Regra do Produto

Até agora, aprendemos a derivar constantes, potências, somas e diferenças.

Por exemplo, se

$$f(x)=x^3+2x^2-5x,$$

podemos derivar cada termo separadamente:

$$f'(x)=3x^2+4x-5.$$

Mas o que acontece quando duas funções estão multiplicadas?

Considere

$$f(x)=x^2\operatorname{sen}x.$$

Não podemos simplesmente derivar cada fator e multiplicá-los.

A derivada de um produto possui uma regra própria.

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1. Uma tentativa que parece natural

Considere

$$f(x)=x^2(x+1).$$

Uma tentativa seria pensar:

$$f'(x) \stackrel{?}{=} (x^2)'(x+1)'.$$

Isso produziria

$$f'(x) \stackrel{?}{=} 2x\cdot1 = 2x.$$

Mas será que está correto?

Podemos verificar expandindo primeiro a função:

$$f(x)=x^2(x+1).$$

Distribuindo,

$$f(x)=x^3+x^2.$$

Então,

$$f'(x)=3x^2+2x.$$

Portanto,

$$3x^2+2x\neq2x.$$

A ideia de simplesmente multiplicar as derivadas está errada.

Precisamos de uma nova regra.

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2. A Regra do Produto

Considere duas funções deriváveis $f$ e $g$ e defina

$$h(x)=f(x)g(x).$$

A derivada desse produto é

$$\boxed{ (fg)'=f'g+fg' }$$

Em palavras:

Derivamos o primeiro fator e mantemos o segundo, depois mantemos o primeiro e derivamos o segundo.

Podemos memorizar a estrutura como:

$$\boxed{ \text{derivada do primeiro}\times\text{segundo} + \text{primeiro}\times\text{derivada do segundo} }$$

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3. Demonstração pela definição

Vamos entender de onde essa fórmula vem.

Considere

$$h(x)=f(x)g(x).$$

Pela definição de derivada,

$$h'(x) = \lim_{a\to0} \frac{ f(x+a)g(x+a)-f(x)g(x) }{a}.$$

O problema está no numerador.

Precisamos encontrar uma maneira de separá-lo.

Vamos adicionar e subtrair o termo

$$f(x+a)g(x).$$

Assim,

$$\begin{aligned} h'(x) = \lim_{a\to0} \frac{ f(x+a)g(x+a) - f(x+a)g(x) + f(x+a)g(x) - f(x)g(x) }{a}. \end{aligned}$$

Agrupando,

$$h'(x) = \lim_{a\to0} \left[ f(x+a) \frac{g(x+a)-g(x)}{a} + g(x) \frac{f(x+a)-f(x)}{a} \right].$$

Quando $a\to0$,

$$f(x+a)\to f(x)$$

e

$$\frac{g(x+a)-g(x)}{a}\to g'(x).$$

Da mesma forma,

$$\frac{f(x+a)-f(x)}{a}\to f'(x).$$

Portanto,

$$h'(x) = f(x)g'(x)+g(x)f'(x).$$

Reorganizando,

$$\boxed{ h'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x) }.$$

Essa é a Regra do Produto.

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4. Como aplicar a regra

Considere

$$f(x)=u(x)v(x).$$

Podemos organizar o cálculo em duas partes:

$$f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x).$$

Observe que aparecem dois termos.

No primeiro:

$$u'(x)v(x)$$

derivamos o primeiro fator.

No segundo:

$$u(x)v'(x)$$

derivamos o segundo fator.

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5. Exemplo simples

Considere

$$f(x)=x^2(x+1).$$

Vamos identificar os fatores:

$$u(x)=x^2$$

e

$$v(x)=x+1.$$

Suas derivadas são

$$u'(x)=2x$$

e

$$v'(x)=1.$$

Aplicando a Regra do Produto:

$$f'(x) = u'(x)v(x)+u(x)v'(x).$$

Então,

$$f'(x) = 2x(x+1)+x^2(1).$$

Desenvolvendo,

$$f'(x) = 2x^2+2x+x^2.$$

Logo,

$$\boxed{ f'(x)=3x^2+2x }.$$

O resultado coincide com aquele obtido anteriormente pela expansão do produto.

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6. Por que aparecem dois termos?

Essa é uma das ideias mais importantes da Regra do Produto.

Quando temos

$$f(x)=u(x)v(x),$$

uma pequena variação em $x$ pode provocar mudanças tanto em $u$ quanto em $v$.

Por isso, a variação do produto recebe duas contribuições:

$$u'v$$

e

$$uv'.$$

Assim,

$$\boxed{ (uv)'=u'v+uv' }.$$

A regra não deve ser entendida apenas como uma fórmula para decorar. Ela representa o fato de que os dois fatores podem variar simultaneamente.

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7. Exemplo com uma constante

Considere

$$f(x)=5x^3.$$

Poderíamos utilizar diretamente a regra da potência:

$$f'(x)=15x^2.$$

Mas também podemos enxergar a função como um produto:

$$f(x)=5\cdot x^3.$$

Definindo

$$u(x)=5$$

e

$$v(x)=x^3,$$

temos

$$u'(x)=0$$

e

$$v'(x)=3x^2.$$

Pela Regra do Produto:

$$f'(x) = 0\cdot x^3 + 5\cdot3x^2.$$

Logo,

$$f'(x)=15x^2.$$

Portanto, a regra do múltiplo constante é compatível com a Regra do Produto.

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8. Produto de duas potências

Considere

$$f(x)=x^3x^4.$$

Podemos aplicar diretamente a Regra do Produto.

Temos

$$u(x)=x^3$$

e

$$v(x)=x^4.$$

Então,

$$u'(x)=3x^2$$

e

$$v'(x)=4x^3.$$

Logo,

$$f'(x) = 3x^2\cdot x^4 + x^3\cdot4x^3.$$

Assim,

$$f'(x) = 3x^6+4x^6.$$

Portanto,

$$\boxed{ f'(x)=7x^6 }.$$

Podemos conferir o resultado de outra maneira.

Como

$$x^3x^4=x^7,$$

temos

$$(x^7)'=7x^6.$$

Os dois métodos produzem o mesmo resultado.

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9. Produto envolvendo uma função trigonométrica

Agora considere

$$f(x)=x^2\operatorname{sen}x.$$

Temos

$$u(x)=x^2$$

e

$$v(x)=\operatorname{sen}x.$$

Então,

$$u'(x)=2x$$

e

$$v'(x)=\cos x.$$

Aplicando a Regra do Produto:

$$f'(x) = 2x\operatorname{sen}x + x^2\cos x.$$

Portanto,

$$\boxed{ f'(x) = 2x\operatorname{sen}x+x^2\cos x }.$$

Aqui aparece uma situação em que não seria possível simplesmente expandir a função para transformar o produto em uma soma de potências.

É justamente por isso que a Regra do Produto é tão importante.

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10. Produto de três funções

A Regra do Produto também pode ser utilizada quando temos três fatores.

Considere

$$f(x)=u(x)v(x)w(x).$$

Podemos primeiro considerar

$$F(x)=u(x)v(x).$$

Então,

$$f(x)=F(x)w(x).$$

Aplicando a Regra do Produto:

$$f'(x)=F'(x)w(x)+F(x)w'(x).$$

Como

$$F'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x),$$

temos

$$f'(x) = [u'(x)v(x)+u(x)v'(x)]w(x) + u(x)v(x)w'(x).$$

Portanto,

$$\boxed{ f' = u'vw+uv'w+uvw' }.$$

A ideia é simples: cada fator pode ser derivado uma vez, enquanto os demais permanecem sem derivar.

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11. Um erro muito comum

Considere

$$f(x)=x^2\operatorname{sen}x.$$

Um erro seria escrever

$$f'(x)=2x\cos x.$$

Isso corresponde a derivar os dois fatores simultaneamente.

A Regra do Produto exige dois termos:

$$f'(x) = (x^2)'\operatorname{sen}x + x^2(\operatorname{sen}x)'.$$

Logo,

$$\boxed{ f'(x) = 2x\operatorname{sen}x+x^2\cos x }.$$

A presença do sinal de soma é fundamental.

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💡 Dica — clique para visualizar

Quando encontrar um produto de duas funções, escreva primeiro:

$$\boxed{ (uv)'=u'v+uv' }$$

Depois identifique claramente quem é $u$ e quem é $v$.

Isso reduz bastante a chance de esquecer um dos termos.

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12. Exercícios

🧩 Exercício 1 Fácil

Determine a derivada de

$$f(x)=x^2(x+3).$$

Definimos

$$u(x)=x^2$$

e

$$v(x)=x+3.$$

Então,

$$u'(x)=2x$$

e

$$v'(x)=1.$$

Pela Regra do Produto,

$$f'(x) = 2x(x+3)+x^2.$$

Desenvolvendo,

$$f'(x) = 2x^2+6x+x^2.$$

Portanto,

$$\boxed{ f'(x)=3x^2+6x }.$$

A alternativa correta é A.

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🧩 Exercício 2 Fácil

Calcule a derivada de

$$f(x)=x^3(x^2+1).$$

Definimos

$$u(x)=x^3$$

e

$$v(x)=x^2+1.$$

Assim,

$$u'(x)=3x^2$$

e

$$v'(x)=2x.$$

Aplicando a Regra do Produto:

$$f'(x) = 3x^2(x^2+1) + x^3(2x).$$

Desenvolvendo,

$$f'(x) = 3x^4+3x^2+2x^4.$$

Logo,

$$\boxed{ f'(x)=5x^4+3x^2 }.$$

A alternativa correta é A.

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🧩 Exercício 3 Médio

Determine a derivada de

$$f(x)=x^2\operatorname{sen}x.$$

Aplicamos a Regra do Produto:

$$f'(x) = (x^2)'\operatorname{sen}x + x^2(\operatorname{sen}x)'.$$

Como

$$(x^2)'=2x$$

e

$$(\operatorname{sen}x)'=\cos x,$$

temos

$$\boxed{ f'(x) = 2x\operatorname{sen}x+x^2\cos x }.$$

A alternativa correta é C.

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🧩 Exercício 4 Médio

Considere

$$f(x)=(x^2+1)(x^3-2).$$

Qual é a derivada de $f$?

Pela Regra do Produto,

$$f'(x) = (x^2+1)'(x^3-2) + (x^2+1)(x^3-2)'.$$

Calculando as derivadas,

$$f'(x) = 2x(x^3-2) + (x^2+1)3x^2.$$

Desenvolvendo,

$$f'(x) = 2x^4-4x+3x^4+3x^2.$$

Logo,

$$\boxed{ f'(x)=5x^4+3x^2-4x }.$$

A alternativa correta é E.

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🧩 Exercício 5 Difícil

Considere

$$f(x)=x^2(x+1)(x-2).$$

Determine $f'(1)$.

Podemos primeiro multiplicar os dois últimos fatores:

$$(x+1)(x-2) = x^2-x-2.$$

Assim,

$$f(x)=x^2(x^2-x-2).$$

Desenvolvendo,

$$f(x)=x^4-x^3-2x^2.$$

Derivando,

$$f'(x)=4x^3-3x^2-4x.$$

Agora calculamos em $x=1$:

$$f'(1) = 4-3-4.$$

Portanto,

$$\boxed{ f'(1)=-3 }.$$

A alternativa correta é A.

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13. O que a Regra do Produto acrescenta?

Até aqui, conseguíamos trabalhar principalmente com somas e diferenças de funções.

Agora podemos lidar com expressões como

$$x^2\operatorname{sen}x,$$ $$x^3e^x,$$ $$(x^2+1)\ln x$$

e muitos outros produtos.

A regra fundamental é:

$$\boxed{ (fg)'=f'g+fg' }.$$

Observe novamente que não temos

$$(fg)'=f'g'.$$

Essa distinção será essencial nos próximos tópicos.

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Próximo passo: Regra do Quociente

Já sabemos derivar produtos.

Agora precisamos tratar de funções que envolvem divisão:

$$f(x)=\frac{u(x)}{v(x)}.$$

Assim como acontece com o produto, a derivada de um quociente possui uma regra específica:

$$\boxed{ \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v-uv'}{v^2} }$$

No próximo tópico, vamos entender de onde vem essa fórmula, em vez de simplesmente decorá-la.