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Lista de Limites 05

Lista de exercícios mais desafiadores de limites. Recomenda-se domínio das listas anteriores antes de resolvê-la.

Exercício 1​

Calcule:

lim⁡x→0sin⁡x−xcos⁡xx3\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x\cos x}{x^3}
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Indeterminação 00\dfrac{0}{0}. Aplicando L'Hôpital três vezes (ou expansões de Taylor):

sin⁡x=x−x36+o(x3),cos⁡x=1−x22+o(x2)\sin x = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3), \quad \cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + o(x^2)xcos⁡x=x−x32+o(x3)x\cos x = x - \frac{x^3}{2} + o(x^3)sin⁡x−xcos⁡x=(x−x36)−(x−x32)+o(x3)=x33+o(x3)\sin x - x\cos x = \left(x - \frac{x^3}{6}\right) - \left(x - \frac{x^3}{2}\right) + o(x^3) = \frac{x^3}{3} + o(x^3)

Logo:

lim⁡x→0sin⁡x−xcos⁡xx3=13\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x\cos x}{x^3} = \frac{1}{3}

Exercício 2​

Calcule:

lim⁡x→0(1x2−1sin⁡2x)\lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{x^2} - \frac{1}{\sin^2 x} \right)
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1x2−1sin⁡2x=sin⁡2x−x2x2sin⁡2x\frac{1}{x^2} - \frac{1}{\sin^2 x} = \frac{\sin^2 x - x^2}{x^2\sin^2 x}

Numerador: sin⁡2x−x2=(sin⁡x−x)(sin⁡x+x)\sin^2 x - x^2 = (\sin x - x)(\sin x + x). Usando expansões:

sin⁡x=x−x36+o(x3)  ⟹  sin⁡x−x=−x36+o(x3)\sin x = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3) \implies \sin x - x = -\frac{x^3}{6} + o(x^3)sin⁡2x−x2=−x43+o(x4)\sin^2 x - x^2 = -\frac{x^4}{3} + o(x^4)

Denominador: x2sin⁡2x∼x4x^2\sin^2 x \sim x^4.

Logo:

lim⁡x→0sin⁡2x−x2x2sin⁡2x=lim⁡x→0−x43x4=−13\lim_{x \to 0} \frac{\sin^2 x - x^2}{x^2\sin^2 x} = \lim_{x \to 0} \frac{-\frac{x^4}{3}}{x^4} = -\frac{1}{3}

Exercício 3​

Calcule:

lim⁡x→+∞(x2+x−x)\lim_{x \to +\infty} \left( \sqrt{x^2 + x} - x \right)
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Indeterminação ∞−∞\infty - \infty. Racionalizamos:

x2+x−x=(x2+x)−x2x2+x+x=xx2+x+x=11+1x+1\sqrt{x^2 + x} - x = \frac{(x^2 + x) - x^2}{\sqrt{x^2 + x} + x} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + x} + x} = \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{x}} + 1}

Logo:

lim⁡x→+∞11+1x+1=11+1=12\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{x}} + 1} = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}

Exercício 4​

Calcule:

lim⁡x→0ex−cos⁡xx\lim_{x \to 0} \frac{e^x - \cos x}{x}
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Indeterminação 00\dfrac{0}{0}. Aplicamos L'Hôpital:

lim⁡x→0ex−cos⁡xx=lim⁡x→0ex+sin⁡x1=1+0=1\lim_{x \to 0} \frac{e^x - \cos x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x + \sin x}{1} = 1 + 0 = 1

Exercício 5​

Calcule:

lim⁡x→0x−arcsin⁡xx3\lim_{x \to 0} \frac{x - \arcsin x}{x^3}
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Usando a expansão de Taylor de arcsin⁡x\arcsin x:

arcsin⁡x=x+16x3+o(x3)\arcsin x = x + \frac{1}{6}x^3 + o(x^3)

Logo:

x−arcsin⁡x=−16x3+o(x3)x - \arcsin x = -\frac{1}{6}x^3 + o(x^3)lim⁡x→0x−arcsin⁡xx3=−16\lim_{x \to 0} \frac{x - \arcsin x}{x^3} = -\frac{1}{6}

Exercício 6​

Calcule:

lim⁡x→+∞x2(x+13−x3)\lim_{x \to +\infty} x^2 \left( \sqrt[3]{x+1} - \sqrt[3]{x} \right)
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Usamos a identidade a−b=a3−b3a2+ab+b2a - b = \dfrac{a^3 - b^3}{a^2 + ab + b^2} com a=x+13a = \sqrt[3]{x+1} e b=x3b = \sqrt[3]{x}:

x+13−x3=(x+1)−x(x+1)23+x(x+1)3+x23=1(x+1)23+x(x+1)3+x23\sqrt[3]{x+1} - \sqrt[3]{x} = \frac{(x+1) - x}{\sqrt[3]{(x+1)^2} + \sqrt[3]{x(x+1)} + \sqrt[3]{x^2}} = \frac{1}{\sqrt[3]{(x+1)^2} + \sqrt[3]{x(x+1)} + \sqrt[3]{x^2}}

Multiplicando por x2x^2:

x2(x+13−x3)=x2x2/3((1+1/x)23+1+1/x3+1)=x4/3(1+1/x)23+1+1/x3+1x^2 \left( \sqrt[3]{x+1} - \sqrt[3]{x} \right) = \frac{x^2}{x^{2/3} \left( \sqrt[3]{(1+1/x)^2} + \sqrt[3]{1+1/x} + 1 \right)} = \frac{x^{4/3}}{\sqrt[3]{(1+1/x)^2} + \sqrt[3]{1+1/x} + 1}

Quando x→+∞x \to +\infty, o denominador tende a 1+1+1=31+1+1=3 e o numerador tende a +∞+\infty. Na verdade o limite é +∞+\infty.

Corrigindo a potência: x2/x2/3=x4/3→+∞x^2 / x^{2/3} = x^{4/3} \to +\infty.

Resposta: +∞+\infty

Exercício 7​

Calcule:

lim⁡x→0(sin⁡xx)1/x2\lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin x}{x} \right)^{1/x^2}
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Fazemos y=(sin⁡xx)1/x2y = \left( \dfrac{\sin x}{x} \right)^{1/x^2}. Então:

ln⁡y=1x2ln⁡(sin⁡xx)=ln⁡(sin⁡x)−ln⁡xx2\ln y = \frac{1}{x^2} \ln\left( \frac{\sin x}{x} \right) = \frac{\ln(\sin x) - \ln x}{x^2}

Usando sin⁡xx=1−x26+o(x2)\dfrac{\sin x}{x} = 1 - \dfrac{x^2}{6} + o(x^2), temos:

ln⁡(sin⁡xx)=ln⁡(1−x26+o(x2))∼−x26\ln\left( \frac{\sin x}{x} \right) = \ln\left(1 - \frac{x^2}{6} + o(x^2)\right) \sim -\frac{x^2}{6}

Logo:

ln⁡y∼−x2/6x2=−16  ⟹  lim⁡y=e−1/6\ln y \sim \frac{-x^2/6}{x^2} = -\frac{1}{6} \implies \lim y = e^{-1/6}

Exercício 8​

Calcule:

lim⁡x→0tan⁡x−xx−sin⁡x\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - x}{x - \sin x}
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Usando expansões:

tan⁡x=x+x33+o(x3),sin⁡x=x−x36+o(x3)\tan x = x + \frac{x^3}{3} + o(x^3), \quad \sin x = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)tan⁡x−x=x33+o(x3),x−sin⁡x=x36+o(x3)\tan x - x = \frac{x^3}{3} + o(x^3), \quad x - \sin x = \frac{x^3}{6} + o(x^3)

Logo:

lim⁡x→0tan⁡x−xx−sin⁡x=1/31/6=2\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - x}{x - \sin x} = \frac{1/3}{1/6} = 2

Exercício 9​

Calcule:

lim⁡x→1xx−xx−1\lim_{x \to 1} \frac{x^x - x}{x - 1}
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Quando x→1x \to 1, xx→1x^x \to 1. Indeterminação 00\dfrac{0}{0}.

Escrevemos xx=exln⁡xx^x = e^{x\ln x}. Derivando o numerador (L'Hôpital):

lim⁡x→1xx−xx−1=lim⁡x→1(xx(ln⁡x+1)−1)=1⋅(0+1)−1=0\lim_{x \to 1} \frac{x^x - x}{x - 1} = \lim_{x \to 1} \left( x^x (\ln x + 1) - 1 \right) = 1\cdot(0+1) - 1 = 0

Exercício 10​

Calcule:

lim⁡x→0+(1x)sin⁡x\lim_{x \to 0^+} \left( \frac{1}{x} \right)^{\sin x}
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Fazemos y=(1x)sin⁡xy = \left( \dfrac{1}{x} \right)^{\sin x}. Então:

ln⁡y=sin⁡x⋅ln⁡(1x)=sin⁡x⋅(−ln⁡x)=−sin⁡xln⁡x\ln y = \sin x \cdot \ln\left(\frac{1}{x}\right) = \sin x \cdot (-\ln x) = -\sin x \ln x

Sabemos que lim⁡x→0+xln⁡x=0\displaystyle\lim_{x \to 0^+} x\ln x = 0, e como sin⁡x∼x\sin x \sim x:

lim⁡x→0+sin⁡xln⁡x=0  ⟹  lim⁡ln⁡y=0  ⟹  lim⁡y=e0=1\lim_{x \to 0^+} \sin x \ln x = 0 \implies \lim \ln y = 0 \implies \lim y = e^0 = 1