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Assíntota Oblíqua

Nos tópicos anteriores, estudamos as assíntotas verticais e horizontais.

Uma assíntota vertical aparece quando a função cresce ou decresce indefinidamente próximo de determinado valor de xx.

Uma assíntota horizontal aparece quando a função se aproxima de uma constante à medida que xx tende a +∞+\infty ou −∞-\infty.

Agora estudaremos outro tipo de comportamento: a função pode se aproximar de uma reta inclinada.

Essa reta é chamada de assíntota oblíqua.

1. O que é uma assíntota oblíqua?​

Uma reta da forma

y=mx+b,y=mx+b,

com

m≠0,m\neq0,

é uma assíntota oblíqua de uma função quando a diferença entre a função e essa reta tende a zero.

Matematicamente, para x→+∞x\to+\infty,

lim⁡x→+∞[f(x)−(mx+b)]=0\boxed{ \lim_{x\to+\infty} \left[f(x)-(mx+b)\right] =0 }

Nesse caso, dizemos que

y=mx+by=mx+b

é uma assíntota oblíqua para x→+∞x\to+\infty.

O mesmo conceito pode ser analisado quando

x→−∞.x\to-\infty.

2. Interpretação geométrica​

Imagine o gráfico de uma função e uma reta inclinada.

À medida que xx cresce, o gráfico pode não se aproximar de uma reta horizontal.

Em vez disso, ele pode acompanhar uma reta inclinada cada vez mais de perto.

Nesse caso, temos uma assíntota oblíqua.

A ideia é:

f(x)≈mx+bf(x)\approx mx+b

quando xx é suficientemente grande em módulo.

3. Quando uma função racional possui assíntota oblíqua?​

Para funções racionais, uma situação muito importante ocorre quando o grau do numerador é exatamente uma unidade maior que o grau do denominador.

Considere

f(x)=P(x)Q(x).f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}.

Se

deg⁡P=deg⁡Q+1,\deg P=\deg Q+1,

podemos realizar a divisão polinomial.

O quociente será uma função do primeiro grau:

mx+b.mx+b.

Essa reta será a assíntota oblíqua.

4. Exemplo simples​

Considere

f(x)=x2+1x.f(x)=\frac{x^2+1}{x}.

Podemos dividir cada termo por xx:

f(x)=x+1x.f(x)=x+\frac1x.

Quando

x→+∞,x\to+\infty,

temos

1x→0.\frac1x\to0.

Portanto,

f(x)−x=1x→0.f(x)-x=\frac1x\to0.

Logo,

y=x\boxed{y=x}

é uma assíntota oblíqua.

5. Verificando pela definição​

Temos

f(x)=x+1x.f(x)=x+\frac1x.

Queremos verificar se

y=xy=x

é uma assíntota.

Calculamos:

f(x)−x=x+1x−x.f(x)-x = x+\frac1x-x.

Logo,

f(x)−x=1x.f(x)-x=\frac1x.

Como

lim⁡x→±∞1x=0,\lim_{x\to\pm\infty}\frac1x=0,

concluímos que

lim⁡x→±∞[f(x)−x]=0.\boxed{ \lim_{x\to\pm\infty}[f(x)-x]=0 }.

Portanto, y=xy=x é uma assíntota oblíqua.

6. Encontrando a assíntota por divisão de polinômios​

Considere agora

f(x)=x2+3x+2x+1.f(x)=\frac{x^2+3x+2}{x+1}.

Realizando a divisão polinomial:

x2+3x+2x+1=x+2.\frac{x^2+3x+2}{x+1} = x+2.

De fato,

(x+1)(x+2)=x2+3x+2.(x+1)(x+2) = x^2+3x+2.

Nesse exemplo, não sobra resto.

Portanto,

f(x)=x+2f(x)=x+2

para todo x≠−1x\neq-1.

Assim, o gráfico coincide com a reta

y=x+2y=x+2

exceto no ponto x=−1x=-1.

A reta

y=x+2\boxed{y=x+2}

é a assíntota oblíqua.

7. Exemplo com resto​

Considere

f(x)=x2+2x−1.f(x)=\frac{x^2+2}{x-1}.

Realizando a divisão:

x2+2=(x−1)(x+1)+3.x^2+2 = (x-1)(x+1)+3.

Portanto,

x2+2x−1=x+1+3x−1.\frac{x^2+2}{x-1} = x+1+\frac3{x-1}.

Assim,

f(x)=x+1+3x−1.f(x) = x+1+\frac3{x-1}.

Quando

x→±∞,x\to\pm\infty,

temos

3x−1→0.\frac3{x-1}\to0.

Logo,

f(x)−(x+1)=3x−1→0.f(x)-(x+1) = \frac3{x-1} \to0.

Portanto,

y=x+1\boxed{y=x+1}

é uma assíntota oblíqua.

8. A ideia por trás da divisão​

A divisão polinomial nos permite escrever uma função racional na forma

f(x)=q(x)+r(x)Q(x),f(x)=q(x)+\frac{r(x)}{Q(x)},

onde q(x)q(x) é o quociente e r(x)r(x) é o resto.

Quando o grau do numerador é exatamente uma unidade maior que o grau do denominador, o quociente possui a forma

q(x)=mx+b.q(x)=mx+b.

Além disso,

r(x)Q(x)→0\frac{r(x)}{Q(x)}\to0

quando x→±∞x\to\pm\infty.

Assim,

f(x)≈mx+b.f(x)\approx mx+b.

Portanto,

y=mx+b\boxed{y=mx+b}

é a assíntota oblíqua.

9. Exemplo resolvido​

🧩 Exercício 1 Média

Determine a assíntota oblíqua da função

f(x)=x2+4x+1x+2.f(x)=\frac{x^2+4x+1}{x+2}.

Realizamos a divisão polinomial.

Temos

x2+4x+1=(x+2)(x+2)−3.x^2+4x+1 = (x+2)(x+2)-3.

Portanto,

x2+4x+1x+2=x+2−3x+2.\frac{x^2+4x+1}{x+2} = x+2-\frac3{x+2}.

Quando

x→±∞,x\to\pm\infty,

temos

3x+2→0.\frac3{x+2}\to0.

Assim,

f(x)−(x+2)=−3x+2→0.f(x)-(x+2) = -\frac3{x+2} \to0.

Logo, a assíntota oblíqua é

y=x+2.\boxed{y=x+2}.

10. Exemplo resolvido​

🧩 Exercício 2 Média

Determine a assíntota oblíqua da função

f(x)=2x2−3x+5x−1.f(x)=\frac{2x^2-3x+5}{x-1}.

Realizando a divisão polinomial:

2x2−3x+5=(x−1)(2x−1)+4.2x^2-3x+5 = (x-1)(2x-1)+4.

Portanto,

f(x)=2x−1+4x−1.f(x) = 2x-1+\frac4{x-1}.

Quando

x→±∞,x\to\pm\infty,

temos

4x−1→0.\frac4{x-1}\to0.

Assim,

f(x)−(2x−1)→0.f(x)-(2x-1) \to0.

Logo,

y=2x−1\boxed{y=2x-1}

é a assíntota oblíqua.

11. Exemplo resolvido​

🧩 Exercício 3 Média

Considere

f(x)=x2+1x+1.f(x)=\frac{x^2+1}{x+1}.

Determine a assíntota oblíqua.

Realizando a divisão:

x2+1=(x+1)(x−1)+2.x^2+1 = (x+1)(x-1)+2.

Logo,

x2+1x+1=x−1+2x+1.\frac{x^2+1}{x+1} = x-1+\frac2{x+1}.

Quando

x→±∞,x\to\pm\infty,

temos

2x+1→0.\frac2{x+1}\to0.

Portanto,

y=x−1\boxed{y=x-1}

é a assíntota oblíqua.

12. Uma função pode ter assíntota vertical e oblíqua​

Considere novamente

f(x)=x2+2x−1.f(x)=\frac{x^2+2}{x-1}.

Já vimos que

f(x)=x+1+3x−1.f(x)=x+1+\frac3{x-1}.

Como o denominador se aproxima de zero quando

x→1,x\to1,

temos uma assíntota vertical:

x=1.\boxed{x=1}.

Por outro lado, quando

x→±∞,x\to\pm\infty,

o termo

3x−1\frac3{x-1}

tende a zero.

Portanto, temos também a assíntota oblíqua:

y=x+1.\boxed{y=x+1}.

Assim, uma mesma função pode apresentar diferentes tipos de assíntota.

13. Assíntota horizontal ou oblíqua?​

Para funções racionais, a comparação dos graus ajuda a identificar rapidamente o comportamento no infinito.

Considere

f(x)=P(x)Q(x).f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}.

Caso 1 — Numerador com grau menor​

Se

deg⁡P<deg⁡Q,\deg P<\deg Q,

então

lim⁡x→±∞f(x)=0.\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=0.

A assíntota horizontal é

y=0.\boxed{y=0}.

Caso 2 — Graus iguais​

Se

deg⁡P=deg⁡Q,\deg P=\deg Q,

a função possui uma assíntota horizontal dada pela razão entre os coeficientes líderes.

Caso 3 — Numerador com grau exatamente uma unidade maior​

Se

deg⁡P=deg⁡Q+1,\deg P=\deg Q+1,

podemos obter uma assíntota oblíqua por meio da divisão polinomial.

Caso 4 — Diferença de graus maior que 11​

Se

deg⁡P>deg⁡Q+1,\deg P>\deg Q+1,

a divisão polinomial produz um polinômio de grau maior ou igual a 22.

Nesse caso, não temos uma assíntota horizontal nem uma assíntota oblíqua linear.

14. Como encontrar uma assíntota oblíqua​

Podemos utilizar o seguinte procedimento:

  1. compare os graus do numerador e do denominador;
  2. verifique se a diferença entre os graus é exatamente 11;
  3. realize a divisão polinomial;
  4. escreva a função como
f(x)=mx+b+r(x)Q(x);f(x)=mx+b+\frac{r(x)}{Q(x)};
  1. verifique que
r(x)Q(x)→0;\frac{r(x)}{Q(x)}\to0;
  1. conclua que
y=mx+b\boxed{y=mx+b}

é a assíntota oblíqua.

15. Resumo​

Uma reta

y=mx+b,m≠0,y=mx+b, \qquad m\neq0,

é uma assíntota oblíqua quando

lim⁡x→±∞[f(x)−(mx+b)]=0.\boxed{ \lim_{x\to\pm\infty} [f(x)-(mx+b)] =0. }

Para funções racionais, ela aparece naturalmente quando

deg⁡P=deg⁡Q+1.\boxed{ \deg P=\deg Q+1. }

A principal ferramenta para encontrá-la é a divisão polinomial.

Por exemplo,

x2+2x−1=x+1+3x−1.\frac{x^2+2}{x-1} = x+1+\frac3{x-1}.

Como

3x−1→0,\frac3{x-1}\to0,

temos

y=x+1\boxed{y=x+1}

como assíntota oblíqua.

16. Visão geral das assíntotas​

Agora podemos reunir os principais tipos estudados.

Assíntota vertical​

x=a\boxed{x=a}

quando a função tende a ±∞\pm\infty quando x→ax\to a por pelo menos um dos lados.

Assíntota horizontal​

y=L\boxed{y=L}

quando

lim⁡x→±∞f(x)=L.\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=L.

Assíntota oblíqua​

y=mx+b\boxed{y=mx+b}

quando

lim⁡x→±∞[f(x)−(mx+b)]=0.\lim_{x\to\pm\infty} [f(x)-(mx+b)] =0.