Lista de Limites 02

Nesta lista trabalhamos principalmente com indeterminações do tipo $\dfrac{0}{0}$ e $\dfrac{\infty}{\infty}$. Use fatoração, racionalização e divisão dos termos pela maior potência de $x$.

---

Exercício 1

Calcule:

$$\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x - 3}$$

Ver solução

Indeterminação $\dfrac{0}{0}$. Fatoramos o numerador:

$$\frac{x^2 - 9}{x - 3} = \frac{(x-3)(x+3)}{x-3} = x+3 \quad (x \neq 3)$$

Logo:

$$\lim_{x \to 3} (x+3) = 6$$

---

Exercício 2

Calcule:

$$\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 5x + 6}{x^2 - 4}$$

Ver solução

Indeterminação $\dfrac{0}{0}$. Fatoramos numerador e denominador:

$$\frac{x^2 - 5x + 6}{x^2 - 4} = \frac{(x-2)(x-3)}{(x-2)(x+2)} = \frac{x-3}{x+2} \quad (x \neq 2)$$

Logo:

$$\lim_{x \to 2} \frac{x-3}{x+2} = \frac{-1}{4} = -\dfrac{1}{4}$$

---

Exercício 3

Calcule:

$$\lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 1}{x^2 - 1}$$

Ver solução

Indeterminação $\dfrac{0}{0}$. Fatoramos:

$$\frac{x^3 - 1}{x^2 - 1} = \frac{(x-1)(x^2 + x + 1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{x^2 + x + 1}{x+1} \quad (x \neq 1)$$

Logo:

$$\lim_{x \to 1} \frac{x^2 + x + 1}{x+1} = \frac{1+1+1}{1+1} = \frac{3}{2}$$

---

Exercício 4

Calcule:

$$\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{x - 4}$$

Ver solução

Indeterminação $\dfrac{0}{0}$. Racionalizamos o numerador:

$$\frac{\sqrt{x} - 2}{x - 4} \cdot \frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} + 2} = \frac{x - 4}{(x-4)(\sqrt{x}+2)} = \frac{1}{\sqrt{x}+2}$$

Logo:

$$\lim_{x \to 4} \frac{1}{\sqrt{x}+2} = \frac{1}{2+2} = \frac{1}{4}$$

---

Exercício 5

Calcule:

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+x} - 1}{x}$$

Ver solução

Indeterminação $\dfrac{0}{0}$. Racionalizamos:

$$\frac{\sqrt{1+x} - 1}{x} \cdot \frac{\sqrt{1+x} + 1}{\sqrt{1+x} + 1} = \frac{(1+x) - 1}{x(\sqrt{1+x}+1)} = \frac{1}{\sqrt{1+x}+1}$$

Logo:

$$\lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{1+x}+1} = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}$$

---

Exercício 6

Calcule:

$$\lim_{x \to +\infty} \frac{2x^2 - 3x + 1}{5x^2 + 4x - 7}$$

Ver solução

Indeterminação $\dfrac{\infty}{\infty}$. Dividimos todos os termos por $x^2$ (maior potência):

$$\lim_{x \to +\infty} \frac{2 - \dfrac{3}{x} + \dfrac{1}{x^2}}{5 + \dfrac{4}{x} - \dfrac{7}{x^2}} = \frac{2 - 0 + 0}{5 + 0 - 0} = \frac{2}{5}$$

---

Exercício 7

Calcule:

$$\lim_{x \to +\infty} \frac{3x + 5}{\sqrt{x^2 + 2x}}$$

Ver solução

Indeterminação $\dfrac{\infty}{\infty}$. Colocamos $x$ em evidência no denominador (como $x \to +\infty$, $\sqrt{x^2} = x$):

$$\frac{3x + 5}{\sqrt{x^2 + 2x}} = \frac{3x + 5}{x\sqrt{1 + \dfrac{2}{x}}} = \frac{3 + \dfrac{5}{x}}{\sqrt{1 + \dfrac{2}{x}}}$$

Logo:

$$\lim_{x \to +\infty} \frac{3 + \dfrac{5}{x}}{\sqrt{1 + \dfrac{2}{x}}} = \frac{3}{1} = 3$$

---

Exercício 8

Calcule:

$$\lim_{x \to -\infty} \frac{3x + 5}{\sqrt{x^2 + 2x}}$$

Ver solução

Agora $x \to -\infty$, então $\sqrt{x^2} = |x| = -x$. Assim:

$$\frac{3x + 5}{\sqrt{x^2 + 2x}} = \frac{3x + 5}{-x\sqrt{1 + \dfrac{2}{x}}} = \frac{3 + \dfrac{5}{x}}{-\sqrt{1 + \dfrac{2}{x}}}$$

Logo:

$$\lim_{x \to -\infty} \frac{3 + \dfrac{5}{x}}{-\sqrt{1 + \dfrac{2}{x}}} = \frac{3}{-1} = -3$$

---

Exercício 9

Calcule:

$$\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - \sqrt{x}}{x - 1}$$

Ver solução

Indeterminação $\dfrac{0}{0}$. Podemos fatorar $x$ no numerador ou fazer uma substituição. Uma forma:

$$\frac{x^2 - \sqrt{x}}{x - 1} = \frac{\sqrt{x}(x^{3/2} - 1)}{x - 1}$$

Usando $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$ com $a = x^{1/2}$ e $b = 1$:

$$x^{3/2} - 1 = (x^{1/2} - 1)(x + x^{1/2} + 1)$$

E $x - 1 = (x^{1/2} - 1)(x^{1/2} + 1)$.

Ficamos com:

$$\frac{\sqrt{x}(x^{1/2} - 1)(x + \sqrt{x} + 1)}{(x^{1/2} - 1)(x^{1/2} + 1)} = \frac{\sqrt{x}(x + \sqrt{x} + 1)}{\sqrt{x} + 1}$$

Logo:

$$\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x}(x + \sqrt{x} + 1)}{\sqrt{x} + 1} = \frac{1 \cdot (1 + 1 + 1)}{1 + 1} = \frac{3}{2}$$

---

Exercício 10

Calcule:

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+x} - \sqrt{1-x}}{x}$$

Ver solução

Indeterminação $\dfrac{0}{0}$. Racionalizamos o numerador:

$$\frac{\sqrt{1+x} - \sqrt{1-x}}{x} \cdot \frac{\sqrt{1+x} + \sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x} + \sqrt{1-x}} = \frac{(1+x) - (1-x)}{x(\sqrt{1+x} + \sqrt{1-x})} = \frac{2}{\sqrt{1+x} + \sqrt{1-x}}$$

Logo:

$$\lim_{x \to 0} \frac{2}{\sqrt{1+x} + \sqrt{1-x}} = \frac{2}{1+1} = 1$$