Introdução aos Limites

O conceito de limite é uma das ideias fundamentais do Cálculo Diferencial e Integral.

Ele nos permite estudar o comportamento de uma função quando a variável independente se aproxima de determinado valor.

A ideia central é simples:

O limite descreve para qual valor uma função se aproxima quando $x$ se aproxima de determinado número.

1. A ideia intuitiva de limite

Considere a função

$$f(x)=2x+1.$$

Queremos descobrir o que acontece com $f(x)$ quando $x$ se aproxima de $3$.

Podemos calcular alguns valores próximos de $3$:

$x$	$f(x)=2x+1$
$2$	$5$
$2{,}9$	$6{,}8$
$2{,}99$	$6{,}98$
$2{,}999$	$6{,}998$
$3$	$7$
$3{,}001$	$7{,}002$
$3{,}01$	$7{,}02$
$3{,}1$	$7{,}2$
$4$	$9$

Percebemos que, à medida que $x$ se aproxima de $3$, os valores de $f(x)$ se aproximam de $7$.

Escrevemos:

$$\boxed{\lim_{x\to3}f(x)=7}$$

ou, substituindo $f(x)=2x+1$,

$$\boxed{\lim_{x\to3}(2x+1)=7}.$$

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2. O que significa $x\to a$?

A notação

$$x\to a$$

significa que $x$ está se aproximando de $a$.

Isso não significa necessariamente que $x=a$.

Por exemplo, quando escrevemos

$$x\to2,$$

podemos ter valores como

$$1{,}9,\quad 1{,}99,\quad 1{,}999,\quad 2{,}001,\quad 2{,}01,\quad 2{,}1.$$

Todos esses valores estão próximos de $2$, mas são diferentes de $2$.

Essa distinção será muito importante no estudo dos limites.

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3. O significado da expressão $\lim_{x\to a}f(x)$

A expressão

$$\lim_{x\to a}f(x)=L$$

deve ser lida como:

Quando $x$ se aproxima de $a$, os valores de $f(x)$ se aproximam de $L$.

Por exemplo,

$$\lim_{x\to2}(x^2+1)=5.$$

Isso significa que, quando $x$ se aproxima de $2$, o valor de $x^2+1$ se aproxima de $5$.

Observe que estamos interessados no comportamento da função nas proximidades de $2$.

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4. Limite não é necessariamente o valor da função

Um dos pontos mais importantes no estudo dos limites é entender que

$$\lim_{x\to a}f(x)$$

e

$$f(a)$$

são conceitos diferentes.

Considere, por exemplo,

$$f(x)= \begin{cases} x+1, & x\neq2,\\ 10, & x=2. \end{cases}$$

Para valores de $x$ próximos de $2$, mas diferentes de $2$, temos

$$f(x)=x+1.$$

Assim,

$$\lim_{x\to2}f(x)=3.$$

Entretanto,

$$f(2)=10.$$

Portanto,

$$\boxed{\lim_{x\to2}f(x)=3}$$

enquanto

$$\boxed{f(2)=10}.$$

O limite depende do comportamento da função próximo de $2$, e não necessariamente do valor atribuído à função exatamente em $2$.

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5. Aproximação pela esquerda e pela direita

Quando $x$ se aproxima de um número $a$, podemos nos aproximar de duas maneiras:

• pela esquerda;
• pela direita.

Pela esquerda

Escrevemos

$$x\to a^-$$

e isso significa que $x$ se aproxima de $a$ assumindo valores menores que $a$.

Por exemplo:

$$1{,}9,\quad1{,}99,\quad1{,}999,\ldots$$

quando $a=2$.

O limite correspondente é chamado de limite lateral pela esquerda:

$$\lim_{x\to a^-}f(x).$$

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Pela direita

Escrevemos

$$x\to a^+$$

e isso significa que $x$ se aproxima de $a$ assumindo valores maiores que $a$.

Por exemplo:

$$2{,}1,\quad2{,}01,\quad2{,}001,\ldots$$

quando $a=2$.

O limite correspondente é chamado de limite lateral pela direita:

$$\lim_{x\to a^+}f(x).$$

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6. Quando o limite existe?

Para que exista o limite

$$\lim_{x\to a}f(x),$$

os limites laterais devem existir e ser iguais.

Ou seja,

$$\boxed{ \lim_{x\to a^-}f(x) = \lim_{x\to a^+}f(x) }$$

Nesse caso, podemos escrever

$$\lim_{x\to a}f(x)=L.$$

Exemplo

Considere uma função cujo comportamento próximo de $2$ seja tal que

$$\lim_{x\to2^-}f(x)=5$$

e

$$\lim_{x\to2^+}f(x)=5.$$

Como os dois limites laterais são iguais, temos

$$\boxed{\lim_{x\to2}f(x)=5}.$$

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7. Quando o limite não existe?

Considere agora uma função para a qual

$$\lim_{x\to2^-}f(x)=3$$

e

$$\lim_{x\to2^+}f(x)=7.$$

Como

$$3\neq7,$$

os limites laterais são diferentes.

Portanto,

$$\boxed{\lim_{x\to2}f(x)\text{ não existe}.}$$

Essa situação é muito importante para o estudo da continuidade.

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8. Calculando limites por substituição direta

Em muitas funções, podemos calcular o limite simplesmente substituindo o valor para o qual $x$ está se aproximando.

Por exemplo:

$$\lim_{x\to3}(x^2+2x+1).$$

Substituindo $x=3$:

$$3^2+2(3)+1.$$

Então,

$$9+6+1=16.$$

Logo,

$$\boxed{ \lim_{x\to3}(x^2+2x+1)=16 }.$$

Isso acontece porque os polinômios são funções contínuas em todos os números reais.

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9. Um exemplo em que a substituição direta falha

Considere

$$\lim_{x\to2}\frac{x^2-4}{x-2}.$$

Se substituirmos diretamente $x=2$, obtemos

$$\frac{2^2-4}{2-2} = \frac00.$$

A expressão $\frac00$ é uma indeterminação.

Isso não significa que o limite não exista.

Precisamos manipular a expressão antes de calcular o limite.

Fatorando o numerador:

$$x^2-4=(x-2)(x+2).$$

Assim,

$$\frac{x^2-4}{x-2} = \frac{(x-2)(x+2)}{x-2}.$$

Para $x\neq2$, podemos simplificar:

$$\frac{x^2-4}{x-2}=x+2.$$

Portanto,

$$\lim_{x\to2}\frac{x^2-4}{x-2} = \lim_{x\to2}(x+2).$$

Agora podemos fazer a substituição direta:

$$2+2=4.$$

Logo,

$$\boxed{ \lim_{x\to2}\frac{x^2-4}{x-2}=4 }.$$

Esse exemplo mostra uma ideia fundamental:

Uma indeterminação como $\frac00$ não é o resultado do limite. Ela indica que precisamos realizar algum procedimento algébrico antes de concluir o valor do limite.

10. Limites e o gráfico de uma função

O conceito de limite também pode ser entendido geometricamente.

Quando escrevemos

$$\lim_{x\to a}f(x)=L,$$

estamos dizendo que, ao observar o gráfico da função cada vez mais próximo da reta vertical $x=a$, os valores de $y$ se aproximam de $L$.

Visualmente, podemos pensar que o ponto

$$(a,L)$$

indica para onde o gráfico está se dirigindo quando $x$ se aproxima de $a$.

Isso continua sendo válido mesmo que o ponto $(a,L)$ não pertença ao gráfico.

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11. Limites no infinito

Também podemos estudar o comportamento de uma função quando $x$ cresce indefinidamente.

Nesse caso, utilizamos a notação

$$x\to+\infty.$$

Por exemplo,

$$\lim_{x\to+\infty}\frac1x=0.$$

Isso significa que, à medida que $x$ cresce cada vez mais, o valor de $\frac1x$ se aproxima cada vez mais de $0$.

De maneira semelhante,

$$\lim_{x\to-\infty}\frac1x=0.$$

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12. Por que os limites são importantes?

O conceito de limite é a base para vários conceitos fundamentais do Cálculo.

A partir dos limites, podemos construir:

• continuidade;
• derivadas;
• taxas de variação instantâneas;
• integrais;
• áreas e volumes;
• séries e aproximações.

Por exemplo, a derivada de uma função pode ser definida por meio do limite

$$f'(x) = \lim_{h\to0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}.$$

Portanto, dominar limites é essencial para avançar no estudo de Cálculo I.

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13. Resumo

O conceito fundamental pode ser resumido da seguinte maneira:

$$\boxed{ \lim_{x\to a}f(x)=L }$$

significa que os valores de $f(x)$ se aproximam de $L$ quando $x$ se aproxima de $a$.

Devemos lembrar que:

1. $x\to a$ significa que $x$ se aproxima de $a$;
2. o limite não depende necessariamente de $f(a)$;
3. o limite pela esquerda é representado por $x\to a^-$;
4. o limite pela direita é representado por $x\to a^+$;
5. o limite existe quando os limites laterais são iguais;
6. a substituição direta funciona em muitos casos;
7. expressões como $\frac00$ são indeterminações e exigem uma análise adicional;
8. os limites são a base para o estudo das derivadas e da continuidade.

No próximo tópico, podemos estudar as propriedades dos limites e as principais técnicas para calcular limites, incluindo fatoração, racionalização e limites laterais.