Limites Fundamentais

Depois de aprender as propriedades dos limites e algumas técnicas de cálculo, podemos estudar alguns limites que aparecem com frequência no Cálculo I.

Esses limites são chamados de limites fundamentais porque servem de base para a resolução de muitos outros limites e, posteriormente, para a construção das derivadas.

Os principais resultados que estudaremos são:

$$\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{sen}x}{x}=1$$

e

$$\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x}=0.$$

Também veremos como utilizar esses resultados para calcular outros limites trigonométricos.

---

1. O limite fundamental do seno

Um dos limites mais importantes do Cálculo é

$$\boxed{ \lim_{x\to0}\frac{\operatorname{sen}x}{x}=1 }$$

Esse resultado é válido quando $x$ está medido em radianos.

Essa observação é fundamental.

O limite $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{sen}x}{x}=1$ só possui essa forma quando o ângulo está expresso em radianos.

---

2. Uma interpretação intuitiva

Quando $x$ se aproxima de $0$, também temos

$$\operatorname{sen}x\to0.$$

Portanto, inicialmente temos uma expressão do tipo

$$\frac00.$$

Entretanto, apesar de numerador e denominador se aproximarem de zero, a razão entre eles se aproxima de $1$:

$$\frac{\operatorname{sen}x}{x}\to1.$$

Podemos observar isso numericamente.

$x$	$\frac{\operatorname{sen}x}{x}$
$0{,}5$	aproximadamente $0{,}9589$
$0{,}1$	aproximadamente $0{,}9983$
$0{,}01$	aproximadamente $0{,}99998$
$0{,}001$	aproximadamente $0{,}9999998$

À medida que $x$ se aproxima de $0$, a razão se aproxima de $1$.

Assim,

$$\boxed{ \lim_{x\to0}\frac{\operatorname{sen}x}{x}=1 }$$

---

A desigualdade fundamental

Considere $\theta$ tal que

$$0<\theta<\frac{\pi}{2}.$$

Pela interpretação geométrica da função seno e da função tangente na circunferência trigonométrica, temos

---

Pela comparação das áreas dos três elementos geométricos, temos

$$\frac{\cos\theta\operatorname{sen}\theta}{2} < \frac{\theta}{2} < \frac{\tan\theta}{2}.$$

Como

$$0<\theta<\frac{\pi}{2},$$

temos

$$\operatorname{sen}\theta>0 \qquad\text{e}\qquad \cos\theta>0.$$

Dividindo toda a desigualdade por

$$\frac{\operatorname{sen}\theta}{2},$$

obtemos

$$\cos\theta < \frac{\theta}{\operatorname{sen}\theta} < \frac{1}{\cos\theta}.$$

Como todas as quantidades são positivas, podemos inverter as desigualdades. Assim,

$$\frac{1}{\cos\theta} > \frac{\operatorname{sen}\theta}{\theta} > \cos\theta.$$

Reorganizando os termos,

$$\cos\theta < \frac{\operatorname{sen}\theta}{\theta} < \frac{1}{\cos\theta}.$$

Por outro lado, da desigualdade inicial

$$\operatorname{sen}\theta<\theta,$$

e como $\theta>0$, temos

$$\frac{\operatorname{sen}\theta}{\theta}<1.$$

Portanto,

$$\boxed{ \cos\theta < \frac{\operatorname{sen}\theta}{\theta} < 1 }.$$

---

Analisando os valores negativos

Precisamos também analisar o que acontece quando $\theta$ se aproxima de $0$ pela esquerda.

Considere

$$-\frac{\pi}{2}<\theta<0.$$

Então,

$$0<-\theta<\frac{\pi}{2}.$$

Podemos aplicar a desigualdade obtida anteriormente ao número $-\theta$:

$$\cos(-\theta) < \frac{\operatorname{sen}(-\theta)}{-\theta} < 1.$$

Sabemos que o cosseno é uma função par:

$$\cos(-\theta)=\cos\theta,$$

e o seno é uma função ímpar:

$$\operatorname{sen}(-\theta)=-\operatorname{sen}\theta.$$

Portanto,

$$\frac{\operatorname{sen}(-\theta)}{-\theta} = \frac{-\operatorname{sen}\theta}{-\theta} = \frac{\operatorname{sen}\theta}{\theta}.$$

Assim,

$$\cos\theta < \frac{\operatorname{sen}\theta}{\theta} < 1.$$

Portanto, a mesma desigualdade vale quando

$$-\frac{\pi}{2}<\theta<0.$$

Consequentemente, para todo $\theta$ tal que

$$0<|\theta|<\frac{\pi}{2},$$

temos

$$\boxed{ \cos\theta < \frac{\operatorname{sen}\theta}{\theta} < 1 }.$$

---

Fazendo $\theta$ tender a zero

Agora podemos calcular o limite

$$\lim_{\theta\to0} \frac{\operatorname{sen}\theta}{\theta}.$$

Sabemos que, para $\theta$ suficientemente próximo de $0$, com $\theta\neq0$,

$$\cos\theta < \frac{\operatorname{sen}\theta}{\theta} < 1.$$

Vamos calcular os limites das expressões que aparecem nas extremidades.

Como a função cosseno é contínua,

$$\lim_{\theta\to0}\cos\theta = \cos0 = 1.$$

Além disso,

$$\lim_{\theta\to0}1=1.$$

Portanto,

$$\lim_{\theta\to0}\cos\theta = 1 = \lim_{\theta\to0}1.$$

Assim, temos

$$\cos\theta < \frac{\operatorname{sen}\theta}{\theta} < 1,$$

com as duas extremidades tendendo a $1$ quando $\theta\to0$.

Pelo Teorema do Sanduíche, concluímos que

$$\boxed{ \lim_{\theta\to0} \frac{\operatorname{sen}\theta}{\theta} = 1 }.$$

---

Conclusão

Demonstramos geometricamente que

$$\boxed{ \lim_{x\to0} \frac{\operatorname{sen}x}{x} = 1 }.$$

Esse resultado é conhecido como limite trigonométrico fundamental.

É importante observar que a igualdade depende da utilização de radianos para medir os ângulos.

A partir desse limite, podemos obter diversos outros resultados importantes, como

$$\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{sen}(ax)}{x}=a,$$

e

$$\lim_{x\to0}\frac{\tan x}{x}=1.$$

3. Consequência: $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{x}{\operatorname{sen}x}$

Sabemos que

$$\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{sen}x}{x}=1.$$

Tomando o inverso:

$$\lim_{x\to0}\frac{x}{\operatorname{sen}x} = \frac{1}{1}.$$

Portanto,

$$\boxed{ \lim_{x\to0}\frac{x}{\operatorname{sen}x}=1 }$$

---

4. Exemplo

Calcule

$$\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{sen}(5x)}{x}.$$

Queremos fazer aparecer o limite fundamental.

Multiplicamos e dividimos por $5$:

$$\frac{\operatorname{sen}(5x)}{x} = 5\frac{\operatorname{sen}(5x)}{5x}.$$

Portanto,

$$\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{sen}(5x)}{x} = 5\lim_{x\to0} \frac{\operatorname{sen}(5x)}{5x}.$$

Fazendo

$$u=5x,$$

quando $x\to0$, temos $u\to0$.

Assim,

$$\lim_{x\to0} \frac{\operatorname{sen}(5x)}{5x} = 1.$$

Logo,

$$\boxed{ \lim_{x\to0}\frac{\operatorname{sen}(5x)}{x}=5 }$$

---

5. Caso geral

De maneira semelhante, para uma constante $a$,

$$\boxed{ \lim_{x\to0} \frac{\operatorname{sen}(ax)}{x} = a }$$

desde que $a$ seja constante.

Demonstração

Escrevemos

$$\frac{\operatorname{sen}(ax)}{x} = a\frac{\operatorname{sen}(ax)}{ax}.$$

Logo,

$$\lim_{x\to0} \frac{\operatorname{sen}(ax)}{x} = a \lim_{x\to0} \frac{\operatorname{sen}(ax)}{ax}.$$

Pelo limite fundamental,

$$\lim_{x\to0} \frac{\operatorname{sen}(ax)}{ax} =1.$$

Portanto,

$$\boxed{ \lim_{x\to0} \frac{\operatorname{sen}(ax)}{x}=a }$$

---

6. Limite fundamental do cosseno

Outro resultado importante é

$$\boxed{ \lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x}=0 }$$

Podemos entender esse resultado utilizando uma identidade trigonométrica.

Sabemos que

$$1-\cos x = 2\operatorname{sen}^2\left(\frac{x}{2}\right).$$

Então,

$$\frac{1-\cos x}{x} = \frac{ 2\operatorname{sen}^2\left(\frac{x}{2}\right) }{x}.$$

Podemos escrever

$$x=2\frac{x}{2}.$$

Assim,

$$\frac{1-\cos x}{x} = \frac{ \operatorname{sen}^2\left(\frac{x}{2}\right) }{ \frac{x}{2} }.$$

Agora escrevemos:

$$\frac{ \operatorname{sen}^2\left(\frac{x}{2}\right) }{ \frac{x}{2} } = \operatorname{sen}\left(\frac{x}{2}\right) \frac{ \operatorname{sen}\left(\frac{x}{2}\right) }{ \frac{x}{2} }.$$

Quando $x\to0$,

$$\operatorname{sen}\left(\frac{x}{2}\right)\to0$$

e

$$\frac{ \operatorname{sen}\left(\frac{x}{2}\right) }{ \frac{x}{2} } \to1.$$

Portanto,

$$\boxed{ \lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x}=0 }$$

---

7. Um resultado muito útil

Podemos obter outro limite importante:

$$\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}.$$

Utilizando

$$1-\cos x = 2\operatorname{sen}^2\left(\frac{x}{2}\right),$$

temos

$$\frac{1-\cos x}{x^2} = \frac{ 2\operatorname{sen}^2\left(\frac{x}{2}\right) }{x^2}.$$

Como

$$x^2=4\left(\frac{x}{2}\right)^2,$$

obtemos

$$\frac{1-\cos x}{x^2} = \frac12 \left[ \frac{ \operatorname{sen}\left(\frac{x}{2}\right) }{ \frac{x}{2} } \right]^2.$$

Aplicando o limite fundamental:

$$\lim_{x\to0} \frac{ \operatorname{sen}\left(\frac{x}{2}\right) }{ \frac{x}{2} } =1.$$

Logo,

$$\boxed{ \lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2} = \frac12 }$$

---

8. Limite da tangente

Podemos utilizar

$$\tan x= \frac{\operatorname{sen}x}{\cos x}.$$

Assim,

$$\frac{\tan x}{x} = \frac{\operatorname{sen}x}{x\cos x}.$$

Separando os fatores:

$$\frac{\tan x}{x} = \frac{\operatorname{sen}x}{x} \cdot \frac1{\cos x}.$$

Quando $x\to0$,

$$\frac{\operatorname{sen}x}{x}\to1$$

e

$$\cos x\to1.$$

Portanto,

$$\boxed{ \lim_{x\to0}\frac{\tan x}{x}=1 }$$

---

9. Exemplo com a tangente

Calcule

$$\lim_{x\to0}\frac{\tan(3x)}{x}.$$

Escrevemos

$$\frac{\tan(3x)}{x} = 3\frac{\tan(3x)}{3x}.$$

Pelo limite fundamental da tangente,

$$\lim_{x\to0} \frac{\tan(3x)}{3x} =1.$$

Portanto,

$$\boxed{ \lim_{x\to0}\frac{\tan(3x)}{x}=3 }$$

---

10. Um limite envolvendo seno e cosseno

Considere

$$\lim_{x\to0} \frac{\operatorname{sen}(4x)}{2x}.$$

Podemos escrever

$$\frac{\operatorname{sen}(4x)}{2x} = 2 \frac{\operatorname{sen}(4x)}{4x}.$$

Assim,

$$\lim_{x\to0} \frac{\operatorname{sen}(4x)}{2x} = 2.$$

Logo,

$$\boxed{ \lim_{x\to0} \frac{\operatorname{sen}(4x)}{2x}=2 }$$

---

11. Atenção às indeterminações

É importante não confundir uma forma indeterminada com o valor do limite.

Por exemplo,

$$\lim_{x\to0} \frac{\operatorname{sen}x}{x}$$

produz, por substituição direta,

$$\frac00.$$

Entretanto,

$$\boxed{ \lim_{x\to0} \frac{\operatorname{sen}x}{x}=1 }$$

Portanto,

$$\frac00$$

não significa que o limite seja zero.

Significa apenas que a substituição direta não é suficiente.

---

12. Resumo dos limites fundamentais

Os resultados mais importantes deste tópico são:

$$\boxed{ \lim_{x\to0}\frac{\operatorname{sen}x}{x}=1 }$$ $$\boxed{ \lim_{x\to0}\frac{x}{\operatorname{sen}x}=1 }$$ $$\boxed{ \lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x}=0 }$$ $$\boxed{ \lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2} = \frac12 }$$ $$\boxed{ \lim_{x\to0}\frac{\tan x}{x}=1 }$$

E, para uma constante $a$,

$$\boxed{ \lim_{x\to0}\frac{\operatorname{sen}(ax)}{x}=a }$$

e

$$\boxed{ \lim_{x\to0}\frac{\tan(ax)}{x}=a. }$$

---

13. Estratégia para resolver limites trigonométricos

Ao encontrar um limite envolvendo funções trigonométricas, procure transformar a expressão até aparecer uma das formas fundamentais:

$$\frac{\operatorname{sen}u}{u}$$

ou

$$\frac{\tan u}{u}.$$

Por exemplo:

$$\frac{\operatorname{sen}(5x)}{x} = 5\frac{\operatorname{sen}(5x)}{5x}.$$

A partir daí, podemos aplicar diretamente

$$\lim_{u\to0}\frac{\operatorname{sen}u}{u}=1.$$

Essa estratégia será utilizada frequentemente no estudo das derivadas.

---

14. Próximo passo

Os limites fundamentais nos permitem avançar para um dos conceitos centrais do Cálculo Diferencial:

A continuidade de uma função.

No próximo tópico estudaremos o que significa uma função ser contínua em um ponto e como utilizar limites para verificar a continuidade.