Taxas Relacionadas

1. Introdução

Em muitos fenômenos físicos e geométricos, diferentes grandezas variam simultaneamente ao longo do tempo.

Por exemplo:

• O raio de uma esfera aumenta à medida que ela é preenchida com água.
• A distância entre dois veículos aumenta enquanto eles se afastam.
• A altura de uma escada apoiada em uma parede diminui quando sua base se desloca.
• O volume de um balão aumenta à medida que seu raio cresce.

Em situações como essas, podemos conhecer a taxa de variação de uma grandeza e utilizá-la para determinar a taxa de variação de outra.

Esse tipo de problema é chamado de taxas relacionadas.

A ideia central é estabelecer uma equação que relacione as grandezas envolvidas e derivá-la em relação ao tempo.

2. A ideia fundamental

Considere duas grandezas variáveis, $x$ e $y$, relacionadas pela equação:

$$y=x^2$$

Se ambas variam com o tempo, podemos escrever:

$$y=y(t)$$

e

$$x=x(t)$$

Derivando a equação em relação ao tempo, utilizando a regra da cadeia:

$$\frac{dy}{dt} = 2x\frac{dx}{dt}$$

Observe que aparecem duas taxas de variação:

• $\frac{dx}{dt}$: taxa de variação de $x$ em relação ao tempo.
• $\frac{dy}{dt}$: taxa de variação de $y$ em relação ao tempo.

Essa é a essência dos problemas de taxas relacionadas.

3. Notação das taxas de variação

A notação utilizada representa a velocidade com que uma grandeza varia em relação ao tempo.

Notação	Significado
$\frac{dx}{dt}$	Taxa de variação de $x$
$\frac{dy}{dt}$	Taxa de variação de $y$
$\frac{dV}{dt}$	Taxa de variação do volume
$\frac{dA}{dt}$	Taxa de variação da área
$\frac{dr}{dt}$	Taxa de variação do raio
$\frac{dh}{dt}$	Taxa de variação da altura

Uma taxa positiva indica que a grandeza está aumentando, enquanto uma taxa negativa indica que ela está diminuindo.

Por exemplo:

$$\frac{dr}{dt}=2\text{ cm/s}$$

significa que o raio aumenta 2 centímetros por segundo.

Já:

$$\frac{dh}{dt}=-3\text{ cm/s}$$

indica que a altura diminui 3 centímetros por segundo.

4. Procedimento para resolver problemas

A resolução de problemas de taxas relacionadas geralmente segue estas etapas:

1. Identificar as grandezas que variam com o tempo.
2. Estabelecer uma equação que relacione essas grandezas.
3. Derivar a equação em relação ao tempo.
4. Substituir os valores conhecidos no instante considerado.
5. Isolar a taxa de variação desejada.

Atenção: não substitua os valores numéricos antes de derivar a equação. As grandezas devem permanecer como variáveis durante a derivação.

5. Exemplos resolvidos

Exemplo 1 — Crescimento da área de um círculo

O raio de um círculo aumenta à taxa de $2$ cm/s. Determine a taxa de variação de sua área no instante em que o raio mede $5$ cm.

Resolução

A área de um círculo é dada por:

$$A=\pi r^2$$

Como o raio varia com o tempo, derivamos os dois lados em relação a $t$:

$$\frac{dA}{dt} = 2\pi r\frac{dr}{dt}$$

Sabemos que:

$$r=5$$

e

$$\frac{dr}{dt}=2$$

Substituindo:

$$\frac{dA}{dt} = 2\pi(5)(2)$$

Portanto:

$$\boxed{\frac{dA}{dt}=20\pi\text{ cm}^2/\text{s}}$$

A área do círculo aumenta à taxa de $20\pi$ cm²/s naquele instante.

Exemplo 2 — Enchimento de uma esfera

Uma esfera está sendo preenchida com água de modo que seu raio aumenta à taxa de $3$ cm/s. Determine a taxa de variação do volume quando o raio mede $2$ cm.

Resolução

O volume de uma esfera é:

$$V=\frac{4}{3}\pi r^3$$

Derivando em relação ao tempo:

$$\frac{dV}{dt} = \frac{4}{3}\pi\cdot 3r^2\frac{dr}{dt}$$

Simplificando:

$$\frac{dV}{dt} = 4\pi r^2\frac{dr}{dt}$$

Substituindo $r=2$ e $\frac{dr}{dt}=3$:

$$\frac{dV}{dt} = 4\pi(2)^2(3)$$

Logo:

$$\boxed{\frac{dV}{dt}=48\pi\text{ cm}^3/\text{s}}$$

Exemplo 3 — Escada apoiada em uma parede

Uma escada de 10 metros está apoiada em uma parede vertical. Sua base se afasta da parede à velocidade de 2 m/s.

Determine a velocidade com que o topo da escada desce quando sua base está a 6 metros da parede.

Resolução

Seja:

• $x$: distância da base da escada até a parede;
• $y$: altura do topo da escada em relação ao chão.

Como a escada tem comprimento constante de 10 metros, pelo teorema de Pitágoras:

$$x^2+y^2=100$$

Derivando em relação ao tempo:

$$2x\frac{dx}{dt} + 2y\frac{dy}{dt} =0$$

Simplificando:

$$x\frac{dx}{dt} + y\frac{dy}{dt} =0$$

Queremos determinar $\frac{dy}{dt}$ quando $x=6$.

Primeiramente, encontramos a altura nesse instante:

$$6^2+y^2=100$$ $$y^2=64$$ $$y=8$$

Sabemos também que:

$$\frac{dx}{dt}=2$$

Substituindo na equação derivada:

$$6(2)+8\frac{dy}{dt}=0$$ $$12+8\frac{dy}{dt}=0$$ $$\frac{dy}{dt}=-\frac{12}{8}$$

Portanto:

$$\boxed{\frac{dy}{dt}=-1,5\text{ m/s}}$$

O sinal negativo indica que o topo da escada está descendo. Assim, sua altura diminui à velocidade de 1,5 m/s.

Exemplo 4 — Dois veículos em movimento

Dois veículos partem de um mesmo ponto. Um segue para o norte a 30 km/h, enquanto o outro segue para o leste a 40 km/h.

Determine a taxa de variação da distância entre eles após 2 horas.

Resolução

Sejam:

• $x$: distância percorrida pelo veículo que segue para leste;
• $y$: distância percorrida pelo veículo que segue para norte;
• $z$: distância entre os dois veículos.

Como as trajetórias são perpendiculares:

$$z^2=x^2+y^2$$

Derivando em relação ao tempo:

$$2z\frac{dz}{dt} = 2x\frac{dx}{dt} + 2y\frac{dy}{dt}$$

Simplificando:

$$z\frac{dz}{dt} = x\frac{dx}{dt} + y\frac{dy}{dt}$$

Após 2 horas:

$$x=40\cdot 2=80$$ $$y=30\cdot 2=60$$

Calculamos a distância entre os veículos:

$$z=\sqrt{80^2+60^2}$$ $$z=100$$

As taxas de variação são:

$$\frac{dx}{dt}=40$$ $$\frac{dy}{dt}=30$$

Substituindo:

$$100\frac{dz}{dt} = 80(40)+60(30)$$ $$100\frac{dz}{dt}=5000$$

Logo:

$$\boxed{\frac{dz}{dt}=50\text{ km/h}}$$

A distância entre os veículos aumenta à taxa de 50 km/h após duas horas.

6. Cuidados importantes

Alguns erros são frequentes na resolução de problemas de taxas relacionadas:

• Esquecer a regra da cadeia: ao derivar $r^2$, por exemplo, devemos obter $2r\frac{dr}{dt}$.
• Substituir os valores antes da derivação: isso pode eliminar a dependência temporal das grandezas.
• Ignorar os sinais: uma taxa negativa indica diminuição da grandeza.
• Confundir grandezas com taxas: o raio é medido em centímetros, enquanto sua taxa de variação é medida em centímetros por segundo.
• Não verificar as unidades: a taxa de variação da área deve ter unidade de área por tempo; a do volume, volume por tempo.

7. Exercícios de fixação

🧩 Exercício 1 Fácil

O raio de um círculo aumenta à taxa de $4$ cm/s. Qual é a taxa de variação da área quando o raio mede $3$ cm?

A área do círculo é:

$$A=\pi r^2$$

Derivando em relação ao tempo:

$$\frac{dA}{dt}=2\pi r\frac{dr}{dt}$$

Substituindo $r=3$ e $\frac{dr}{dt}=4$:

$$\frac{dA}{dt}=2\pi(3)(4)$$$$\boxed{\frac{dA}{dt}=24\pi\text{ cm}^2/\text{s}}$$

Alternativa C.

🧩 Exercício 2 Fácil

O lado de um quadrado aumenta à taxa de $5$ cm/s. Determine a taxa de variação de sua área quando o lado mede $4$ cm.

A área de um quadrado é:

$$A=x^2$$

Derivando:

$$\frac{dA}{dt}=2x\frac{dx}{dt}$$

Substituindo os valores:

$$\frac{dA}{dt}=2(4)(5)$$$$\boxed{\frac{dA}{dt}=40\text{ cm}^2/\text{s}}$$

Alternativa D.

🧩 Exercício 3 Médio

O volume de uma esfera é dado por $V=\frac{4}{3}\pi r^3$. Se o raio diminui à taxa de $2$ cm/s, determine a taxa de variação do volume quando $r=3$ cm.

Derivando a expressão do volume:

$$\frac{dV}{dt}=4\pi r^2\frac{dr}{dt}$$

Como o raio diminui, temos:

$$\frac{dr}{dt}=-2$$

Substituindo $r=3$:

$$\frac{dV}{dt}=4\pi(3)^2(-2)$$$$\boxed{\frac{dV}{dt}=-72\pi\text{ cm}^3/\text{s}}$$

Alternativa E.

🧩 Exercício 4 Médio

Uma escada de 13 metros está apoiada em uma parede. Sua base se afasta da parede à taxa de 5 m/s. Determine a velocidade com que o topo desce quando a base está a 5 metros da parede.

Sejam $x$ a distância da base à parede e $y$ a altura do topo.

Pelo teorema de Pitágoras:

$$x^2+y^2=169$$

Derivando em relação ao tempo:

$$2x\frac{dx}{dt}+2y\frac{dy}{dt}=0$$

Quando $x=5$:

$$5^2+y^2=169$$$$y=12$$

Como $\frac{dx}{dt}=5$, temos:

$$2(5)(5)+2(12)\frac{dy}{dt}=0$$$$50+24\frac{dy}{dt}=0$$$$\boxed{\frac{dy}{dt}=-\frac{25}{12}\text{ m/s}}$$

Alternativa C.

🧩 Exercício 5 Médio

Dois veículos partem de um mesmo ponto e seguem em direções perpendiculares. Um se desloca para leste a 6 m/s e o outro para norte a 8 m/s. Qual é a taxa de variação da distância entre eles após 10 segundos?

Sejam $x$ e $y$ as distâncias percorridas pelos veículos e $z$ a distância entre eles.

Pelo teorema de Pitágoras:

$$z^2=x^2+y^2$$

Derivando:

$$z\frac{dz}{dt} = x\frac{dx}{dt} + y\frac{dy}{dt}$$

Após 10 segundos:

$$x=6(10)=60$$$$y=8(10)=80$$

Logo:

$$z=\sqrt{60^2+80^2}=100$$

Substituindo as taxas:

$$100\frac{dz}{dt} = 60(6)+80(8)$$$$100\frac{dz}{dt}=1000$$

Portanto:

$$\boxed{\frac{dz}{dt}=10\text{ m/s}}$$

Alternativa D.

8. Conclusão

Os problemas de taxas relacionadas mostram como a derivada pode ser utilizada para estudar fenômenos em que diferentes grandezas variam simultaneamente.

O procedimento fundamental consiste em estabelecer uma relação matemática entre as grandezas, derivar essa relação em função do tempo e utilizar os valores conhecidos para determinar a taxa desejada.

Na próxima aula, estudaremos as aplicações das derivadas: máximos e mínimos, explorando como encontrar valores extremos de funções e resolver problemas de otimização.