Propriedades dos Limites e Técnicas de Cálculo

Na introdução aos limites, vimos que

$$\lim_{x\to a}f(x)=L$$

significa que os valores de $f(x)$ se aproximam de $L$ quando $x$ se aproxima de $a$.

Agora vamos desenvolver ferramentas que permitem calcular limites de maneira sistemática.

As principais ideias deste tópico são:

• propriedades algébricas dos limites;
• substituição direta;
• fatoração;
• simplificação de expressões;
• racionalização;
• limites laterais;
• identificação de indeterminações.

---

1. Propriedade da soma

Se existem os limites

$$\lim_{x\to a}f(x)=L$$

e

$$\lim_{x\to a}g(x)=M,$$

então

$$\boxed{ \lim_{x\to a}[f(x)+g(x)]=L+M }$$

Exemplo

Calcule

$$\lim_{x\to2}(x^2+3x).$$

Podemos separar o limite:

$$\lim_{x\to2}x^2+ \lim_{x\to2}3x.$$

Então,

$$2^2+3(2)=4+6.$$

Logo,

$$\boxed{ \lim_{x\to2}(x^2+3x)=10 }$$

---

2. Propriedade da diferença

De maneira semelhante,

$$\boxed{ \lim_{x\to a}[f(x)-g(x)] = L-M }$$

Exemplo

$$\lim_{x\to3}(x^2-2x).$$

Temos

$$3^2-2(3)=9-6.$$

Portanto,

$$\boxed{ \lim_{x\to3}(x^2-2x)=3 }$$

---

3. Propriedade da multiplicação

Se

$$\lim_{x\to a}f(x)=L$$

e

$$\lim_{x\to a}g(x)=M,$$

então

$$\boxed{ \lim_{x\to a}[f(x)g(x)]=LM }$$

Exemplo

$$\lim_{x\to2}(x+1)(x^2+3).$$

Podemos substituir diretamente:

$$(2+1)(2^2+3).$$ $$=3\cdot7.$$

Logo,

$$\boxed{21}.$$

---

4. Propriedade da constante

Se $c$ é uma constante, então

$$\boxed{ \lim_{x\to a}c=c }$$

Além disso,

$$\boxed{ \lim_{x\to a}[cf(x)] = c\lim_{x\to a}f(x) }$$

Exemplo

Se

$$\lim_{x\to2}f(x)=5,$$

então

$$\lim_{x\to2}3f(x) = 3\cdot5 = 15.$$

---

5. Propriedade do quociente

Se

$$\lim_{x\to a}f(x)=L$$

e

$$\lim_{x\to a}g(x)=M,$$

com $M\neq0$, então

$$\boxed{ \lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{L}{M} }$$

Exemplo

Calcule

$$\lim_{x\to2} \frac{x^2+1}{x+3}.$$

Como o denominador não se anula em $x=2$, podemos substituir diretamente:

$$\frac{2^2+1}{2+3} = \frac{5}{5}.$$

Portanto,

$$\boxed{ \lim_{x\to2} \frac{x^2+1}{x+3} =1 }$$

---

6. Limites de potências

Se

$$\lim_{x\to a}f(x)=L,$$

então, para um número natural $n$,

$$\boxed{ \lim_{x\to a}[f(x)]^n=L^n }$$

Exemplo

$$\lim_{x\to2}(x+1)^3.$$

Substituindo:

$$(2+1)^3=3^3.$$

Logo,

$$\boxed{27}.$$

---

7. Limites de raízes

Quando a expressão está definida no domínio considerado, podemos utilizar

$$\boxed{ \lim_{x\to a}\sqrt[n]{f(x)} = \sqrt[n]{L} }$$

Exemplo

$$\lim_{x\to4}\sqrt{x+5}.$$

Substituindo $x=4$:

$$\sqrt{4+5} = \sqrt9 = 3.$$

Portanto,

$$\boxed{ \lim_{x\to4}\sqrt{x+5}=3 }$$

---

8. Substituição direta

As propriedades anteriores nos permitem resolver muitos limites simplesmente substituindo $x=a$.

Por exemplo:

$$\lim_{x\to3} \frac{x^2+2x-1}{x+1}.$$

Substituindo $x=3$:

$$\frac{3^2+2(3)-1}{3+1}.$$ $$= \frac{9+6-1}{4}.$$ $$=\frac{14}{4}.$$

Portanto,

$$\boxed{ \lim_{x\to3} \frac{x^2+2x-1}{x+1} = \frac72 }$$

Atenção

A substituição direta deve ser a primeira tentativa.

Porém, nem sempre ela fornece imediatamente o limite.

---

9. Quando aparece $\frac00$

Considere:

$$\lim_{x\to2} \frac{x^2-4}{x-2}.$$

Substituindo diretamente:

$$\frac{2^2-4}{2-2} = \frac00.$$

Nesse caso, não podemos concluir que o limite é zero ou que ele não existe.

A expressão

$$\boxed{\frac00}$$

é uma forma indeterminada.

Precisamos transformar a expressão antes de calcular o limite.

---

10. Técnica da fatoração

No exemplo anterior, temos

$$x^2-4.$$

Utilizando a diferença de quadrados:

$$x^2-4=(x-2)(x+2).$$

Assim,

$$\frac{x^2-4}{x-2} = \frac{(x-2)(x+2)}{x-2}.$$

Para $x\neq2$:

$$\frac{x^2-4}{x-2}=x+2.$$

Portanto,

$$\lim_{x\to2} \frac{x^2-4}{x-2} = \lim_{x\to2}(x+2).$$

Agora podemos substituir:

$$2+2=4.$$

Logo,

$$\boxed{ \lim_{x\to2} \frac{x^2-4}{x-2} =4 }$$

Ideia importante

Mesmo que a expressão original não esteja definida em $x=2$, o limite pode existir.

O que importa é o comportamento da função próximo de $2$.

---

11. Outro exemplo de fatoração

Calcule

$$\lim_{x\to1} \frac{x^2+x-2}{x-1}.$$

Substituindo diretamente:

$$\frac{1+1-2}{1-1} = \frac00.$$

Temos uma indeterminação.

Fatorando o numerador:

$$x^2+x-2=(x-1)(x+2).$$

Então,

$$\frac{x^2+x-2}{x-1} = x+2, \qquad x\neq1.$$

Logo,

$$\lim_{x\to1} \frac{x^2+x-2}{x-1} = 1+2.$$

Portanto,

$$\boxed{3}.$$

---

12. Técnica da racionalização

Outra situação bastante comum ocorre quando temos raízes.

Considere:

$$\lim_{x\to4} \frac{\sqrt{x}-2}{x-4}.$$

A substituição direta produz

$$\frac{\sqrt4-2}{4-4} = \frac00.$$

Temos novamente uma indeterminação.

Nesse caso, podemos utilizar o conjugado.

O conjugado de

$$\sqrt{x}-2$$

é

$$\sqrt{x}+2.$$

Multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado:

$$\frac{\sqrt{x}-2}{x-4} \cdot \frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+2}.$$

No numerador aparece uma diferença de quadrados:

$$(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)=x-4.$$

Assim,

$$\frac{(x-4)} {(x-4)(\sqrt{x}+2)}.$$

Para $x\neq4$:

$$\frac{1}{\sqrt{x}+2}.$$

Portanto,

$$\lim_{x\to4} \frac{\sqrt{x}-2}{x-4} = \lim_{x\to4} \frac{1}{\sqrt{x}+2}.$$

Substituindo:

$$\frac{1}{2+2} = \frac14.$$

Logo,

$$\boxed{ \lim_{x\to4} \frac{\sqrt{x}-2}{x-4} = \frac14 }$$

---

13. Limites laterais

Já vimos que podemos nos aproximar de um ponto pela esquerda ou pela direita.

O limite pela esquerda é

$$\lim_{x\to a^-}f(x).$$

O limite pela direita é

$$\lim_{x\to a^+}f(x).$$

Para que o limite bilateral exista, precisamos ter

$$\boxed{ \lim_{x\to a^-}f(x) = \lim_{x\to a^+}f(x) }$$

Exemplo

Considere uma função tal que

$$\lim_{x\to2^-}f(x)=4$$

e

$$\lim_{x\to2^+}f(x)=4.$$

Então,

$$\boxed{ \lim_{x\to2}f(x)=4 }$$

Por outro lado, se

$$\lim_{x\to2^-}f(x)=4$$

e

$$\lim_{x\to2^+}f(x)=7,$$

então

$$\boxed{ \lim_{x\to2}f(x) \text{ não existe} }$$

---

14. Uma estratégia para calcular limites

Ao encontrar um limite, podemos seguir uma sequência de passos.

Passo 1 — Tente a substituição direta

Calcule

$$f(a).$$

Se o resultado for um número real bem definido, geralmente o limite está determinado.

Passo 2 — Verifique se apareceu uma indeterminação

As formas mais comuns são

$$\frac00$$

e

$$\frac{\infty}{\infty}.$$

Essas expressões não são resultados de limites. Elas indicam que precisamos continuar trabalhando com a expressão.

Passo 3 — Procure uma simplificação

Dependendo da expressão, podemos utilizar:

• fatoração;
• produtos notáveis;
• racionalização;
• redução ao mesmo denominador;
• identidades trigonométricas.

Passo 4 — Calcule novamente o limite

Depois da simplificação, tente novamente a substituição direta.

---

15. Exemplo completo

Calcule

$$\lim_{x\to3} \frac{x^2-9}{x-3}.$$

Substituição direta

$$\frac{3^2-9}{3-3} = \frac00.$$

Temos uma indeterminação.

Fatoração

$$x^2-9=(x-3)(x+3).$$

Logo,

$$\frac{x^2-9}{x-3} = x+3, \qquad x\neq3.$$

Então,

$$\lim_{x\to3} \frac{x^2-9}{x-3} = \lim_{x\to3}(x+3).$$

Finalmente,

$$3+3=6.$$

Portanto,

$$\boxed{ \lim_{x\to3} \frac{x^2-9}{x-3}=6 }$$

---

16. Resumo das principais propriedades

Se

$$\lim_{x\to a}f(x)=L$$

e

$$\lim_{x\to a}g(x)=M,$$

então:

Soma

$$\boxed{ \lim_{x\to a}[f(x)+g(x)]=L+M }$$

Diferença

$$\boxed{ \lim_{x\to a}[f(x)-g(x)]=L-M }$$

Produto

$$\boxed{ \lim_{x\to a}[f(x)g(x)]=LM }$$

Quociente

Se $M\neq0$,

$$\boxed{ \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{L}{M} }$$

Constante

$$\boxed{ \lim_{x\to a}c=c }$$

Potência

$$\boxed{ \lim_{x\to a}[f(x)]^n=L^n }$$

Raiz

Quando definida,

$$\boxed{ \lim_{x\to a}\sqrt[n]{f(x)} = \sqrt[n]{L} }$$

---

17. Principais técnicas

Situação	Estratégia
Substituição fornece um número	Substituição direta
Aparece $\frac00$ em polinômios	Fatoração
Aparecem raízes	Racionalização
Função definida por partes	Limites laterais
Expressões trigonométricas	Identidades trigonométricas
Limites no infinito	Comparação dos termos dominantes

---

18. O que vem a seguir?

Com essas propriedades e técnicas, já podemos avançar para alguns dos limites mais importantes de Cálculo I.

Um dos próximos resultados fundamentais é:

$$\boxed{ \lim_{x\to0}\frac{\operatorname{sen}x}{x}=1 }$$

Esse limite será utilizado posteriormente na derivação das funções trigonométricas.

A partir dele, podemos estudar também limites envolvendo

$$\frac{1-\cos x}{x}, \qquad \frac{\tan x}{x},$$

além de limites exponenciais e logarítmicos.