Regra da Cadeia Aplicada às Funções Trigonométricas

Na aula anterior, estudamos as derivadas das principais funções trigonométricas. Aprendemos, por exemplo, que:

$$\frac{d}{dx}(\operatorname{sen}x)=\cos x$$ $$\frac{d}{dx}(\cos x)=-\operatorname{sen}x$$

Mas como devemos proceder quando o argumento da função trigonométrica não é simplesmente $x$?

Considere, por exemplo:

$$f(x)=\operatorname{sen}(x^2)$$

Nesse caso, temos uma função seno cujo argumento é outra função, $x^2$.

Para derivar expressões desse tipo, precisamos combinar as derivadas trigonométricas com a Regra da Cadeia.

1. Relembrando a Regra da Cadeia

A Regra da Cadeia é utilizada quando uma função é composta por outras funções.

Se:

$$y=f(g(x))$$

então sua derivada é:

$$\boxed{y'=f'(g(x))\cdot g'(x)}$$

Em outras palavras, derivamos a função externa, mantendo a função interna, e multiplicamos pela derivada da função interna.

Podemos resumir o procedimento em três etapas:

1. Identificar a função externa e a função interna.
2. Derivar a função externa, mantendo a interna.
3. Multiplicar pela derivada da função interna.

Vamos aplicar esse procedimento às funções trigonométricas.

2. Derivada do seno de uma função

Considere uma função da forma:

$$f(x)=\operatorname{sen}(u(x))$$

A função externa é o seno e a função interna é $u(x)$.

Sabemos que a derivada do seno é o cosseno. Portanto, derivamos a função externa e multiplicamos pela derivada da função interna.

Se $u=u(x)$, então:

$$\boxed{ \frac{d}{dx}[\operatorname{sen}(u)] = \cos(u)\cdot u' }$$

Exemplo 1

Determine a derivada da função:

$$f(x)=\operatorname{sen}(x^2)$$

1º passo: identificar a função interna.

$$u(x)=x^2$$

Sua derivada é:

$$u'(x)=2x$$

2º passo: derivar a função externa.

A derivada do seno é o cosseno. Assim:

$$\cos(x^2)$$

3º passo: multiplicar pela derivada da função interna.

$$f'(x)=\cos(x^2)\cdot 2x$$

Portanto:

$$\boxed{f'(x)=2x\cos(x^2)}$$

Exemplo 2

Determine a derivada:

$$f(x)=\operatorname{sen}(3x+1)$$

A função interna é:

$$u(x)=3x+1$$

Sua derivada é:

$$u'(x)=3$$

Aplicando a Regra da Cadeia:

$$f'(x)=\cos(3x+1)\cdot 3$$

Logo:

$$\boxed{f'(x)=3\cos(3x+1)}$$

Observe que, mesmo quando a função interna é uma expressão simples, como $3x+1$, precisamos multiplicar pela sua derivada.

3. Derivada do cosseno de uma função

Agora considere:

$$f(x)=\cos(u(x))$$

Sabemos que a derivada do cosseno é o seno com sinal negativo.

Se $u=u(x)$, então:

$$\boxed{ \frac{d}{dx}[\cos(u)] = -\operatorname{sen}(u)\cdot u' }$$

Exemplo 3

Determine a derivada:

$$f(x)=\cos(5x^2-2x)$$

Primeiramente, identificamos a função interna:

$$u(x)=5x^2-2x$$

Derivando:

$$u'(x)=10x-2$$

A derivada do cosseno da função interna é:

$$-\operatorname{sen}(5x^2-2x)$$

Multiplicando pela derivada da função interna:

$$f'(x)= -\operatorname{sen}(5x^2-2x)(10x-2)$$

Portanto:

$$\boxed{ f'(x)=-(10x-2)\operatorname{sen}(5x^2-2x) }$$

4. Derivada da tangente de uma função

Sabemos que:

$$\frac{d}{dx}(\tan x)=\sec^2x$$

Aplicando a Regra da Cadeia, obtemos:

Se $u=u(x)$, então:

$$\boxed{ \frac{d}{dx}[\tan(u)] = \sec^2(u)\cdot u' }$$

Exemplo 4

Determine a derivada:

$$f(x)=\tan(2x^3+4)$$

A função interna é:

$$u(x)=2x^3+4$$

Derivando:

$$u'(x)=6x^2$$

Aplicando a Regra da Cadeia:

$$f'(x)=\sec^2(2x^3+4)\cdot 6x^2$$

Logo:

$$\boxed{ f'(x)=6x^2\sec^2(2x^3+4) }$$

5. Derivadas da cotangente, secante e cossecante de uma função

O mesmo raciocínio pode ser aplicado às demais funções trigonométricas.

Se $u=u(x)$, temos:

$$\frac{d}{dx}[\cot(u)] = -\csc^2(u)\cdot u'$$$$\frac{d}{dx}[\sec(u)] = \sec(u)\tan(u)\cdot u'$$$$\frac{d}{dx}[\csc(u)] = -\csc(u)\cot(u)\cdot u'$$

Exemplo 5

Determine a derivada:

$$f(x)=\sec(4x-3)$$

A função interna é:

$$u(x)=4x-3$$

Sua derivada é:

$$u'(x)=4$$

Utilizando a fórmula da derivada da secante:

$$f'(x)=\sec(4x-3)\tan(4x-3)\cdot 4$$

Portanto:

$$\boxed{ f'(x)=4\sec(4x-3)\tan(4x-3) }$$

6. Funções trigonométricas com potências

Um caso bastante comum envolve funções trigonométricas elevadas a uma potência.

Considere:

$$f(x)=[\operatorname{sen}(x)]^3$$

Podemos reescrever essa função como:

$$f(x)=(\operatorname{sen}x)^3$$

Nesse caso, temos duas aplicações da Regra da Cadeia:

• A função externa é a potência de expoente 3.
• A função interna é o seno de $x$.

Primeiro, derivamos a potência:

$$f'(x)=3(\operatorname{sen}x)^2 \cdot \frac{d}{dx}(\operatorname{sen}x)$$

Como a derivada do seno é o cosseno:

$$f'(x)=3\operatorname{sen}^2x\cos x$$

Logo:

$$\boxed{ f'(x)=3\operatorname{sen}^2x\cos x }$$

Exemplo 6

Determine a derivada:

$$f(x)=\cos^4(2x)$$

Podemos escrever:

$$f(x)=[\cos(2x)]^4$$

Aplicamos a regra da potência:

$$f'(x)=4[\cos(2x)]^3 \cdot \frac{d}{dx}[\cos(2x)]$$

Agora, derivamos o cosseno utilizando a Regra da Cadeia:

$$\frac{d}{dx}[\cos(2x)] = -2\operatorname{sen}(2x)$$

Substituindo:

$$f'(x)= 4\cos^3(2x)\cdot[-2\operatorname{sen}(2x)]$$

Portanto:

$$\boxed{ f'(x)=-8\cos^3(2x)\operatorname{sen}(2x) }$$

Atenção: a notação $\cos^4(2x)$ significa $[\cos(2x)]^4$, e não $\cos( (2x)^4 )$.

7. Funções trigonométricas compostas com mais de uma operação

Em alguns problemas, a função interna também pode apresentar várias operações.

Considere:

$$f(x)=\operatorname{sen}^2(3x^2+1)$$

Podemos reescrever:

$$f(x)=[\operatorname{sen}(3x^2+1)]^2$$

Para derivar, precisamos aplicar a Regra da Cadeia sucessivamente.

1º passo: derivar a potência externa.

$$f'(x)= 2\operatorname{sen}(3x^2+1) \cdot \frac{d}{dx}[\operatorname{sen}(3x^2+1)]$$

2º passo: derivar o seno.

$$\frac{d}{dx}[\operatorname{sen}(3x^2+1)] = \cos(3x^2+1)\cdot 6x$$

3º passo: reunir os fatores.

$$f'(x)= 2\operatorname{sen}(3x^2+1) \cdot \cos(3x^2+1) \cdot 6x$$

Assim:

$$\boxed{ f'(x)= 12x\operatorname{sen}(3x^2+1) \cos(3x^2+1) }$$

Esse exemplo mostra que a Regra da Cadeia pode ser aplicada várias vezes na mesma função.

8. Erros comuns

Ao derivar funções trigonométricas compostas, alguns erros aparecem com frequência.

Erro 1 — Esquecer de derivar a função interna

Incorreto:

$$\frac{d}{dx}[\operatorname{sen}(3x)] = \cos(3x)$$

Correto:

$$\frac{d}{dx}[\operatorname{sen}(3x)] = 3\cos(3x)$$

Erro 2 — Esquecer o sinal negativo na derivada do cosseno

Incorreto:

$$\frac{d}{dx}[\cos(2x)] = 2\operatorname{sen}(2x)$$

Correto:

$$\frac{d}{dx}[\cos(2x)] = -2\operatorname{sen}(2x)$$

Erro 3 — Confundir potência com argumento

As expressões abaixo representam funções diferentes:

$$\operatorname{sen}^2x=[\operatorname{sen}x]^2$$ $$\operatorname{sen}(x^2)$$

Na primeira, o seno está elevado ao quadrado. Na segunda, o argumento do seno é $x^2$.

Portanto, suas derivadas também são diferentes:

$$\frac{d}{dx}(\operatorname{sen}^2x) = 2\operatorname{sen}x\cos x$$ $$\frac{d}{dx}[\operatorname{sen}(x^2)] = 2x\cos(x^2)$$

9. Exercícios de fixação

🧩 Exercício 1 Fácil

Determine a derivada da função:

$$f(x)=\operatorname{sen}(4x)$$

A função interna é:

$$u(x)=4x$$

Sua derivada é:

$$u'(x)=4$$

Aplicando a Regra da Cadeia:

$$f'(x)=\cos(4x)\cdot 4$$

Portanto:

$$\boxed{f'(x)=4\cos(4x)}$$

A alternativa correta é B.

🧩 Exercício 2 Fácil

A derivada da função

$$f(x)=\cos(3x^2)$$

é:

Identificamos a função interna:

$$u(x)=3x^2$$

Derivando:

$$u'(x)=6x$$

A derivada do cosseno é o seno com sinal negativo. Logo:

$$f'(x)= -\operatorname{sen}(3x^2)\cdot 6x$$

Portanto:

$$\boxed{ f'(x)=-6x\operatorname{sen}(3x^2) }$$

A alternativa correta é C.

🧩 Exercício 3 Médio

Determine a derivada da função:

$$f(x)=\tan(x^2+2x)$$

A função interna é:

$$u(x)=x^2+2x$$

Sua derivada é:

$$u'(x)=2x+2$$

Sabemos que a derivada da tangente é a secante ao quadrado. Aplicando a Regra da Cadeia:

$$f'(x)= \sec^2(x^2+2x)(2x+2)$$

Portanto:

$$\boxed{ f'(x)=(2x+2)\sec^2(x^2+2x) }$$

A alternativa correta é C.

🧩 Exercício 4 Médio

Determine a derivada da função:

$$f(x)=\operatorname{sen}^3(2x)$$

Reescrevendo a função:

$$f(x)=[\operatorname{sen}(2x)]^3$$

Aplicamos a regra da potência:

$$f'(x)= 3\operatorname{sen}^2(2x) \cdot \frac{d}{dx}[\operatorname{sen}(2x)]$$

Pela Regra da Cadeia:

$$\frac{d}{dx}[\operatorname{sen}(2x)] = 2\cos(2x)$$

Assim:

$$f'(x)= 3\operatorname{sen}^2(2x)\cdot 2\cos(2x)$$

Logo:

$$\boxed{ f'(x)=6\operatorname{sen}^2(2x)\cos(2x) }$$

A alternativa correta é B.

🧩 Exercício 5 Difícil

Considere a função:

$$f(x)=\cos^2(x^2+1)$$

O valor de $f'(1)$ é:

Podemos escrever:

$$f(x)=[\cos(x^2+1)]^2$$

Aplicando a regra da potência:

$$f'(x)= 2\cos(x^2+1) \cdot \frac{d}{dx}[\cos(x^2+1)]$$

Derivando o cosseno pela Regra da Cadeia:

$$\frac{d}{dx}[\cos(x^2+1)] = -\operatorname{sen}(x^2+1)\cdot 2x$$

Substituindo:

$$f'(x)= -4x\cos(x^2+1)\operatorname{sen}(x^2+1)$$

Agora, calculamos em $x=1$:

$$f'(1)= -4\cos(2)\operatorname{sen}(2)$$

Portanto:

$$\boxed{ f'(1)=-4\operatorname{sen}(2)\cos(2) }$$

A alternativa correta é A.

10. Conclusão

Nesta aula, aprendemos a aplicar a Regra da Cadeia às funções trigonométricas.

O procedimento fundamental é sempre o mesmo:

1. Derivar a função externa.
2. Manter o argumento da função trigonométrica.
3. Multiplicar pela derivada do argumento.

Também estudamos funções trigonométricas elevadas a potências, que exigem aplicações sucessivas da Regra da Cadeia.

Na próxima aula, vamos estudar as derivadas das funções trigonométricas inversas, como arco seno, arco cosseno e arco tangente.

Essas funções aparecem em problemas nos quais precisamos determinar a variação de um ângulo a partir de uma relação entre grandezas.