tal que

$$f(x)=3.$$

Isso acontece porque a função não é contínua em $x=0$.

Portanto, o Teorema do Valor Intermediário depende diretamente da continuidade.

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5. Aplicação: provar a existência de uma raiz

Uma das aplicações mais importantes do Teorema do Valor Intermediário é provar que uma equação possui pelo menos uma solução.

Considere uma função contínua $f$ em $[a,b]$.

Se

$$f(a)<0$$

e

$$f(b)>0,$$

então o número $0$ está entre $f(a)$ e $f(b)$.

Pelo Teorema do Valor Intermediário, existe $c\in(a,b)$ tal que

$$f(c)=0.$$

Portanto,

$$\boxed{ f(c)=0 }$$

e, consequentemente, $c$ é uma raiz da função.

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6. Critério para existência de uma raiz

Podemos resumir esse resultado da seguinte forma.

Se $f$ é contínua em $[a,b]$ e

$$f(a)\cdot f(b)<0,$$

então existe pelo menos um $c\in(a,b)$ tal que

$$\boxed{ f(c)=0 }$$

Esse resultado é uma consequência direta do Teorema do Valor Intermediário.

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7. Exemplo: provar que uma equação possui solução

Considere a equação

$$x^3+x-1=0.$$

Queremos mostrar que essa equação possui pelo menos uma solução no intervalo $[0,1]$.

Definimos

$$f(x)=x^3+x-1.$$

Como $f$ é um polinômio, ela é contínua em todo $\mathbb{R}$.

Agora calculamos os valores nos extremos.

Para $x=0$:

$$f(0)=0^3+0-1=-1.$$

Para $x=1$:

$$f(1)=1^3+1-1=1.$$

Portanto,

$$f(0)<0$$

e

$$f(1)>0.$$

Logo,

$$f(0)\cdot f(1)<0.$$

Pelo Teorema do Valor Intermediário, existe $c\in(0,1)$ tal que

$$f(c)=0.$$

Portanto, a equação

$$x^3+x-1=0$$

possui pelo menos uma solução no intervalo $(0,1)$.

Observe que não precisamos encontrar o valor exato dessa solução.

O teorema nos permite apenas garantir sua existência.

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8. O teorema não fornece necessariamente a solução

É importante compreender uma característica do Teorema do Valor Intermediário.

Ele garante a existência de um ponto $c$, mas não necessariamente fornece seu valor.

Por exemplo, no problema anterior sabemos que existe

$$c\in(0,1)$$

tal que

$$c^3+c-1=0.$$

Entretanto, o teorema não informa diretamente qual é o valor de $c$.

Para encontrar uma aproximação numérica, podemos utilizar métodos específicos, como o método da bisseção.

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9. Exemplo geométrico

Considere novamente uma função contínua $f$ em $[a,b]$.

Suponha que

$$f(a)<0$$

e

$$f(b)>0.$$

Geometricamente, o gráfico começa abaixo do eixo $x$ e termina acima dele.

Como a função é contínua, o gráfico precisa cruzar o eixo $x$ em algum ponto.

Esse ponto possui coordenada $x=c$ e satisfaz

$$f(c)=0.$$

Assim, o Teorema do Valor Intermediário garante matematicamente a existência desse cruzamento.

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10. Exemplo

Mostre que a equação

$$x^2-2=0$$

possui uma solução no intervalo $[1,2]$.

Definimos

$$f(x)=x^2-2.$$

A função é um polinômio e, portanto, é contínua em $[1,2]$.

Calculando os extremos:

$$f(1)=1^2-2=-1$$

e

$$f(2)=2^2-2=2.$$

Assim,

$$f(1)<0$$

e

$$f(2)>0.$$

Logo,

$$f(1)\cdot f(2)<0.$$

Pelo Teorema do Valor Intermediário, existe $c\in(1,2)$ tal que

$$f(c)=0.$$

Portanto,

$$c^2-2=0.$$

Concluímos que a equação possui pelo menos uma solução no intervalo $(1,2)$.

De fato, essa solução é

$$c=\sqrt2.$$

Mas observe que o objetivo do Teorema do Valor Intermediário era garantir a existência da solução.

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11. Uma consequência importante

O Teorema do Valor Intermediário também pode ser utilizado para localizar raízes.

Suponha que $f$ seja contínua e que

$$f(a)\cdot f(b)<0.$$

Então sabemos que existe uma raiz entre $a$ e $b$.

Podemos então dividir o intervalo em partes menores e repetir o processo.

Essa ideia é a base do método da bisseção.

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12. Resumo

O Teorema do Valor Intermediário afirma que uma função contínua assume todos os valores intermediários entre dois valores que ela assume.

Se $f$ é contínua em $[a,b]$ e $k$ está entre $f(a)$ e $f(b)$, então existe $c\in[a,b]$ tal que

$$\boxed{ f(c)=k }$$

Um caso particularmente importante ocorre quando

$$f(a)\cdot f(b)<0.$$

Nesse caso, existe pelo menos uma raiz $c\in(a,b)$ tal que

$$\boxed{ f(c)=0. }$$

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13. Próximo passo

O Teorema do Valor Intermediário garante a existência de uma raiz, mas ainda podemos querer encontrar uma aproximação para essa raiz.

Para isso, estudaremos o Método da Bisseção, que utiliza repetidamente a ideia do Teorema do Valor Intermediário para reduzir o intervalo onde a raiz está localizada.