Continuidade de uma Função

Depois de estudar os limites fundamentais, podemos utilizar os limites para compreender quando uma função é contínua.

A continuidade é um dos conceitos fundamentais do Cálculo, pois estabelece uma relação entre o comportamento de uma função próximo de um ponto e o seu próprio valor nesse ponto.

1. Ideia intuitiva de continuidade

Uma função é contínua em um ponto quando seu comportamento não apresenta uma "quebra" naquele ponto.

Intuitivamente, podemos pensar em uma função contínua como aquela cujo gráfico pode ser desenhado próximo ao ponto sem precisar "levantar o lápis".

Entretanto, essa interpretação geométrica é apenas uma ideia inicial. A definição matemática será feita utilizando limites.

2. Continuidade em um ponto

Considere uma função $f$ definida em um intervalo que contém o ponto $a$.

Dizemos que $f$ é contínua em $a$ quando

$$\boxed{ \lim_{x\to a}f(x)=f(a) }$$

Essa igualdade é a definição fundamental de continuidade.

3. As três condições da continuidade

Para que uma função seja contínua em $a$, precisamos verificar três condições:

1. $f(a)$ deve existir;
2. $\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)$ deve existir;
3. Os dois valores devem ser iguais:

$$\lim_{x\to a}f(x)=f(a).$$

Portanto,

$$\boxed{ f \text{ é contínua em } a \iff \lim_{x\to a}f(x)=f(a) }$$

4. Exemplo de função contínua

Considere

$$f(x)=x^2+3x-1.$$

Queremos verificar se $f$ é contínua em $x=2$.

Primeiro, calculamos o valor da função:

$$f(2)=2^2+3(2)-1.$$

Logo,

$$f(2)=4+6-1=9.$$

Agora calculamos o limite:

$$\lim_{x\to2}(x^2+3x-1).$$

Como se trata de um polinômio, podemos utilizar a substituição direta:

$$\lim_{x\to2}(x^2+3x-1) = 2^2+3(2)-1 = 9.$$

Assim,

$$\lim_{x\to2}f(x)=f(2)=9.$$

Portanto,

$$\boxed{ f \text{ é contínua em } x=2 }$$

5. Exemplo de função descontínua

Considere

$$f(x)= \begin{cases} x+1, & x\neq2,\\ 5, & x=2. \end{cases}$$

Vamos verificar a continuidade em $x=2$.

Calculando o limite:

$$\lim_{x\to2}f(x) = \lim_{x\to2}(x+1) = 3.$$

Por outro lado,

$$f(2)=5.$$

Como

$$\lim_{x\to2}f(x)\neq f(2),$$

a função não é contínua em $x=2$.

Portanto,

$$\boxed{ f \text{ é descontínua em } x=2 }$$

6. Continuidade lateral

Em algumas situações, especialmente quando uma função é definida por partes, precisamos analisar separadamente o comportamento da função pela esquerda e pela direita.

Lembre que um limite bilateral existe quando os limites laterais existem e são iguais:

$$\lim_{x\to a}f(x)=L$$

se, e somente se,

$$\lim_{x\to a^-}f(x) = \lim_{x\to a^+}f(x) = L.$$

Assim, para verificar a continuidade de uma função em $a$, podemos comparar os limites laterais com o valor da função.

Exemplo

Considere a função

$$f(x)= \begin{cases} x+2, & x<1,\\ 4, & x=1,\\ 2x+1, & x>1. \end{cases}$$

Vamos verificar se $f$ é contínua em $x=1$.

Primeiro, calculamos o limite pela esquerda:

$$\lim_{x\to1^-}f(x) = \lim_{x\to1^-}(x+2).$$

Portanto,

$$\lim_{x\to1^-}f(x)=3.$$

Agora calculamos o limite pela direita:

$$\lim_{x\to1^+}f(x) = \lim_{x\to1^+}(2x+1).$$

Logo,

$$\lim_{x\to1^+}f(x)=3.$$

Como os limites laterais são iguais,

$$\lim_{x\to1}f(x)=3.$$

Porém,

$$f(1)=4.$$

Assim,

$$\lim_{x\to1}f(x)\neq f(1).$$

Portanto, a função não é contínua em $x=1$.

$$\boxed{ f \text{ é descontínua em } x=1 }$$

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7. Funções contínuas em um intervalo

Uma função é contínua em um intervalo quando é contínua em todos os pontos desse intervalo.

Por exemplo, considere

$$f(x)=x^2.$$

Como os polinômios são contínuos em todos os números reais, temos

$$\boxed{ f(x)=x^2 \text{ é contínua em } \mathbb{R} }$$

Em particular, podemos escrever

$$\lim_{x\to a}x^2=a^2=f(a)$$

para qualquer $a\in\mathbb{R}$.

Continuidade em intervalos fechados

Quando consideramos um intervalo fechado $[a,b]$, a continuidade é analisada:

• nos pontos interiores, utilizando o limite bilateral;
• no extremo $a$, utilizando o limite pela direita;
• no extremo $b$, utilizando o limite pela esquerda.

Assim, uma função $f$ é contínua em $[a,b]$ quando é contínua em todos os pontos interiores e satisfaz

$$\lim_{x\to a^+}f(x)=f(a)$$

e

$$\lim_{x\to b^-}f(x)=f(b).$$

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8. Tipos de descontinuidade

Quando uma função não é contínua em determinado ponto, dizemos que ela apresenta uma descontinuidade nesse ponto.

Existem diferentes tipos de descontinuidade.

Os principais são:

1. descontinuidade removível;
2. descontinuidade de salto;
3. descontinuidade infinita.

A classificação depende do comportamento dos limites laterais e do valor da função.

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9. Descontinuidade removível

Considere uma função para a qual

$$\lim_{x\to a}f(x)=L$$

existe, mas

$$f(a)\neq L$$

ou $f(a)$ não está definida.

Nesse caso, temos uma descontinuidade removível.

O nome vem do fato de que, em determinadas situações, podemos eliminar a descontinuidade definindo adequadamente o valor da função no ponto.

Exemplo

Considere

$$f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}.$$

Para $x\neq1$, podemos fatorar o numerador:

$$x^2-1=(x-1)(x+1).$$

Portanto,

$$f(x) = \frac{(x-1)(x+1)}{x-1}.$$

Para $x\neq1$,

$$f(x)=x+1.$$

Assim,

$$\lim_{x\to1}f(x) = \lim_{x\to1}(x+1) = 2.$$

Entretanto, a expressão original não está definida em $x=1$, pois teríamos

$$\frac{1^2-1}{1-1} = \frac00.$$

Portanto,

$$\boxed{ \lim_{x\to1}f(x)=2 }$$

mas $f(1)$ não existe.

Temos, portanto, uma descontinuidade removível em $x=1$.

Se definirmos uma nova função por

$$g(x)= \begin{cases} \dfrac{x^2-1}{x-1}, & x\neq1,\\ 2, & x=1, \end{cases}$$

então

$$\lim_{x\to1}g(x)=g(1)=2.$$

Logo, $g$ é contínua em $x=1$.

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10. Descontinuidade de salto

Uma função apresenta uma descontinuidade de salto quando os limites laterais existem, mas possuem valores diferentes:

$$\lim_{x\to a^-}f(x) \neq \lim_{x\to a^+}f(x).$$

Nesse caso, o limite bilateral

$$\lim_{x\to a}f(x)$$

não existe.

Exemplo

Considere

$$f(x)= \begin{cases} 1, & x<0,\\ 3, & x\geq0. \end{cases}$$

Calculando o limite pela esquerda:

$$\lim_{x\to0^-}f(x)=1.$$

Pela direita:

$$\lim_{x\to0^+}f(x)=3.$$

Como

$$1\neq3,$$

os limites laterais são diferentes.

Portanto,

$$\lim_{x\to0}f(x)$$

não existe.

Assim, $f$ apresenta uma descontinuidade de salto em $x=0$.

$$\boxed{ \lim_{x\to0^-}f(x) \neq \lim_{x\to0^+}f(x) }$$

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11. Descontinuidade infinita

Uma função apresenta uma descontinuidade infinita quando seus valores crescem ou decrescem sem limite quando $x$ se aproxima de determinado ponto.

Por exemplo, considere

$$f(x)=\frac{1}{x}.$$

Quando $x$ se aproxima de $0$ pela direita,

$$\lim_{x\to0^+}\frac1x=+\infty.$$

Enquanto, pela esquerda,

$$\lim_{x\to0^-}\frac1x=-\infty.$$

Portanto, a função apresenta uma descontinuidade infinita em $x=0$.

Nesse caso, a reta

$$x=0$$

é uma assíntota vertical do gráfico da função.

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12. Como identificar uma descontinuidade?

Ao analisar uma função em um ponto $x=a$, podemos seguir uma sequência de passos.

Passo 1 — Calcule $f(a)$

Verifique se o valor da função está definido.

Passo 2 — Calcule os limites laterais

Determine

$$\lim_{x\to a^-}f(x)$$

e

$$\lim_{x\to a^+}f(x).$$

Passo 3 — Compare os limites laterais

Se

$$\lim_{x\to a^-}f(x) \neq \lim_{x\to a^+}f(x),$$

o limite bilateral não existe e temos uma descontinuidade de salto.

Se os limites laterais forem iguais, podemos escrever

$$\lim_{x\to a}f(x)=L.$$

Passo 4 — Compare o limite com $f(a)$

Se

$$\lim_{x\to a}f(x)=f(a),$$

a função é contínua em $a$.

Caso contrário, existe uma descontinuidade.

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13. Resumo

Para verificar se uma função é contínua em $a$, devemos verificar:

$$\boxed{ \lim_{x\to a}f(x)=f(a) }$$

Isso exige que:

$$\boxed{ \begin{aligned} &f(a)\text{ exista},\\ &\lim_{x\to a}f(x)\text{ exista},\\ &\lim_{x\to a}f(x)=f(a). \end{aligned} }$$

Quando essas condições não são satisfeitas, podemos encontrar diferentes tipos de descontinuidade.

Tipo	Característica
Removível	O limite existe, mas não coincide com o valor da função ou a função não está definida
Salto	Os limites laterais existem, mas são diferentes
Infinita	A função tende a $+\infty$ ou $-\infty$

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14. Próximo passo

A continuidade não é apenas uma propriedade isolada. Ela possui consequências importantes para o comportamento das funções.

No próximo tópico, estudaremos alguns dos principais teoremas sobre funções contínuas, começando pelo Teorema do Valor Intermediário.