Lista de Limites 04

Nesta lista trabalhamos com limites envolvendo exponenciais, logaritmos e a Regra de L'Hôpital.

Lembretes importantes:

• $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$
• $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1$
• $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e$
• Regra de L'Hôpital: se $\displaystyle\lim \frac{f(x)}{g(x)}$ for $\frac{0}{0}$ ou $\frac{\infty}{\infty}$, então $\displaystyle\lim \frac{f(x)}{g(x)} = \lim \frac{f'(x)}{g'(x)}$ (quando o limite da direita existir).

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Exercício 1

Calcule:

$$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x}$$

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Este é um limite fundamental:

$$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$$

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Exercício 2

Calcule:

$$\lim_{x \to 0} \frac{e^{3x} - 1}{x}$$

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$$\lim_{x \to 0} \frac{e^{3x} - 1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{e^{3x} - 1}{3x} \cdot 3 = 1 \cdot 3 = 3$$

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Exercício 3

Calcule:

$$\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + 2x)}{x}$$

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$$\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + 2x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + 2x)}{2x} \cdot 2 = 1 \cdot 2 = 2$$

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Exercício 4

Calcule:

$$\lim_{x \to +\infty} \left(1 + \frac{3}{x}\right)^x$$

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$$\lim_{x \to +\infty} \left(1 + \frac{3}{x}\right)^x = \lim_{x \to +\infty} \left(1 + \frac{3}{x}\right)^{\frac{x}{3} \cdot 3} = \left( \lim_{x \to +\infty} \left(1 + \frac{3}{x}\right)^{\frac{x}{3}} \right)^3 = e^3$$

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Exercício 5

Calcule:

$$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x}}{x}$$

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Indeterminação $\dfrac{0}{0}$. Aplicamos L'Hôpital:

$$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x}}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x + e^{-x}}{1} = e^0 + e^0 = 1 + 1 = 2$$

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Exercício 6

Calcule:

$$\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x) - x}{x^2}$$

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Indeterminação $\dfrac{0}{0}$. Aplicamos L'Hôpital:

$$\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x) - x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{\dfrac{1}{1+x} - 1}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{\dfrac{1 - (1+x)}{1+x}}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{-x}{2x(1+x)} = \lim_{x \to 0} \frac{-1}{2(1+x)} = -\frac{1}{2}$$

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Exercício 7

Calcule:

$$\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x}$$

Ver solução

Indeterminação $\dfrac{\infty}{\infty}$. Aplicamos L'Hôpital:

$$\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1/x}{1} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} = 0$$

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Exercício 8

Calcule:

$$\lim_{x \to +\infty} \frac{x^2}{e^x}$$

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Indeterminação $\dfrac{\infty}{\infty}$. Aplicamos L'Hôpital duas vezes:

$$\lim_{x \to +\infty} \frac{x^2}{e^x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{2x}{e^x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{2}{e^x} = 0$$

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Exercício 9

Calcule:

$$\lim_{x \to 0^+} x \ln x$$

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Indeterminação $0 \cdot (-\infty)$. Reescrevemos como quociente:

$$\lim_{x \to 0^+} x \ln x = \lim_{x \to 0^+} \frac{\ln x}{1/x}$$

Agora temos $\dfrac{-\infty}{+\infty}$. Aplicamos L'Hôpital:

$$\lim_{x \to 0^+} \frac{\ln x}{1/x} = \lim_{x \to 0^+} \frac{1/x}{-1/x^2} = \lim_{x \to 0^+} (-x) = 0$$

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Exercício 10

Calcule:

$$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x}{x^2}$$

Ver solução

Indeterminação $\dfrac{0}{0}$. Aplicamos L'Hôpital duas vezes:

$$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x}{2} = \frac{1}{2}$$

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Exercício 11

Calcule:

$$\lim_{x \to +\infty} x^{1/x}$$

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Fazemos $y = x^{1/x}$. Então $\ln y = \frac{1}{x} \ln x = \frac{\ln x}{x}$.

Já vimos que $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x} = 0$, logo:

$$\lim_{x \to +\infty} \ln y = 0 \implies \lim_{x \to +\infty} y = e^0 = 1$$

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Exercício 12

Calcule:

$$\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - x}{x^3}$$

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Indeterminação $\dfrac{0}{0}$. Aplicamos L'Hôpital três vezes (ou usamos expansões de Taylor). O resultado clássico é:

$$\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - x}{x^3} = \frac{1}{3}$$