Derivadas: Introdução, Taxa de Variação e Definição

Nos tópicos anteriores, estudamos limites, continuidade e o comportamento das funções.

Agora vamos iniciar um dos conceitos centrais do Cálculo Diferencial:

$$\boxed{\text{a derivada}}$$

A derivada permite estudar como uma função varia quando sua variável sofre uma pequena alteração.

Ela aparece em problemas envolvendo:

• velocidade instantânea;
• crescimento e decrescimento;
• inclinação de curvas;
• taxas de variação;
• máximos e mínimos;
• aproximações;
• problemas de otimização.

Mas, antes de apresentar as regras de derivação, precisamos entender de onde vem a ideia de derivada.

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1. Taxa de variação média

Considere uma função

$$y=f(x).$$

Suponha que $x$ passe de $x_1$ para $x_2$.

A variação de $x$ é

$$\Delta x=x_2-x_1.$$

A correspondente variação de $y$ é

$$\Delta y=f(x_2)-f(x_1).$$

A taxa de variação média é definida por

$$\boxed{ \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x_2)-f(x_1)} {x_2-x_1} }$$

desde que $x_2\neq x_1$.

Essa expressão mede quanto, em média, o valor da função varia para cada unidade de variação de $x$.

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2. Exemplo de taxa de variação média

Considere

$$f(x)=x^2.$$

Vamos calcular a taxa de variação média entre

$$x=1$$

e

$$x=3.$$

Temos

$$f(1)=1$$

e

$$f(3)=9.$$

Portanto,

$$\frac{f(3)-f(1)}{3-1} = \frac{9-1}{2}.$$

Assim,

$$\boxed{4}$$

é a taxa de variação média da função nesse intervalo.

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3. Interpretação geométrica

A expressão

$$\frac{f(x_2)-f(x_1)} {x_2-x_1}$$

representa o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos

$$P=(x_1,f(x_1))$$

e

$$Q=(x_2,f(x_2)).$$

Essa reta é chamada de reta secante ao gráfico da função.

Assim,

$$\boxed{ \text{taxa de variação média} = \text{inclinação da reta secante} }$$

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4. Reta secante

Considere novamente

$$f(x)=x^2.$$

Escolhemos dois pontos do gráfico:

$$P=(x_1,f(x_1))$$

e

$$Q=(x_2,f(x_2)).$$

A reta que passa por esses dois pontos é uma reta secante.

Seu coeficiente angular é

$$m_{\text{sec}} = \frac{f(x_2)-f(x_1)} {x_2-x_1}.$$

Portanto,

$$\boxed{ m_{\text{sec}} = \frac{f(x_2)-f(x_1)} {x_2-x_1} }$$

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5. E se quisermos a variação em um único ponto?

A taxa de variação média utiliza dois pontos.

Mas podemos fazer uma pergunta diferente:

Qual é a taxa de variação da função exatamente em um determinado ponto?

Essa pergunta é mais delicada.

Não podemos simplesmente considerar dois pontos iguais, pois teríamos

$$\frac{f(x)-f(x)} {x-x} = \frac00.$$

Essa expressão não está definida.

Precisamos então utilizar uma ideia que já estudamos anteriormente:

$$\boxed{\text{limite}}$$

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6. Aproximando um ponto

Considere um ponto $x=a$.

Escolhemos outro ponto próximo de $a$:

$$x=a+h.$$

A variação de $x$ será

$$(a+h)-a=h.$$

A variação correspondente da função será

$$f(a+h)-f(a).$$

Assim, a taxa de variação média entre esses dois pontos é

$$\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.$$

Essa expressão é conhecida como quociente diferencial.

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7. Fazendo $h$ tender a zero

Agora temos uma ideia fundamental.

Se queremos estudar a taxa de variação exatamente no ponto $a$, fazemos o segundo ponto se aproximar cada vez mais de $a$.

Isso significa fazer

$$h\to0.$$

Portanto, analisamos o limite

$$\lim_{h\to0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}.$$

Quando esse limite existe, ele define a derivada de $f$ no ponto $a$.

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8. Definição de derivada

Seja $f$ uma função definida em um intervalo que contém o ponto $a$.

A derivada de $f$ em $a$ é definida por

$$\boxed{ f'(a) = \lim_{h\to0} \frac{f(a+h)-f(a)} {h} }$$

quando esse limite existe.

Essa é a definição de derivada por limite.

Ela será a base para todas as regras de derivação que estudaremos posteriormente.

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9. Interpretação geométrica da derivada

A taxa de variação média corresponde à inclinação de uma reta secante.

Agora fazemos

$$h\to0.$$

O ponto

$$a+h$$

se aproxima de $a$.

Consequentemente, a reta secante vai se aproximando de uma reta que toca o gráfico no ponto $a$.

Essa reta é chamada de reta tangente.

Portanto,

$$\boxed{ f'(a) = \text{inclinação da reta tangente ao gráfico em }a }$$

Essa é uma das interpretações mais importantes da derivada.

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10. Secante se aproximando da tangente

Podemos visualizar o processo da seguinte maneira.

Para $h\neq0$, temos a reta secante:

$$m_{\text{sec}} = \frac{f(a+h)-f(a)}{h}.$$

Quando

$$h\to0,$$

o ponto $a+h$ se aproxima de $a$.

Assim,

$$\lim_{h\to0} m_{\text{sec}} = f'(a).$$

Portanto,

$$\boxed{ \text{reta secante} \longrightarrow \text{reta tangente} }$$

quando

$$h\to0.$$

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11. Exemplo: derivada de $f(x)=x^2$ pela definição

Considere

$$f(x)=x^2.$$

Vamos calcular sua derivada no ponto $x=a$ utilizando diretamente a definição.

Temos

$$f'(a) = \lim_{h\to0} \frac{f(a+h)-f(a)} {h}.$$

Como

$$f(x)=x^2,$$

temos

$$f(a+h)=(a+h)^2$$

e

$$f(a)=a^2.$$

Substituindo:

$$f'(a) = \lim_{h\to0} \frac{(a+h)^2-a^2}{h}.$$

Expandindo:

$$(a+h)^2 = a^2+2ah+h^2.$$

Logo,

$$f'(a) = \lim_{h\to0} \frac{a^2+2ah+h^2-a^2}{h}.$$

Simplificando:

$$f'(a) = \lim_{h\to0} \frac{2ah+h^2}{h}.$$

Para $h\neq0$,

$$f'(a) = \lim_{h\to0} (2a+h).$$

Portanto,

$$f'(a)=2a.$$

Assim,

$$\boxed{ f'(a)=2a }$$

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12. Obtendo a função derivada

No exemplo anterior, encontramos

$$f'(a)=2a.$$

Como $a$ representa um ponto qualquer do domínio, podemos substituir $a$ por $x$.

Assim,

$$\boxed{ f'(x)=2x }$$

Portanto, se

$$f(x)=x^2,$$

então

$$\boxed{ f'(x)=2x }$$

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13. Interpretação da derivada de $x^2$

Considere

$$f(x)=x^2$$

e

$$f'(x)=2x.$$

A derivada fornece a inclinação da reta tangente em cada ponto.

Por exemplo, em

$$x=1,$$

temos

$$f'(1)=2.$$

Logo, a reta tangente ao gráfico em $x=1$ possui coeficiente angular $2$.

Em

$$x=3,$$

temos

$$f'(3)=6.$$

A inclinação da reta tangente nesse ponto é $6$.

Assim, a inclinação da curva varia conforme o ponto considerado.

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14. Equação da reta tangente

Sabemos que uma reta com coeficiente angular $m$ passando pelo ponto

$$(x_0,y_0)$$

pode ser escrita como

$$y-y_0=m(x-x_0).$$

Para uma função $f$, temos

$$y_0=f(x_0)$$

e

$$m=f'(x_0).$$

Portanto, a equação da reta tangente ao gráfico de $f$ em $x=x_0$ é

$$\boxed{ y-f(x_0) = f'(x_0)(x-x_0) }$$

Essa fórmula será muito utilizada no estudo das aplicações das derivadas.

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15. Exemplo: reta tangente

Considere

$$f(x)=x^2.$$

Determine a reta tangente ao gráfico no ponto correspondente a

$$x=1.$$

Já sabemos que

$$f'(x)=2x.$$

Portanto,

$$f'(1)=2.$$

O ponto do gráfico é

$$(1,f(1)).$$

Como

$$f(1)=1,$$

o ponto é

$$(1,1).$$

Usando a equação da reta tangente:

$$y-1=2(x-1).$$

Logo,

$$y-1=2x-2.$$

Portanto,

$$\boxed{ y=2x-1 }$$

é a reta tangente ao gráfico de $f(x)=x^2$ no ponto $x=1$.

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16. Interpretação física

A derivada também possui uma interpretação importante em problemas envolvendo movimento.

Suponha que a posição de um objeto seja dada por

$$s(t).$$

A velocidade média entre os instantes $t_1$ e $t_2$ é

$$\frac{s(t_2)-s(t_1)} {t_2-t_1}.$$

Essa é uma taxa de variação média.

Para obter a velocidade instantânea no instante $t$, fazemos o intervalo de tempo tender a zero:

$$\lim_{h\to0} \frac{s(t+h)-s(t)} {h}.$$

Portanto,

$$\boxed{ v(t)=s'(t) }$$

quando a derivada existe.

Assim, a derivada da posição em relação ao tempo representa a velocidade instantânea.

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17. Derivada como taxa de variação instantânea

Podemos resumir as duas ideias:

Taxa de variação média

$$\boxed{ \frac{f(b)-f(a)} {b-a} }$$

mede a variação média entre dois pontos.

Taxa de variação instantânea

$$\boxed{ f'(a) = \lim_{h\to0} \frac{f(a+h)-f(a)} {h} }$$

mede a taxa de variação no ponto $a$.

Assim,

$$\boxed{ \text{derivada} = \text{taxa de variação instantânea} }$$

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18. Exemplo resolvido

🧩 Exercício 1 Fácil

Considere

$$f(x)=x^2.$$

Calcule a taxa de variação média de $f$ no intervalo $[1,3]$.

A taxa de variação média é

$$\frac{f(3)-f(1)} {3-1}.$$

Como

$$f(3)=9$$

e

$$f(1)=1,$$

temos

$$\frac{9-1}{2} = 4.$$

Portanto,

$$\boxed{4}$$

é a taxa de variação média.

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19. Exemplo resolvido

🧩 Exercício 2 Média

Utilizando a definição de derivada,

$$f'(a) = \lim_{h\to0} \frac{f(a+h)-f(a)} {h},$$

determine a derivada de

$$f(x)=3x+2.$$

Temos

$$f(a+h)=3(a+h)+2.$$

Logo,

$$f(a+h)=3a+3h+2.$$

Além disso,

$$f(a)=3a+2.$$

Substituindo na definição:

$$f'(a) = \lim_{h\to0} \frac{3a+3h+2-(3a+2)} {h}.$$

Simplificando:

$$f'(a) = \lim_{h\to0} \frac{3h}{h}.$$

Para $h\neq0$,

$$f'(a) = \lim_{h\to0}3.$$

Portanto,

$$\boxed{ f'(a)=3 }$$

Como $a$ é arbitrário,

$$\boxed{ f'(x)=3 }$$

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20. Exemplo resolvido

🧩 Exercício 3 Média

Considere

$$f(x)=x^2+1.$$

Qual é a derivada de $f$ no ponto $x=2$?

Pela definição, podemos calcular a derivada da função:

$$f'(x)=2x.$$

No ponto $x=2$:

$$f'(2)=2(2)=4.$$

Portanto,

$$\boxed{4}$$

é a derivada de $f$ em $x=2$.

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21. Notações para a derivada

Existem diferentes formas de representar uma derivada.

Se

$$y=f(x),$$

podemos escrever:

$$\boxed{f'(x)}$$

ou

$$\boxed{y'}$$

ou ainda

$$\boxed{\frac{dy}{dx}}.$$

Quando estamos trabalhando com uma função de uma variável, essas notações representam a derivada de $y$ em relação a $x$.

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22. Derivada e continuidade

Existe uma relação importante entre derivabilidade e continuidade.

Se uma função é derivável em um ponto, então ela é contínua nesse ponto.

Em símbolos:

$$\boxed{ f \text{ derivável em }a \Longrightarrow f \text{ contínua em }a }$$

Entretanto, a recíproca não é necessariamente verdadeira.

Ou seja, uma função pode ser contínua em um ponto e não ser derivável nesse ponto.

Um exemplo clássico é

$$f(x)=|x|.$$

A função é contínua em $x=0$, mas não possui derivada nesse ponto.

Esse exemplo será estudado com mais detalhes posteriormente.

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23. Resumo

A ideia central da derivada pode ser construída em etapas:

$$\boxed{ \text{taxa de variação média} }$$

leva à

$$\boxed{ \text{reta secante} }$$

e, fazendo

$$h\to0,$$

chegamos à

$$\boxed{ \text{reta tangente} }$$

e à

$$\boxed{ \text{taxa de variação instantânea} }$$

que é a derivada:

$$\boxed{ f'(a) = \lim_{h\to0} \frac{f(a+h)-f(a)} {h} }$$

Essa definição será a base para o desenvolvimento das regras práticas de derivação.

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24. Próximo passo

Agora que entendemos de onde vem a derivada, podemos começar a desenvolver técnicas que tornam seu cálculo mais rápido.

No próximo tópico estudaremos a derivada de funções elementares, começando pelas derivadas de constantes e potências.