Lista de Limites 01

Exercícios introdutórios de limites. Foque em aplicar as propriedades básicas e reconhecer limites fundamentais.

---

Exercício 1

Calcule:

$$\lim_{x \to 3} (2x^2 - 5x + 1)$$

Ver solução

Como a função é polinomial (contínua), basta substituir o valor:

$$\lim_{x \to 3} (2x^2 - 5x + 1) = 2(3)^2 - 5(3) + 1 = 18 - 15 + 1 = 4$$

---

Exercício 2

Calcule:

$$\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}$$

Ver solução

Temos uma indeterminação do tipo $\frac{0}{0}$. Fatoramos o numerador:

$$\frac{x^2 - 4}{x - 2} = \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x+2 \quad (x \neq 2)$$

Logo:

$$\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} = \lim_{x \to 2} (x+2) = 4$$

---

Exercício 3

Calcule:

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$$

Ver solução

Este é um limite fundamental:

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$$

---

Exercício 4

Calcule:

$$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2}$$

Ver solução

Usamos a identidade $1 - \cos x = 2\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)$ ou a expansão de Taylor. Uma forma clássica:

$$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} \cdot \frac{1 + \cos x}{1 + \cos x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin^2 x}{x^2(1 + \cos x)} = \frac{1}{2}$$

---

Exercício 5

Calcule:

$$\lim_{x \to +\infty} \frac{3x + 1}{x}$$

Ver solução

Dividimos numerador e denominador por $x$:

$$\lim_{x \to +\infty} \frac{3x + 1}{x} = \lim_{x \to +\infty} \left(3 + \frac{1}{x}\right) = 3$$

---

Exercício 6

Calcule:

$$\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x^2 + 2x - 3}$$

Ver solução

Fatoramos numerador e denominador:

$$\frac{x^2 - 1}{x^2 + 2x - 3} = \frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)(x+3)} = \frac{x+1}{x+3} \quad (x \neq 1)$$

Logo:

$$\lim_{x \to 1} \frac{x+1}{x+3} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$

---

Exercício 7

Calcule os limites laterais e o limite (se existir):

$$\lim_{x \to 0} \frac{|x|}{x}$$

Ver solução

• Limite pela direita: $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} \frac{|x|}{x} = \lim_{x \to 0^+} \frac{x}{x} = 1$
• Limite pela esquerda: $\displaystyle\lim_{x \to 0^-} \frac{|x|}{x} = \lim_{x \to 0^-} \frac{-x}{x} = -1$

Como os limites laterais são diferentes, o limite não existe.

---

Exercício 8

Calcule:

$$\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{x - 4}$$

Ver solução

Racionalizamos o numerador:

$$\frac{\sqrt{x} - 2}{x - 4} \cdot \frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} + 2} = \frac{x - 4}{(x-4)(\sqrt{x}+2)} = \frac{1}{\sqrt{x}+2}$$

Logo:

$$\lim_{x \to 4} \frac{1}{\sqrt{x}+2} = \frac{1}{4}$$