Até agora, estudamos limites em que a variável x x x
Por exemplo,
lim x → 2 f ( x ) . \lim_{x\to2}f(x). x → 2 lim f ( x ) . Agora estudaremos uma situação diferente: o comportamento da função quando x x x
Nesse caso, analisamos limites da forma
lim x → + ∞ f ( x ) \lim_{x\to+\infty}f(x) x → + ∞ lim f ( x ) e
lim x → − ∞ f ( x ) . \lim_{x\to-\infty}f(x). x → − ∞ lim f ( x ) . Esses limites são chamados de limites no infinito .
1. O que significa x → + ∞ x\to+\infty x → + ∞
Quando escrevemos
x → + ∞ , x\to+\infty, x → + ∞ , não estamos dizendo que x x x
O símbolo + ∞ +\infty + ∞
Assim,
x → + ∞ x\to+\infty x → + ∞ significa que x x x
10 , 100 , 1000 , 10000 , … 10,\quad100,\quad1000,\quad10000,\quad\ldots 10 , 100 , 1000 , 10000 , … Por exemplo,
lim x → + ∞ 1 x = 0. \lim_{x\to+\infty}\frac1x=0. x → + ∞ lim x 1 = 0. Isso significa que, à medida que x x x 1 x \frac1x x 1 0 0 0
2. O que significa x → − ∞ x\to-\infty x → − ∞
De maneira semelhante,
x → − ∞ x\to-\infty x → − ∞ significa que x x x
− 10 , − 100 , − 1000 , − 10000 , … -10,\quad-100,\quad-1000,\quad-10000,\quad\ldots − 10 , − 100 , − 1000 , − 10000 , … Por exemplo,
lim x → − ∞ 1 x = 0. \lim_{x\to-\infty}\frac1x=0. x → − ∞ lim x 1 = 0. Embora os valores de x x x 1 x \frac1x x 1
3. Um exemplo simples
Considere
f ( x ) = 1 x . f(x)=\frac1x. f ( x ) = x 1 . Vamos analisar o comportamento da função quando
x → + ∞ . x\to+\infty. x → + ∞. Podemos observar alguns valores:
x x x 1 x \frac1x x 1 10 10 10 0,1 0{,}1 0 , 1 100 100 100 0,01 0{,}01 0 , 01 1000 1000 1000 0,001 0{,}001 0 , 001 10000 10000 10000 0,0001 0{,}0001 0 , 0001
À medida que x x x 1 x \frac1x x 1
Portanto,
lim x → + ∞ 1 x = 0 \boxed{
\lim_{x\to+\infty}\frac1x=0
} x → + ∞ lim x 1 = 0 4. Limite quando x → − ∞ x\to-\infty x → − ∞
Agora analisemos a mesma função quando
x → − ∞ . x\to-\infty. x → − ∞. Temos:
x x x 1 x \frac1x x 1 − 10 -10 − 10 − 0,1 -0{,}1 − 0 , 1 − 100 -100 − 100 − 0,01 -0{,}01 − 0 , 01 − 1000 -1000 − 1000 − 0,001 -0{,}001 − 0 , 001 − 10000 -10000 − 10000 − 0,0001 -0{,}0001 − 0 , 0001
Os valores se aproximam de zero pelo lado negativo.
Assim,
lim x → − ∞ 1 x = 0 \boxed{
\lim_{x\to-\infty}\frac1x=0
} x → − ∞ lim x 1 = 0 Portanto,
lim x → ± ∞ 1 x = 0 \boxed{
\lim_{x\to\pm\infty}\frac1x=0
} x → ± ∞ lim x 1 = 0 5. Potências de x x x
Um resultado muito importante é:
lim x → ± ∞ 1 x n = 0 \boxed{
\lim_{x\to\pm\infty}\frac1{x^n}=0
} x → ± ∞ lim x n 1 = 0 para todo inteiro positivo n n n
Por exemplo,
lim x → + ∞ 1 x 2 = 0 , \lim_{x\to+\infty}\frac1{x^2}=0, x → + ∞ lim x 2 1 = 0 , lim x → + ∞ 1 x 3 = 0 \lim_{x\to+\infty}\frac1{x^3}=0 x → + ∞ lim x 3 1 = 0 e
lim x → − ∞ 1 x 4 = 0. \lim_{x\to-\infty}\frac1{x^4}=0. x → − ∞ lim x 4 1 = 0. A razão é que o denominador cresce em módulo sem limite, enquanto o numerador permanece igual a 1 1 1
6. Constante dividida por uma potência de x x x
Mais geralmente, para uma constante k k k n > 0 n>0 n > 0
lim x → ± ∞ k x n = 0 \boxed{
\lim_{x\to\pm\infty}\frac{k}{x^n}=0
} x → ± ∞ lim x n k = 0 Por exemplo,
lim x → + ∞ 7 x 3 = 0. \lim_{x\to+\infty}\frac{7}{x^3}=0. x → + ∞ lim x 3 7 = 0. Também temos
lim x → − ∞ − 5 x 2 = 0. \lim_{x\to-\infty}\frac{-5}{x^2}=0. x → − ∞ lim x 2 − 5 = 0. 7. Funções que se aproximam de uma constante
Considere
f ( x ) = 3 + 1 x . f(x)=3+\frac1x. f ( x ) = 3 + x 1 . Quando x → + ∞ x\to+\infty x → + ∞
1 x → 0. \frac1x\to0. x 1 → 0. Logo,
3 + 1 x → 3. 3+\frac1x\to3. 3 + x 1 → 3. Portanto,
lim x → + ∞ ( 3 + 1 x ) = 3 \boxed{
\lim_{x\to+\infty}
\left(3+\frac1x\right)=3
} x → + ∞ lim ( 3 + x 1 ) = 3 Da mesma forma,
lim x → − ∞ ( 3 + 1 x ) = 3 \boxed{
\lim_{x\to-\infty}
\left(3+\frac1x\right)=3
} x → − ∞ lim ( 3 + x 1 ) = 3 8. Assíntota horizontal
O resultado anterior nos leva a um conceito importante.
Se
lim x → + ∞ f ( x ) = L , \lim_{x\to+\infty}f(x)=L, x → + ∞ lim f ( x ) = L , então a reta
y = L y=L y = L é chamada de assíntota horizontal da função para x → + ∞ x\to+\infty x → + ∞
Da mesma forma, se
lim x → − ∞ f ( x ) = L , \lim_{x\to-\infty}f(x)=L, x → − ∞ lim f ( x ) = L , então
y = L y=L y = L é uma assíntota horizontal para x → − ∞ x\to-\infty x → − ∞
Exemplo
Considere
f ( x ) = 3 + 1 x . f(x)=3+\frac1x. f ( x ) = 3 + x 1 . Como
lim x → + ∞ f ( x ) = 3 , \lim_{x\to+\infty}f(x)=3, x → + ∞ lim f ( x ) = 3 , temos a reta
y = 3 \boxed{y=3} y = 3 como assíntota horizontal.
9. Uma observação importante
A função pode atravessar uma assíntota horizontal.
Portanto, uma assíntota horizontal não significa necessariamente que o gráfico ficará permanentemente acima ou abaixo da reta.
O que importa é o comportamento da função quando x x x
10. Limites de funções racionais
Considere uma função racional:
f ( x ) = P ( x ) Q ( x ) , f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}, f ( x ) = Q ( x ) P ( x ) , onde P P P Q Q Q
Para determinar o limite no infinito, uma das ideias mais importantes é comparar os graus dos polinômios .
Considere
P ( x ) Q ( x ) . \frac{P(x)}{Q(x)}. Q ( x ) P ( x ) . Existem três casos principais:
grau do numerador menor que o grau do denominador;
graus iguais;
grau do numerador maior que o grau do denominador.
Considere
lim x → ∞ 2 x + 1 x 2 + 3 . \lim_{x\to\infty}
\frac{2x+1}{x^2+3}. x → ∞ lim x 2 + 3 2 x + 1 . O grau do numerador é 1 1 1
O grau do denominador é 2 2 2
Como o grau do numerador é menor, esperamos que o limite seja zero.
Podemos demonstrar isso dividindo todos os termos por x 2 x^2 x 2
2 x + 1 x 2 + 3 = 2 x + 1 x 2 1 + 3 x 2 . \frac{2x+1}{x^2+3}
=
\frac{\frac{2}{x}+\frac1{x^2}}
{1+\frac3{x^2}}. x 2 + 3 2 x + 1 = 1 + x 2 3 x 2 + x 2 1 . Quando
x → ∞ , x\to\infty, x → ∞ , temos
2 x → 0 \frac2x\to0 x 2 → 0 e
1 x 2 → 0. \frac1{x^2}\to0. x 2 1 → 0. Portanto,
lim x → ∞ 2 x + 1 x 2 + 3 = 0 + 0 1 + 0 . \lim_{x\to\infty}
\frac{2x+1}{x^2+3}
=
\frac{0+0}{1+0}. x → ∞ lim x 2 + 3 2 x + 1 = 1 + 0 0 + 0 . Logo,
lim x → ∞ 2 x + 1 x 2 + 3 = 0 \boxed{
\lim_{x\to\infty}
\frac{2x+1}{x^2+3}=0
} x → ∞ lim x 2 + 3 2 x + 1 = 0 12. Graus iguais
Considere
lim x → ∞ 3 x 2 + 2 x − 1 5 x 2 − x + 4 . \lim_{x\to\infty}
\frac{3x^2+2x-1}{5x^2-x+4}. x → ∞ lim 5 x 2 − x + 4 3 x 2 + 2 x − 1 . O grau do numerador e do denominador é 2 2 2
Dividimos todos os termos por x 2 x^2 x 2
3 x 2 + 2 x − 1 5 x 2 − x + 4 = 3 + 2 x − 1 x 2 5 − 1 x + 4 x 2 . \frac{3x^2+2x-1}{5x^2-x+4}
=
\frac{
3+\frac2x-\frac1{x^2}
}{
5-\frac1x+\frac4{x^2}
}. 5 x 2 − x + 4 3 x 2 + 2 x − 1 = 5 − x 1 + x 2 4 3 + x 2 − x 2 1 . Quando x → ∞ x\to\infty x → ∞
1 x → 0 \frac1x\to0 x 1 → 0 e
1 x 2 → 0. \frac1{x^2}\to0. x 2 1 → 0. Assim,
lim x → ∞ 3 x 2 + 2 x − 1 5 x 2 − x + 4 = 3 5 . \lim_{x\to\infty}
\frac{3x^2+2x-1}{5x^2-x+4}
=
\frac35. x → ∞ lim 5 x 2 − x + 4 3 x 2 + 2 x − 1 = 5 3 . Portanto,
lim x → ∞ 3 x 2 + 2 x − 1 5 x 2 − x + 4 = 3 5 \boxed{
\lim_{x\to\infty}
\frac{3x^2+2x-1}{5x^2-x+4}
=
\frac35
} x → ∞ lim 5 x 2 − x + 4 3 x 2 + 2 x − 1 = 5 3 Observe que o resultado é a razão entre os coeficientes dos termos de maior grau:
3 5 . \frac35. 5 3 . 13. Grau do numerador maior
Considere
lim x → ∞ x 3 + 1 x 2 + 1 . \lim_{x\to\infty}
\frac{x^3+1}{x^2+1}. x → ∞ lim x 2 + 1 x 3 + 1 . O grau do numerador é 3 3 3
O grau do denominador é 2 2 2
Podemos dividir por x 2 x^2 x 2
x 3 + 1 x 2 + 1 = x + 1 x 2 1 + 1 x 2 . \frac{x^3+1}{x^2+1}
=
\frac{x+\frac1{x^2}}
{1+\frac1{x^2}}. x 2 + 1 x 3 + 1 = 1 + x 2 1 x + x 2 1 . Quando x → + ∞ x\to+\infty x → + ∞
x → + ∞ . x\to+\infty. x → + ∞. Portanto,
lim x → + ∞ x 3 + 1 x 2 + 1 = + ∞ \boxed{
\lim_{x\to+\infty}
\frac{x^3+1}{x^2+1}
=
+\infty
} x → + ∞ lim x 2 + 1 x 3 + 1 = + ∞ Nesse caso, não existe uma assíntota horizontal.
14. Regra prática para funções racionais
Para
lim x → ± ∞ P ( x ) Q ( x ) , \lim_{x\to\pm\infty}
\frac{P(x)}{Q(x)}, x → ± ∞ lim Q ( x ) P ( x ) , podemos comparar os graus.
Se
deg P < deg Q , \deg P<\deg Q, deg P < deg Q , então
L = 0 . \boxed{L=0}. L = 0 . Se
deg P = deg Q , \deg P=\deg Q, deg P = deg Q , então
L = coeficiente l ı ˊ der de P coeficiente l ı ˊ der de Q . \boxed{
L=
\frac{\text{coeficiente líder de }P}
{\text{coeficiente líder de }Q}
}. L = coeficiente l ı ˊ der de Q coeficiente l ı ˊ der de P . Se
deg P > deg Q , \deg P>\deg Q, deg P > deg Q , o comportamento não é determinado apenas por uma constante. Nesse caso, precisamos analisar a expressão com mais cuidado.
15. Exemplo resolvido
Calcule
lim x → + ∞ 5 x + 2 x 2 + 1 . \lim_{x\to+\infty}
\frac{5x+2}{x^2+1}. x → + ∞ lim x 2 + 1 5 x + 2 . Mostrar solução O grau do numerador é 1 1 1 2 2 2
Como
1 < 2 , 1<2, 1 < 2 , o denominador cresce mais rapidamente que o numerador.
Dividindo por x 2 x^2 x 2
5 x + 2 x 2 + 1 = 5 x + 2 x 2 1 + 1 x 2 . \frac{5x+2}{x^2+1}
=
\frac{\frac5x+\frac2{x^2}}
{1+\frac1{x^2}}. x 2 + 1 5 x + 2 = 1 + x 2 1 x 5 + x 2 2 . Quando x → + ∞ x\to+\infty x → + ∞
5 x → 0 \frac5x\to0 x 5 → 0 e
2 x 2 → 0. \frac2{x^2}\to0. x 2 2 → 0. Logo,
lim x → + ∞ 5 x + 2 x 2 + 1 = 0. \lim_{x\to+\infty}
\frac{5x+2}{x^2+1}
=
0. x → + ∞ lim x 2 + 1 5 x + 2 = 0. Portanto,
0 \boxed{0} 0 16. Exemplo resolvido
Calcule
lim x → + ∞ 4 x 2 − 3 x + 1 2 x 2 + x − 5 . \lim_{x\to+\infty}
\frac{4x^2-3x+1}{2x^2+x-5}. x → + ∞ lim 2 x 2 + x − 5 4 x 2 − 3 x + 1 . Mostrar solução Os polinômios do numerador e do denominador possuem o mesmo grau.
O grau é 2 2 2
Portanto, podemos utilizar a razão entre os coeficientes líderes:
4 2 = 2. \frac42=2. 2 4 = 2. Assim,
lim x → + ∞ 4 x 2 − 3 x + 1 2 x 2 + x − 5 = 2 \boxed{
\lim_{x\to+\infty}
\frac{4x^2-3x+1}{2x^2+x-5}
=
2
} x → + ∞ lim 2 x 2 + x − 5 4 x 2 − 3 x + 1 = 2 17. Exemplo resolvido
Determine
lim x → − ∞ 2 x 2 + 3 x 2 − 4 x + 1 . \lim_{x\to-\infty}
\frac{2x^2+3}{x^2-4x+1}. x → − ∞ lim x 2 − 4 x + 1 2 x 2 + 3 . Mostrar solução O grau do numerador e do denominador é 2 2 2
Como os graus são iguais, basta comparar os coeficientes dos termos de maior grau.
No numerador, o coeficiente é 2 2 2
No denominador, o coeficiente é 1 1 1
Logo,
lim x → − ∞ 2 x 2 + 3 x 2 − 4 x + 1 = 2 1 . \lim_{x\to-\infty}
\frac{2x^2+3}{x^2-4x+1}
=
\frac21. x → − ∞ lim x 2 − 4 x + 1 2 x 2 + 3 = 1 2 . Portanto,
2 \boxed{2} 2 18. Limites no infinito e comportamento do gráfico
Os limites no infinito permitem estudar o comportamento de uma função nas extremidades do gráfico.
Por exemplo, se
lim x → + ∞ f ( x ) = L , \lim_{x\to+\infty}f(x)=L, x → + ∞ lim f ( x ) = L , então os valores de f ( x ) f(x) f ( x ) L L L x x x
Da mesma maneira, se
lim x → − ∞ f ( x ) = L , \lim_{x\to-\infty}f(x)=L, x → − ∞ lim f ( x ) = L , os valores de f ( x ) f(x) f ( x ) L L L x x x
Assim, os limites no infinito são uma ferramenta importante para identificar assíntotas horizontais e compreender o comportamento global de uma função.
19. Resumo
Os principais resultados estudados são:
lim x → ± ∞ 1 x = 0 \boxed{
\lim_{x\to\pm\infty}\frac1x=0
} x → ± ∞ lim x 1 = 0 e, de maneira geral,
lim x → ± ∞ 1 x n = 0 \boxed{
\lim_{x\to\pm\infty}\frac1{x^n}=0
} x → ± ∞ lim x n 1 = 0 para n > 0 n>0 n > 0
Para funções racionais, devemos comparar os graus do numerador e do denominador.
Comparação dos graus Comportamento deg P < deg Q \deg P<\deg Q deg P < deg Q limite igual a 0 0 0 deg P = deg Q \deg P=\deg Q deg P = deg Q razão dos coeficientes líderes deg P > deg Q \deg P>\deg Q deg P > deg Q análise adicional necessária
Se
lim x → ± ∞ f ( x ) = L , \lim_{x\to\pm\infty}f(x)=L, x → ± ∞ lim f ( x ) = L , então
y = L \boxed{y=L} y = L é uma assíntota horizontal correspondente.
20. Próximo passo
Já sabemos analisar o comportamento das funções quando x x x + ∞ +\infty + ∞ − ∞ -\infty − ∞
Agora precisamos estudar outra situação importante:
o que acontece quando os valores da função crescem indefinidamente próximo de um determinado ponto?
No próximo tópico estudaremos os limites infinitos e as assíntotas verticais .