Método da Bisseção

No estudo do Teorema do Valor Intermediário, vimos que, se uma função contínua muda de sinal em um intervalo, então existe pelo menos uma raiz nesse intervalo.

O Teorema do Valor Intermediário garante a existência da raiz, mas não fornece necessariamente seu valor.

O método da bisseção utiliza essa ideia para obter aproximações sucessivamente melhores para uma raiz.

1. A ideia do método

Considere uma função contínua $f$ em um intervalo $[a,b]$ e suponha que

$$f(a)\cdot f(b)<0.$$

Pelo Teorema do Valor Intermediário, existe pelo menos uma raiz entre $a$ e $b$.

O método da bisseção começa dividindo esse intervalo ao meio.

Definimos o ponto médio

$$\boxed{ m=\frac{a+b}{2} }$$

Depois calculamos $f(m)$.

A partir do sinal de $f(m)$, escolhemos um dos dois subintervalos:

$$[a,m]$$

ou

$$[m,b].$$

Escolhemos aquele em que a função continua apresentando mudança de sinal.

Assim, a cada etapa, o intervalo que contém a raiz é reduzido pela metade.

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2. Primeiro passo

Suponha que

$$f(a)<0$$

e

$$f(b)>0.$$

Calculamos

$$m=\frac{a+b}{2}.$$

Existem três possibilidades.

Caso 1: O ponto médio é uma raiz

Encontramos exatamente uma raiz:

$$\boxed{ m \text{ é uma raiz de } f }$$

Caso 2: O produto $f(a)\cdot f(m)$ é negativo

A mudança de sinal está no intervalo

$$[a,m].$$

Então substituímos

$$b\leftarrow m.$$

Caso 3: O produto $f(m)\cdot f(b)$ é negativo

A mudança de sinal está no intervalo

$$[m,b].$$

Então substituímos

$$a\leftarrow m.$$

O processo pode ser repetido várias vezes.

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3. Algoritmo da bisseção

Podemos organizar o método da seguinte maneira.

Se $f$ é contínua em $[a,b]$ e

$$f(a)\cdot f(b)<0,$$

então o método da bisseção pode ser aplicado para localizar uma raiz de $f$ nesse intervalo.

Em cada etapa:

1. calcule o ponto médio;
2. calcule o valor da função nesse ponto;
3. identifique o subintervalo onde ocorre a mudança de sinal;
4. substitua o intervalo anterior pelo novo intervalo;
5. repita o processo.

O ponto médio da $n$-ésima etapa fornece uma aproximação para a raiz.

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4. Exemplo passo a passo

Considere a equação

$$x^2-2=0.$$

Queremos aproximar a raiz positiva utilizando o método da bisseção no intervalo

$$[1,2].$$

Definimos

$$f(x)=x^2-2.$$

Temos

$$f(1)=-1$$

e

$$f(2)=2.$$

Como

$$f(1)\cdot f(2)<0,$$

existe uma raiz no intervalo $[1,2]$.

Primeira iteração

Calculamos o ponto médio:

$$m_1=\frac{1+2}{2}$$

Logo,

$$m_1=1{,}5.$$

Agora calculamos:

$$f(1{,}5) = (1{,}5)^2-2.$$

Portanto,

$$f(1{,}5)=2{,}25-2=0{,}25.$$

Temos

$$f(1)<0$$

e

$$f(1{,}5)>0.$$

Logo, a raiz está no intervalo

$$[1,1{,}5].$$

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Segunda iteração

Agora fazemos

$$a=1$$

e

$$b=1{,}5.$$

O ponto médio é

$$m_2=\frac{1+1{,}5}{2}.$$

Assim,

$$m_2=1{,}25.$$

Calculamos:

$$f(1{,}25) = (1{,}25)^2-2.$$

Logo,

$$f(1{,}25) = 1{,}5625-2 = -0{,}4375.$$

Como

$$f(1{,}25)<0$$

e

$$f(1{,}5)>0,$$

a raiz está no intervalo

$$[1{,}25,1{,}5].$$

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Terceira iteração

Calculamos:

$$m_3 = \frac{1{,}25+1{,}5}{2}.$$

Portanto,

$$m_3=1{,}375.$$

Agora,

$$f(1{,}375) = (1{,}375)^2-2.$$

Temos

$$f(1{,}375) = 1{,}890625-2 = -0{,}109375.$$

Assim, a raiz está em

$$[1{,}375,1{,}5].$$

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5. Organizando as iterações

Podemos organizar o processo em uma tabela.

Iteração	$a$	$b$	$m$	$f(m)$
1	$1$	$2$	$1{,}5$	$0{,}25$
2	$1$	$1{,}5$	$1{,}25$	$-0{,}4375$
3	$1{,}25$	$1{,}5$	$1{,}375$	$-0{,}109375$

A cada nova iteração, o intervalo que contém a raiz fica menor.

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6. Por que o método funciona?

O método da bisseção funciona porque preservamos, em todas as etapas, a mudança de sinal da função.

Inicialmente temos

$$f(a)\cdot f(b)<0.$$

Depois de calcular o ponto médio $m$, escolhemos o subintervalo que continua satisfazendo essa condição.

Assim, temos uma sequência de intervalos:

$$[a_1,b_1],$$ $$[a_2,b_2],$$ $$[a_3,b_3],$$

e assim por diante.

Esses intervalos ficam cada vez menores e continuam contendo uma raiz.

A cada iteração, o comprimento do intervalo é reduzido pela metade.

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7. Comprimento do intervalo

Se o intervalo inicial possui comprimento

$$b-a,$$

depois de uma iteração seu comprimento passa a ser

$$\frac{b-a}{2}.$$

Depois de duas iterações:

$$\frac{b-a}{2^2}.$$

Depois de três:

$$\frac{b-a}{2^3}.$$

Após $n$ iterações:

$$\boxed{ \frac{b-a}{2^n} }$$

Esse resultado permite estimar o erro da aproximação.

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8. Estimativa do erro

Se $m_n$ é o ponto médio obtido na $n$-ésima iteração, a distância entre esse ponto e a raiz pode ser limitada pelo comprimento do intervalo correspondente.

Uma estimativa simples é

$$\boxed{ |m_n-r| \leq \frac{b-a}{2^n} }$$

onde $r$ representa uma raiz contida no intervalo.

Uma estimativa mais precisa, dependendo da convenção utilizada para contar as iterações, pode considerar metade do comprimento do intervalo atual.

O ponto principal é que o erro diminui geometricamente, pois o intervalo é dividido por $2$ a cada etapa.

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9. Quantas iterações são necessárias?

Suponha que desejamos garantir que o comprimento do intervalo seja menor que uma tolerância $\varepsilon$.

Precisamos que

$$\frac{b-a}{2^n}<\varepsilon.$$

Multiplicando por $2^n$:

$$b-a<\varepsilon2^n.$$

Dividindo por $\varepsilon$:

$$\frac{b-a}{\varepsilon}<2^n.$$

Aplicando logaritmo:

$$\log\left(\frac{b-a}{\varepsilon}\right) < n\log2.$$

Portanto,

$$\boxed{ n> \frac{ \log\left(\frac{b-a}{\varepsilon}\right) }{ \log2 } }$$

Essa expressão permite determinar um número suficiente de iterações para atingir uma determinada precisão.

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10. Exemplo de precisão

Considere novamente

$$f(x)=x^2-2$$

no intervalo

$$[1,2].$$

Suponha que desejamos reduzir o comprimento do intervalo para menos de

$$0{,}01.$$

Precisamos de $n$ tal que

$$\frac{2-1}{2^n}<0{,}01.$$

Logo,

$$\frac{1}{2^n}<0{,}01.$$

Como

$$0{,}01=\frac1{100},$$

temos

$$2^n>100.$$

Como

$$2^6=64$$

e

$$2^7=128,$$

concluímos que

$$\boxed{ n=7 }$$

iterações são suficientes para que o comprimento do intervalo seja menor que $0{,}01$.

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11. Vantagem do método da bisseção

Uma das principais características do método da bisseção é sua simplicidade.

Para aplicá-lo, precisamos basicamente:

• de uma função contínua;
• de um intervalo inicial;
• de uma mudança de sinal.

Além disso, o método possui uma propriedade importante: quando as hipóteses são satisfeitas, o processo mantém um intervalo que contém uma raiz.

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12. Limitação do método

Embora seja um método seguro para localizar raízes sob suas hipóteses, a bisseção pode exigir muitas iterações para atingir uma precisão elevada.

Isso ocorre porque o intervalo é reduzido apenas pela metade a cada etapa.

Existem outros métodos numéricos que podem convergir mais rapidamente, como o método de Newton.

Entretanto, esses métodos possuem outras condições e características que serão estudadas posteriormente.

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13. Exercício resolvido

🧩 Exercício 1 Média

Considere

$$f(x)=x^3-x-1.$$

Sabendo que $f$ possui uma raiz no intervalo $[1,2]$, utilize o método da bisseção para determinar o intervalo que contém a raiz após duas iterações.

Primeiro verificamos os valores nos extremos:

$$f(1)=1^3-1-1=-1$$

e

$$f(2)=2^3-2-1=5.$$

Portanto, existe uma raiz em $[1,2]$.

Primeira iteração

O ponto médio é

$$m_1=\frac{1+2}{2}=1{,}5.$$

Calculamos:

$$f(1{,}5) = (1{,}5)^3-1{,}5-1.$$

Logo,

$$f(1{,}5)=3{,}375-2{,}5=0{,}875.$$

Como

$$f(1)<0$$

e

$$f(1{,}5)>0,$$

a raiz está em

$$[1,1{,}5].$$

Segunda iteração

Agora calculamos

$$m_2 = \frac{1+1{,}5}{2} = 1{,}25.$$

Então,

$$f(1{,}25) = (1{,}25)^3-1{,}25-1.$$

Assim,

$$f(1{,}25) = 1{,}953125-2{,}25 = -0{,}296875.$$

Como

$$f(1{,}25)<0$$

e

$$f(1{,}5)>0,$$

a raiz está no intervalo

$$\boxed{ [1{,}25,1{,}5] }$$

🧩 Exercício 2 Média

Considere

$$f(x)=x^2-3.$$

Utilizando o método da bisseção no intervalo $[1,2]$, determine o ponto médio obtido na primeira iteração e identifique o novo intervalo que contém uma raiz.

O ponto médio do intervalo $[1,2]$ é

$$m=\frac{1+2}{2}=1{,}5.$$

Agora calculamos

$$f(1)=1^2-3=-2$$

e

$$f(1{,}5) = (1{,}5)^2-3 = 2{,}25-3 = -0{,}75.$$

Os dois valores ainda são negativos.

Por outro lado,

$$f(2)=4-3=1.$$

Portanto, a mudança de sinal está entre $1{,}5$ e $2$.

Logo, o novo intervalo é

$$\boxed{ [1{,}5,2] }$$

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14. Resumo do método

Para aplicar o método da bisseção:

$$\boxed{ \text{Escolha }[a,b]\text{ tal que }f(a)f(b)<0 }$$

Depois:

$$\boxed{ m=\frac{a+b}{2} }$$

Calcule $f(m)$ e escolha o subintervalo que mantém a mudança de sinal.

Repita o processo até alcançar a precisão desejada.

A cada iteração:

$$\boxed{ \text{novo comprimento} = \frac{\text{comprimento anterior}}{2} }$$

Portanto, o método da bisseção transforma o Teorema do Valor Intermediário em um procedimento prático para aproximar raízes de equações.

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15. Próximo passo

Agora que já sabemos como localizar uma raiz por meio da bisseção, podemos voltar nossa atenção para outro comportamento importante das funções:

o que acontece quando $x$ cresce indefinidamente?

No próximo tópico estudaremos os limites no infinito e as assíntotas horizontais.