Regra da Cadeia

Até aqui, aprendemos a derivar funções construídas por meio de operações como soma, diferença, produto e quociente.

Por exemplo:

$$f(x)=x^2+3x$$

é uma soma de funções.

Também aprendemos a derivar produtos:

$$f(x)=x^2\operatorname{sen}x$$

e quocientes:

$$f(x)=\frac{x^2+1}{x+1}.$$

Mas agora aparece uma situação diferente.

Considere:

$$f(x)=(x^2+1)^5.$$

Temos uma função dentro de outra função.

Primeiro aparece

$$x^2+1,$$

e depois essa expressão é elevada à quinta potência.

Essa estrutura é chamada de função composta.

Para derivar esse tipo de função, utilizamos a Regra da Cadeia.

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1. O que é uma função composta?

Considere duas funções:

$$g(x)$$

e

$$f(x).$$

Podemos aplicar primeiro $g$ e depois aplicar $f$ ao resultado.

Escrevemos:

$$F(x)=f(g(x)).$$

Essa função é chamada de composição de funções.

Usamos a notação:

$$\boxed{ F=f\circ g }$$

que significa:

$$(f\circ g)(x)=f(g(x)).$$

Por exemplo, considere:

$$F(x)=(x^2+1)^5.$$

Podemos separar a expressão em duas funções.

A função interna é:

$$g(x)=x^2+1.$$

A função externa é:

$$f(u)=u^5.$$

Assim:

$$F(x)=f(g(x)).$$

Ou seja:

$$F(x)=(x^2+1)^5.$$

Essa identificação será fundamental para aplicar a Regra da Cadeia.

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2. A ideia da Regra da Cadeia

Quando uma quantidade depende de outra, e essa outra depende de uma terceira, as taxas de variação podem ser encadeadas.

Imagine:

$$x\longrightarrow u\longrightarrow y.$$

Ou seja:

$$u=g(x)$$

e

$$y=f(u).$$

Então $y$ depende de $x$ indiretamente através de $u$.

A Regra da Cadeia diz que:

$$\boxed{ \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \frac{du}{dx} }$$

Essa expressão é uma das formas mais importantes de interpretar a regra.

A derivada total é obtida multiplicando as duas taxas de variação.

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3. Fórmula da Regra da Cadeia

Considere:

$$F(x)=f(g(x)).$$

Se $f$ é diferenciável em $g(x)$ e $g$ é diferenciável em $x$, então:

$$\boxed{ F'(x) = f'(g(x))\cdot g'(x) }$$

Essa é a Regra da Cadeia.

Em palavras:

Derive a função de fora, mantendo a função de dentro, e depois multiplique pela derivada da função de dentro.

Essa frase é bastante útil na prática.

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4. Exemplo mais simples

Considere:

$$F(x)=(x^2+1)^5.$$

Primeiro identificamos a função interna:

$$g(x)=x^2+1.$$

A função externa é:

$$f(u)=u^5.$$

Derivando a função externa:

$$f'(u)=5u^4.$$

Agora derivamos a função interna:

$$g'(x)=2x.$$

Aplicando a Regra da Cadeia:

$$F'(x) = 5(x^2+1)^4\cdot2x.$$

Portanto:

$$\boxed{ F'(x)=10x(x^2+1)^4 }$$

Observe que não derivamos simplesmente:

$$(x^2+1)^5$$

como se $x^2+1$ fosse apenas $x$.

A derivada da expressão interna também precisa aparecer.

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5. Demonstração da Regra da Cadeia

Vamos agora entender de onde vem essa regra.

Considere:

$$F(x)=f(g(x)).$$

Defina:

$$u=g(x).$$

Então:

$$F(x)=f(u).$$

Pela definição da derivada:

$$F'(x) = \lim_{h\to0} \frac{F(x+h)-F(x)}{h}.$$

Substituindo $F$:

$$F'(x) = \lim_{h\to0} \frac{ f(g(x+h))-f(g(x)) }{ h }.$$

Agora introduzimos:

$$\Delta u=g(x+h)-g(x).$$

Podemos escrever:

$$\frac{ f(g(x+h))-f(g(x)) }{ h }$$

como

$$\frac{ f(g(x+h))-f(g(x)) }{ g(x+h)-g(x) } \cdot \frac{ g(x+h)-g(x) }{ h }.$$

Portanto:

$$F'(x) = \lim_{h\to0} \left[ \frac{ f(g(x+h))-f(g(x)) }{ g(x+h)-g(x) } \right] \left[ \frac{ g(x+h)-g(x) }{ h } \right].$$

Quando $h\to0$, temos:

$$g(x+h)\to g(x).$$

Assim, o primeiro limite corresponde à derivada de $f$ em $g(x)$:

$$f'(g(x)).$$

O segundo corresponde à derivada de $g$ em $x$:

$$g'(x).$$

Logo:

$$\boxed{ F'(x)=f'(g(x))g'(x) }$$

Portanto, a Regra da Cadeia está demonstrada.

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6. Um método prático

Para evitar erros, podemos seguir três passos.

Passo 1 — Identifique a função interna

Por exemplo:

$$F(x)=\left(3x^2-2\right)^4.$$

A função interna é:

$$g(x)=3x^2-2.$$

Passo 2 — Derive a função externa

A função externa é:

$$f(u)=u^4.$$

Logo:

$$f'(u)=4u^3.$$

Passo 3 — Multiplique pela derivada da função interna

Temos:

$$g'(x)=6x.$$

Então:

$$F'(x) = 4(3x^2-2)^3\cdot6x.$$

Portanto:

$$\boxed{ F'(x)=24x(3x^2-2)^3 }$$

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7. A Regra da Cadeia e a Regra da Potência

É importante perceber que a Regra da Cadeia generaliza a regra da potência.

Quando temos:

$$F(x)=x^n,$$

podemos considerar a função interna:

$$g(x)=x.$$

Como:

$$g'(x)=1,$$

a Regra da Cadeia fornece:

$$F'(x) = nx^{n-1}\cdot1.$$

Portanto:

$$F'(x)=nx^{n-1}.$$

Assim, a regra da potência é um caso particular da ideia de composição.

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8. Funções compostas mais elaboradas

A Regra da Cadeia não serve apenas para potências.

Ela também aparece em expressões como:

$$F(x)=\operatorname{sen}(x^2).$$

Nesse caso:

$$g(x)=x^2$$

e a função externa é:

$$f(u)=\operatorname{sen}u.$$

Sabemos que:

$$f'(u)=\cos u.$$

Além disso:

$$g'(x)=2x.$$

Portanto:

$$F'(x) = \cos(x^2)\cdot2x.$$

Logo:

$$\boxed{ F'(x)=2x\cos(x^2) }$$

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9. Outro exemplo: função exponencial

Considere:

$$F(x)=e^{3x+1}.$$

A função interna é:

$$g(x)=3x+1.$$

A função externa é:

$$f(u)=e^u.$$

Como:

$$f'(u)=e^u$$

e

$$g'(x)=3,$$

temos:

$$F'(x) = e^{3x+1}\cdot3.$$

Portanto:

$$\boxed{ F'(x)=3e^{3x+1} }$$

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10. Outro exemplo: função logarítmica

Considere:

$$F(x)=\ln(x^2+1).$$

A função interna é:

$$g(x)=x^2+1.$$

A função externa é:

$$f(u)=\ln u.$$

Sabemos que:

$$f'(u)=\frac{1}{u}.$$

Além disso:

$$g'(x)=2x.$$

Aplicando a Regra da Cadeia:

$$F'(x) = \frac{1}{x^2+1}\cdot2x.$$

Assim:

$$\boxed{ F'(x)=\frac{2x}{x^2+1} }$$

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11. Regra da Cadeia em uma expressão com várias operações

Considere:

$$F(x)=\left(x^2+3x+1\right)^7.$$

A função interna é:

$$g(x)=x^2+3x+1.$$

Sua derivada é:

$$g'(x)=2x+3.$$

A função externa é:

$$f(u)=u^7.$$

Logo:

$$f'(u)=7u^6.$$

Aplicando a Regra da Cadeia:

$$F'(x) = 7(x^2+3x+1)^6(2x+3).$$

Portanto:

$$\boxed{ F'(x) = 7(2x+3)(x^2+3x+1)^6 }$$

Não é necessário desenvolver a potência.

Na maioria dos casos, a forma fatorada é mais útil.

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12. Erros comuns

Erro 1 — esquecer a derivada da função interna

Considere:

$$F(x)=(x^2+1)^5.$$

Um erro comum seria escrever:

$$F'(x)=5(x^2+1)^4.$$

Essa expressão está incompleta.

É necessário multiplicar pela derivada de:

$$x^2+1.$$

Como:

$$\frac{d}{dx}(x^2+1)=2x,$$

temos:

$$\boxed{ F'(x)=10x(x^2+1)^4 }$$

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Erro 2 — derivar a função interna antes da externa

Na Regra da Cadeia, uma forma segura de trabalhar é:

$$\boxed{ \text{derivada da função externa} \times \text{derivada da função interna} }$$

Por exemplo:

$$F(x)=(3x+1)^4.$$

Primeiro:

$$4(3x+1)^3.$$

Depois:

$$\frac{d}{dx}(3x+1)=3.$$

Logo:

$$F'(x)=12(3x+1)^3.$$

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Erro 3 — esquecer que a função interna permanece

Considere:

$$F(x)=\operatorname{sen}(x^2).$$

A derivada da função seno é:

$$\cos x.$$

Mas aqui o argumento não é simplesmente $x$.

O argumento é:

$$x^2.$$

Portanto:

$$\frac{d}{dx}\operatorname{sen}(x^2) = \cos(x^2)\cdot2x.$$

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13. Regra da Cadeia e as regras anteriores

Agora nossa coleção de regras ficou ainda mais poderosa.

Operação	Derivada
Constante	$(c)'=0$
Potência	$(x^n)'=nx^{n-1}$
Soma	$(f+g)'=f'+g'$
Diferença	$(f-g)'=f'-g'$
Múltiplo constante	$(cf)'=cf'$
Produto	$(fg)'=f'g+fg'$
Quociente	$\displaystyle\left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f'g-fg'}{g^2}$
Composição	$\displaystyle(f\circ g)'=f'(g(x))g'(x)$

A partir daqui, podemos combinar essas regras.

Por exemplo:

$$F(x)=\frac{(x^2+1)^3}{x+1}.$$

Essa função envolve simultaneamente:

• composição;
• potência;
• quociente.

Assim, as regras de derivação começam a funcionar como uma verdadeira caixa de ferramentas.

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14. Exercícios

🧩 Exercício 1 Fácil

Considere:

$$f(x)=(x^2+1)^3.$$

Determine $f'(x)$.

A função interna é:

$$g(x)=x^2+1.$$

Sua derivada é:

$$g'(x)=2x.$$

A função externa é:

$$f(u)=u^3.$$

Logo:

$$f'(u)=3u^2.$$

Aplicando a Regra da Cadeia:

$$f'(x) = 3(x^2+1)^2\cdot2x.$$

Portanto:

$$\boxed{ f'(x)=6x(x^2+1)^2 }$$

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🧩 Exercício 2 Média

Considere:

$$f(x)=(3x^2-2)^4.$$

Determine $f'(1)$.

A função interna é:

$$g(x)=3x^2-2.$$

Então:

$$g'(x)=6x.$$

A função externa é:

$$f(u)=u^4.$$

Logo:

$$f'(u)=4u^3.$$

Aplicando a Regra da Cadeia:

$$f'(x) = 4(3x^2-2)^3\cdot6x.$$

Assim:

$$f'(x) = 24x(3x^2-2)^3.$$

Para $x=1$:

$$f'(1) = 24(1)(3-2)^3.$$

Portanto:

$$\boxed{ f'(1)=24 }$$

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🧩 Exercício 3 Média

Considere:

$$f(x)=\operatorname{sen}(x^2).$$

Determine $f'(x)$.

A função interna é:

$$g(x)=x^2.$$

Logo:

$$g'(x)=2x.$$

A função externa é:

$$f(u)=\operatorname{sen}u.$$

Sua derivada é:

$$f'(u)=\cos u.$$

Aplicando a Regra da Cadeia:

$$f'(x) = \cos(x^2)\cdot2x.$$

Portanto:

$$\boxed{ f'(x)=2x\cos(x^2) }$$

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🧩 Exercício 4 Média

Considere:

$$f(x)=e^{2x^2+1}.$$

Determine $f'(x)$.

A função interna é:

$$g(x)=2x^2+1.$$

Logo:

$$g'(x)=4x.$$

A função externa é:

$$f(u)=e^u.$$

Sua derivada é:

$$f'(u)=e^u.$$

Aplicando a Regra da Cadeia:

$$f'(x) = e^{2x^2+1}\cdot4x.$$

Portanto:

$$\boxed{ f'(x)=4xe^{2x^2+1} }$$

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🧩 Exercício 5 Difícil

Considere:

$$f(x)=\left(x^2+1\right)^3(x-2).$$

Determine $f'(1)$.

Agora temos uma combinação da Regra do Produto com a Regra da Cadeia.

Definimos:

$$u(x)=\left(x^2+1\right)^3$$

e

$$v(x)=x-2.$$

Pela Regra do Produto:

$$f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).$$

Primeiro precisamos calcular $u'(x)$.

Temos:

$$u(x)=\left(x^2+1\right)^3.$$

Aplicando a Regra da Cadeia:

$$u'(x) = 3(x^2+1)^2\cdot2x.$$

Logo:

$$u'(x)=6x(x^2+1)^2.$$

Além disso:

$$v'(x)=1.$$

Portanto:

$$f'(x) = 6x(x^2+1)^2(x-2) + (x^2+1)^3.$$

Agora calculamos em $x=1$:

$$f'(1) = 6(1)(2)^2(-1)+(2)^3.$$

Então:

$$f'(1) = 24(-1)+8.$$

Logo:

$$\boxed{ f'(1)=-16 }$$

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15. Resumo

A Regra da Cadeia é utilizada quando temos uma função composta:

$$F(x)=f(g(x)).$$

Sua fórmula é:

$$\boxed{ F'(x)=f'(g(x))g'(x) }$$

O procedimento pode ser resumido assim:

1. identifique a função interna;
2. derive a função externa mantendo a função interna;
3. multiplique pela derivada da função interna.

Por exemplo:

$$F(x)=(x^2+1)^5.$$

Temos:

$$\text{função externa: }u^5$$

e

$$\text{função interna: }x^2+1.$$

Então:

$$F'(x) = 5(x^2+1)^4\cdot2x.$$

Portanto:

$$\boxed{ F'(x)=10x(x^2+1)^4 }$$

A grande ideia é:

Quando uma função está dentro de outra, a derivada também precisa acompanhar essa estrutura.

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16. Próximo passo

Agora já dominamos as principais regras algébricas de derivação:

• constantes;
• potências;
• soma;
• diferença;
• múltiplo constante;
• produto;
• quociente;
• composição.

O próximo passo natural é aplicar essas regras às funções trigonométricas.

Começaremos pelas derivadas de:

$$\operatorname{sen}x, \qquad \cos x, \qquad \tan x.$$

Depois poderemos combinar essas derivadas com a Regra da Cadeia para obter expressões como:

$$\frac{d}{dx}\operatorname{sen}(x^2)$$

e

$$\frac{d}{dx}\tan(3x+1).$$

Assim, a próxima etapa será:

Derivadas das Funções Trigonométricas.