Lista de Limites 03

Nesta lista focamos em limites envolvendo funções trigonométricas. Use os limites fundamentais, identidades trigonométricas e substituições quando necessário.

Limites fundamentais importantes:

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \qquad \text{e} \qquad \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$$

---

Exercício 1

Calcule:

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{x}$$

Ver solução

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{5x} \cdot 5 = 1 \cdot 5 = 5$$

---

Exercício 2

Calcule:

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{\sin 7x}$$

Ver solução

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{\sin 7x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{3x} \cdot \frac{7x}{\sin 7x} \cdot \frac{3}{7} = 1 \cdot 1 \cdot \frac{3}{7} = \frac{3}{7}$$

---

Exercício 3

Calcule:

$$\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x}$$

Ver solução

$$\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x \cos x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \cdot \frac{1}{\cos x} = 1 \cdot 1 = 1$$

---

Exercício 4

Calcule:

$$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos 4x}{x^2}$$

Ver solução

Usamos o limite fundamental $\displaystyle\lim_{\theta \to 0} \frac{1 - \cos \theta}{\theta^2} = \frac{1}{2}$:

$$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos 4x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos 4x}{(4x)^2} \cdot 16 = \frac{1}{2} \cdot 16 = 8$$

---

Exercício 5

Calcule:

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x}{x^3}$$

Ver solução

Este limite é mais avançado. Usando a expansão de Taylor ou L'Hôpital três vezes, obtemos:

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x}{x^3} = -\frac{1}{6}$$

(Pode ser resolvido também com a identidade $\sin x = 3\sin\frac{x}{3} - 4\sin^3\frac{x}{3}$, mas o resultado padrão é $-\dfrac{1}{6}$).

---

Exercício 6

Calcule:

$$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x \sin x}$$

Ver solução

$$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x \sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} \cdot \frac{x}{\sin x} = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$$

---

Exercício 7

Calcule:

$$\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - \sin x}{x^3}$$

Ver solução

$$\frac{\tan x - \sin x}{x^3} = \frac{\frac{\sin x}{\cos x} - \sin x}{x^3} = \frac{\sin x (1 - \cos x)}{x^3 \cos x}$$$$= \frac{\sin x}{x} \cdot \frac{1 - \cos x}{x^2} \cdot \frac{1}{\cos x} = 1 \cdot \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$$

---

Exercício 8

Calcule:

$$\lim_{x \to \pi} \frac{\sin x}{x - \pi}$$

Ver solução

Fazemos a substituição $u = x - \pi$. Quando $x \to \pi$, $u \to 0$.

$$\sin x = \sin(u + \pi) = -\sin u$$

Logo:

$$\lim_{x \to \pi} \frac{\sin x}{x - \pi} = \lim_{u \to 0} \frac{-\sin u}{u} = -1$$

---

Exercício 9

Calcule:

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin^2 3x}{x^2}$$

Ver solução

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin^2 3x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin 3x}{3x} \cdot 3 \right)^2 = (1 \cdot 3)^2 = 9$$

---

Exercício 10

Calcule:

$$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos 2x}{\sin^2 3x}$$

Ver solução

$$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos 2x}{\sin^2 3x} = \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos 2x}{(2x)^2} \cdot \frac{(2x)^2}{\sin^2 3x}$$$$= \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos 2x}{(2x)^2} \cdot 4 \cdot \left( \frac{3x}{\sin 3x} \right)^2 \cdot \frac{1}{9} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 1 \cdot \frac{1}{9} = \frac{2}{9}$$

---

Exercício 11

Calcule:

$$\lim_{x \to 0} x \cdot \cot x$$

Ver solução

$$\lim_{x \to 0} x \cdot \cot x = \lim_{x \to 0} x \cdot \frac{\cos x}{\sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin x} \cdot \cos x = 1 \cdot 1 = 1$$

---

Exercício 12

Calcule:

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - \tan x}{x^3}$$

Ver solução

$$\sin x - \tan x = \sin x - \frac{\sin x}{\cos x} = \sin x \left(1 - \frac{1}{\cos x}\right) = \sin x \cdot \frac{\cos x - 1}{\cos x}$$

Logo:

$$\frac{\sin x - \tan x}{x^3} = \frac{\sin x}{x} \cdot \frac{\cos x - 1}{x^2} \cdot \frac{1}{\cos x} = 1 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \cdot 1 = -\frac{1}{2}$$