Derivação Implícita

Até agora, estudamos principalmente funções nas quais conseguimos escrever a variável dependente explicitamente em função da variável independente.

Por exemplo:

$$y=x^2+3x+1$$

Nesse caso, derivar é relativamente simples:

$$\frac{dy}{dx}=2x+3$$

Entretanto, nem sempre conseguimos ou precisamos isolar a variável $y$.

Considere a equação:

$$x^2+y^2=25$$

Essa equação representa uma circunferência de centro na origem e raio 5.

Podemos observar que $y$ depende de $x$, mas não está isolada na equação.

Como determinar a derivada de $y$ em relação a $x$?

É justamente esse o objetivo da derivação implícita.

1. O que é derivação implícita?

Uma função está definida explicitamente quando conseguimos escrever diretamente uma variável em função da outra.

Por exemplo:

$$y=3x^2-2x+1$$

Já uma relação está definida implicitamente quando as variáveis aparecem relacionadas por uma equação, sem que uma delas esteja necessariamente isolada.

Exemplo:

$$x^2+y^2=25$$

A derivação implícita consiste em derivar os dois lados de uma equação em relação a $x$, considerando que $y$ é uma função de $x$.

Essa última observação é fundamental.

Quando derivamos uma expressão que contém $y$, precisamos utilizar a Regra da Cadeia, pois $y$ depende de $x$.

Assim:

$$\frac{d}{dx}(y)=\frac{dy}{dx}$$

E, pela regra da cadeia:

$$\frac{d}{dx}(y^2)=2y\frac{dy}{dx}$$

Observe que não podemos simplesmente derivar $y^2$ como se $y$ fosse uma constante independente de $x$.

2. Derivando uma equação implicitamente

Vamos retomar a equação da circunferência:

$$x^2+y^2=25$$

Derivamos os dois lados em relação a $x$:

$$\frac{d}{dx}(x^2+y^2) = \frac{d}{dx}(25)$$

Aplicando as regras de derivação:

$$2x+2y\frac{dy}{dx}=0$$

Agora, isolamos a derivada:

$$2y\frac{dy}{dx}=-2x$$

Dividindo os dois lados por $2y$:

$$\boxed{ \frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y} }$$

Essa é a derivada da relação implícita que define a circunferência.

Observe que conseguimos determinar a taxa de variação de $y$ em relação a $x$ sem precisar isolar $y$ na equação original.

Interpretação geométrica

A equação:

$$x^2+y^2=25$$

representa uma circunferência de raio 5.

A derivada:

$$\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}$$

fornece a inclinação da reta tangente à circunferência em cada ponto no qual $y\neq 0$.

Por exemplo, no ponto $(3,4)$:

$$\frac{dy}{dx}=-\frac{3}{4}$$

Portanto, a reta tangente à circunferência nesse ponto possui coeficiente angular igual a $-\frac{3}{4}$.

3. Regras importantes na derivação implícita

Na derivação implícita, utilizamos as mesmas regras de derivação estudadas anteriormente. A diferença é que precisamos aplicar a Regra da Cadeia sempre que derivamos uma expressão que contém $y$.

Veja alguns casos importantes:

Expressão	Derivada em relação a $x$
$x^n$	$nx^{n-1}$
$y^n$	$ny^{n-1}\dfrac{dy}{dx}$
$xy$	$y+x\dfrac{dy}{dx}$
$\operatorname{sen}y$	$\cos y\dfrac{dy}{dx}$
$\cos y$	$-\operatorname{sen}y\dfrac{dy}{dx}$
$e^y$	$e^y\dfrac{dy}{dx}$
$\ln y$	$\dfrac{1}{y}\dfrac{dy}{dx}$

Atenção: nas expressões que envolvem $y$, a derivada de $y$ em relação a $x$ aparece como um fator multiplicativo.

4. Exemplos resolvidos

Exemplo 1 — Equação polinomial

Determine $\dfrac{dy}{dx}$ para a equação:

$$x^2+xy+y^2=7$$

Derivamos os dois lados em relação a $x$:

$$2x+\frac{d}{dx}(xy)+2y\frac{dy}{dx}=0$$

Para derivar o produto $xy$, utilizamos a regra do produto:

$$\frac{d}{dx}(xy) = x\frac{dy}{dx}+y$$

Substituindo:

$$2x+x\frac{dy}{dx}+y+ 2y\frac{dy}{dx}=0$$

Agrupamos os termos que possuem a derivada:

$$x\frac{dy}{dx}+2y\frac{dy}{dx} = -2x-y$$

Colocando a derivada em evidência:

$$(x+2y)\frac{dy}{dx}=-2x-y$$

Finalmente:

$$\boxed{ \frac{dy}{dx}= -\frac{2x+y}{x+2y} }$$

Exemplo 2 — Equação envolvendo funções trigonométricas

Determine a derivada da relação:

$$\operatorname{sen}y+x^2=3$$

Derivando os dois lados:

$$\cos y\frac{dy}{dx}+2x=0$$

Isolando a derivada:

$$\cos y\frac{dy}{dx}=-2x$$

Portanto:

$$\boxed{ \frac{dy}{dx}=-\frac{2x}{\cos y} }$$

Observe que a derivada do seno de $y$ exige a aplicação da Regra da Cadeia.

Exemplo 3 — Equação envolvendo exponencial

Determine $\dfrac{dy}{dx}$ para:

$$e^y+x^2y=4$$

Derivamos os dois lados:

$$e^y\frac{dy}{dx} + \frac{d}{dx}(x^2y)=0$$

Aplicando a regra do produto:

$$e^y\frac{dy}{dx} + 2xy+x^2\frac{dy}{dx}=0$$

Agrupando os termos que possuem a derivada:

$$e^y\frac{dy}{dx} + x^2\frac{dy}{dx}=-2xy$$

Colocando a derivada em evidência:

$$(e^y+x^2)\frac{dy}{dx}=-2xy$$

Logo:

$$\boxed{ \frac{dy}{dx}= -\frac{2xy}{e^y+x^2} }$$

Exemplo 4 — Equação envolvendo logaritmo

Determine a derivada da relação:

$$\ln y+x^2y=5$$

Derivando os dois lados:

$$\frac{1}{y}\frac{dy}{dx} + \frac{d}{dx}(x^2y)=0$$

Aplicando a regra do produto:

$$\frac{1}{y}\frac{dy}{dx} + 2xy+x^2\frac{dy}{dx}=0$$

Agrupando os termos:

$$\left(\frac{1}{y}+x^2\right)\frac{dy}{dx} =-2xy$$

Isolando a derivada:

$$\frac{dy}{dx} = -\frac{2xy}{\frac{1}{y}+x^2}$$

Multiplicando numerador e denominador por $y$:

$$\boxed{ \frac{dy}{dx} = -\frac{2xy^2}{1+x^2y} }$$

5. Determinando a reta tangente utilizando derivação implícita

Uma aplicação importante da derivação implícita é determinar a equação da reta tangente a uma curva definida por uma equação.

Considere novamente a circunferência:

$$x^2+y^2=25$$

Queremos determinar a reta tangente no ponto $P=(3,4)$.

Já encontramos sua derivada:

$$\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}$$

Substituindo as coordenadas do ponto:

$$m=-\frac{3}{4}$$

Sabemos que a equação de uma reta que passa por $(x_0,y_0)$ e possui coeficiente angular $m$ é:

$$y-y_0=m(x-x_0)$$

Substituindo:

$$y-4=-\frac{3}{4}(x-3)$$

Multiplicando por 4:

$$4y-16=-3x+9$$

Organizando:

$$\boxed{3x+4y=25}$$

Portanto, essa é a equação da reta tangente à circunferência no ponto $(3,4)$.

6. Segunda derivada implícita

Também podemos utilizar a derivação implícita para determinar a segunda derivada, isto é:

$$\frac{d^2y}{dx^2}$$

Para isso, derivamos novamente a expressão encontrada para $\dfrac{dy}{dx}$.

Considere a circunferência:

$$x^2+y^2=25$$

Sua primeira derivada é:

$$2x+2y\frac{dy}{dx}=0$$

Ou, simplificando:

$$x+y\frac{dy}{dx}=0$$

Derivando novamente:

$$1+\frac{d}{dx}\left(y\frac{dy}{dx}\right)=0$$

Aplicando a regra do produto:

$$1+ \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 + y\frac{d^2y}{dx^2}=0$$

Isolando a segunda derivada:

$$y\frac{d^2y}{dx^2} = -1-\left(\frac{dy}{dx}\right)^2$$

Portanto:

$$\boxed{ \frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}{y} }$$

Como:

$$\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}$$

Podemos substituir:

$$\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{1+\frac{x^2}{y^2}}{y}$$

Colocando em denominador comum:

$$\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{x^2+y^2}{y^3}$$

Como a equação original informa que $x^2+y^2=25$, obtemos:

$$\boxed{ \frac{d^2y}{dx^2}=-\frac{25}{y^3} }$$

Essa expressão fornece a segunda derivada da relação implícita da circunferência.

7. Resumo do procedimento

Para resolver problemas de derivação implícita, podemos seguir este roteiro:

1. Derivar os dois lados da equação em relação a $x$.
2. Aplicar a Regra da Cadeia sempre que aparecer uma expressão envolvendo $y$.
3. Utilizar a regra do produto quando houver multiplicação entre expressões com $x$ e $y$.
4. Agrupar os termos que possuem $\dfrac{dy}{dx}$.
5. Isolar a derivada.

O ponto mais importante é lembrar que $y$ depende de $x$. Por isso, sempre que derivarmos uma expressão que contém $y$, precisamos multiplicar pela derivada de $y$.

8. Exercícios de fixação

🧩 Exercício 1 Fácil

Considere a equação:

$$x^2+y^2=16$$

A derivada implícita $\dfrac{dy}{dx}$ é:

Derivando os dois lados:

$$2x+2y\frac{dy}{dx}=0$$

Isolando a derivada:

$$2y\frac{dy}{dx}=-2x$$

Logo:

$$\boxed{ \frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y} }$$

A alternativa correta é B.

🧩 Exercício 2 Médio

Considere a relação:

$$xy+y^2=10$$

A derivada $\dfrac{dy}{dx}$ é:

Derivando os dois lados:

$$\frac{d}{dx}(xy)+2y\frac{dy}{dx}=0$$

Aplicando a regra do produto:

$$y+x\frac{dy}{dx} + 2y\frac{dy}{dx}=0$$

Agrupando:

$$(x+2y)\frac{dy}{dx}=-y$$

Portanto:

$$\boxed{ \frac{dy}{dx}=-\frac{y}{x+2y} }$$

A alternativa correta é A.

🧩 Exercício 3 Médio

Considere a equação:

$$x^2+xy+y^2=7$$

O valor de $\dfrac{dy}{dx}$ no ponto $(1,2)$ é:

Derivando implicitamente:

$$2x+y+x\frac{dy}{dx} +2y\frac{dy}{dx}=0$$

Agrupando os termos:

$$(x+2y)\frac{dy}{dx}=-(2x+y)$$

Logo:

$$\frac{dy}{dx}= -\frac{2x+y}{x+2y}$$

No ponto $(1,2)$:

$$\frac{dy}{dx} = -\frac{2(1)+2}{1+2(2)}$$$$\boxed{ \frac{dy}{dx}=-\frac{4}{5} }$$

A alternativa correta é A.

🧩 Exercício 4 Médio

Considere a relação:

$$\operatorname{sen}y+x=2$$

A derivada $\dfrac{dy}{dx}$ é:

Derivando os dois lados:

$$\cos y\frac{dy}{dx}+1=0$$

Isolando:

$$\cos y\frac{dy}{dx}=-1$$

Portanto:

$$\boxed{ \frac{dy}{dx}=-\frac{1}{\cos y} }$$

A alternativa correta é C.

🧩 Exercício 5 Difícil

A curva definida pela equação:

$$x^2+y^2=25$$

possui uma reta tangente no ponto $(3,4)$.

O coeficiente angular dessa reta é:

Derivando implicitamente:

$$2x+2y\frac{dy}{dx}=0$$

Isolando a derivada:

$$\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}$$

No ponto $(3,4)$:

$$m=-\frac{3}{4}$$

Como a derivada representa o coeficiente angular da reta tangente, temos:

$$\boxed{m=-\frac{3}{4}}$$

A alternativa correta é B.

9. Conclusão

Nesta aula, aprendemos a derivar equações implicitamente, sem precisar isolar uma variável em função da outra.

Estudamos como aplicar a Regra da Cadeia, a regra do produto e as demais propriedades de derivação em equações que envolvem duas variáveis.

Também vimos como utilizar a derivação implícita para determinar retas tangentes e calcular segundas derivadas.

A derivação implícita é uma ferramenta importante do cálculo diferencial, especialmente em problemas de geometria, física e engenharia.

Na próxima aula, estudaremos as Derivadas de Ordem Superior, aprofundando o cálculo de segunda, terceira e demais derivadas de uma função.