Assíntotas Verticais e Horizontais

Nos tópicos anteriores, utilizamos limites para estudar o comportamento de uma função em diferentes situações.

Vimos que, quando

$$x\to a,$$

uma função pode crescer ou decrescer indefinidamente, produzindo uma assíntota vertical.

Também vimos que, quando

$$x\to+\infty$$

ou

$$x\to-\infty,$$

uma função pode se aproximar de um determinado valor, produzindo uma assíntota horizontal.

Agora vamos reunir essas ideias para analisar as assíntotas de funções, especialmente das funções racionais.

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1. O que é uma assíntota?

Uma assíntota é uma reta associada ao comportamento de uma função quando $x$ se aproxima de determinado valor ou quando $|x|$ cresce indefinidamente.

Neste tópico estudaremos principalmente:

• assíntotas verticais;
• assíntotas horizontais.

Mais adiante, estudaremos também as assíntotas oblíquas.

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2. Assíntota vertical

A reta

$$x=a$$

é uma assíntota vertical quando a função cresce ou decresce indefinidamente à medida que $x$ se aproxima de $a$.

Matematicamente, isso ocorre quando pelo menos um dos limites laterais é infinito:

$$\lim_{x\to a^-}f(x)=\pm\infty$$

ou

$$\lim_{x\to a^+}f(x)=\pm\infty.$$

Portanto,

$$\boxed{x=a}$$

é uma assíntota vertical.

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3. Exemplo de assíntota vertical

Considere

$$f(x)=\frac{1}{x-2}.$$

O denominador se aproxima de zero quando

$$x\to2.$$

Pela esquerda:

$$\lim_{x\to2^-}\frac1{x-2}=-\infty.$$

Pela direita:

$$\lim_{x\to2^+}\frac1{x-2}=+\infty.$$

Portanto,

$$\boxed{x=2}$$

é uma assíntota vertical.

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4. Assíntota horizontal

A reta

$$y=L$$

é uma assíntota horizontal quando a função se aproxima de $L$ à medida que $x$ tende a $+\infty$ ou $-\infty$.

Ou seja, se

$$\lim_{x\to+\infty}f(x)=L,$$

então

$$\boxed{y=L}$$

é uma assíntota horizontal à direita.

Da mesma forma, se

$$\lim_{x\to-\infty}f(x)=L,$$

então

$$\boxed{y=L}$$

é uma assíntota horizontal à esquerda.

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5. Uma função pode ter duas assíntotas horizontais

É importante observar que os limites para $+\infty$ e $-\infty$ podem ser diferentes.

Considere

$$f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}.$$

Quando $x\to+\infty$,

$$\frac{x}{\sqrt{x^2+1}} = \frac{x}{|x|\sqrt{1+\frac1{x^2}}}.$$

Como $x>0$ quando $x\to+\infty$,

$$|x|=x.$$

Logo,

$$\lim_{x\to+\infty} \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} = 1.$$

Portanto,

$$y=1$$

é uma assíntota horizontal para $x\to+\infty$.

Agora considere $x\to-\infty$.

Nesse caso,

$$|x|=-x.$$

Assim,

$$\frac{x}{\sqrt{x^2+1}} = \frac{x}{-x\sqrt{1+\frac1{x^2}}}.$$

Portanto,

$$\lim_{x\to-\infty} \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} = -1.$$

Logo,

$$y=-1$$

é uma assíntota horizontal para $x\to-\infty$.

Assim, a mesma função possui duas assíntotas horizontais:

$$\boxed{y=1}$$

e

$$\boxed{y=-1}.$$

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6. Funções racionais

Considere uma função racional da forma

$$f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)},$$

onde $P$ e $Q$ são polinômios e $Q(x)\neq0$.

Para encontrar as assíntotas verticais, devemos inicialmente procurar os zeros do denominador.

Para encontrar as assíntotas horizontais, analisamos

$$\lim_{x\to+\infty}f(x)$$

e

$$\lim_{x\to-\infty}f(x).$$

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7. Exemplo completo

Considere

$$f(x)=\frac{2x+1}{x-3}.$$

Vamos determinar suas assíntotas verticais e horizontais.

Assíntota vertical

O denominador é zero quando

$$x-3=0.$$

Logo,

$$x=3.$$

Como o numerador não possui o mesmo fator, temos uma assíntota vertical em

$$\boxed{x=3}.$$

Assíntota horizontal

O grau do numerador é $1$.

O grau do denominador também é $1$.

Portanto, o limite no infinito é a razão entre os coeficientes líderes:

$$\lim_{x\to\pm\infty} \frac{2x+1}{x-3} = 2.$$

Logo,

$$\boxed{y=2}$$

é uma assíntota horizontal.

Portanto, a função possui:

$$\boxed{x=3}$$

como assíntota vertical e

$$\boxed{y=2}$$

como assíntota horizontal.

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8. Exemplo com fatoração

Considere

$$f(x)=\frac{x^2-1}{x^2-3x+2}.$$

Primeiro fatoramos:

$$x^2-1=(x-1)(x+1)$$

e

$$x^2-3x+2=(x-1)(x-2).$$

Portanto,

$$f(x) = \frac{(x-1)(x+1)} {(x-1)(x-2)}.$$

Para $x\neq1$,

$$f(x)=\frac{x+1}{x-2}.$$

Aqui temos uma situação importante.

O fator $(x-1)$ foi cancelado.

Portanto, $x=1$ não é uma assíntota vertical.

Temos uma descontinuidade removível em

$$x=1.$$

Já o fator

$$x-2$$

permanece no denominador.

Assim,

$$\boxed{x=2}$$

é uma assíntota vertical.

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9. Encontrando a assíntota horizontal

Depois da simplificação, temos

$$f(x)=\frac{x+1}{x-2}.$$

Os graus do numerador e do denominador são iguais.

Logo,

$$\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=1.$$

Portanto,

$$\boxed{y=1}$$

é uma assíntota horizontal.

Assim, a função apresenta:

$$\boxed{x=2}$$

como assíntota vertical e

$$\boxed{y=1}$$

como assíntota horizontal.

Além disso, existe uma descontinuidade removível em

$$x=1.$$

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10. Quantas assíntotas verticais uma função racional pode ter?

Uma função racional pode possuir várias assíntotas verticais.

Considere, por exemplo,

$$f(x)= \frac{1} {(x-1)(x+2)}.$$

O denominador é zero quando

$$x=1$$

ou

$$x=-2.$$

Como não há fatores comuns no numerador, ambos os valores correspondem a assíntotas verticais.

Portanto,

$$\boxed{x=1}$$

e

$$\boxed{x=-2}$$

são assíntotas verticais.

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11. Uma função pode não possuir assíntota vertical

Considere

$$f(x)=\frac{x+1}{x^2+1}.$$

Para números reais,

$$x^2+1>0.$$

Portanto, o denominador nunca é zero.

Assim, não existe nenhum número real $a$ para o qual a função apresente comportamento infinito.

Logo, a função não possui assíntota vertical.

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12. Uma função pode não possuir assíntota horizontal

Considere

$$f(x)=x^2.$$

Quando

$$x\to+\infty,$$

temos

$$x^2\to+\infty.$$

Da mesma forma,

$$x^2\to+\infty$$

quando

$$x\to-\infty.$$

Portanto, não existe um número real $L$ tal que

$$\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=L.$$

Logo, a função

$$f(x)=x^2$$

não possui assíntota horizontal.

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13. Estratégia para encontrar todas as assíntotas

Ao receber uma função racional, podemos seguir uma sequência organizada.

Passo 1 — Fatore

Fatore o numerador e o denominador sempre que possível.

Passo 2 — Simplifique

Cancele fatores comuns, lembrando que os valores cancelados continuam sendo pontos de descontinuidade da função original.

Passo 3 — Procure assíntotas verticais

Encontre os zeros do denominador que permanecem depois da simplificação.

Passo 4 — Calcule os limites no infinito

Determine

$$\lim_{x\to+\infty}f(x)$$

e

$$\lim_{x\to-\infty}f(x).$$

Passo 5 — Identifique as assíntotas horizontais

Se algum desses limites for um número real $L$, então

$$y=L$$

é uma assíntota horizontal correspondente.

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14. Exercício resolvido

🧩 Exercício 1 Média

Determine as assíntotas verticais e horizontais da função

$$f(x)=\frac{3x-1}{x+2}.$$

Assíntota vertical

O denominador é zero quando

$$x+2=0.$$

Portanto,

$$x=-2.$$

Como o fator não é cancelado pelo numerador, temos

$$\boxed{x=-2}$$

como assíntota vertical.

Assíntota horizontal

O numerador e o denominador possuem grau $1$.

Assim,

$$\lim_{x\to\pm\infty} \frac{3x-1}{x+2} = \frac31.$$

Logo,

$$\boxed{y=3}$$

é uma assíntota horizontal.

Portanto:

$$\boxed{x=-2}$$

é a assíntota vertical e

$$\boxed{y=3}$$

é a assíntota horizontal.

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15. Exercício resolvido

🧩 Exercício 2 Média

Determine as assíntotas da função

$$f(x)=\frac{x^2+1}{x^2-4}.$$

Fatoramos o denominador:

$$x^2-4=(x-2)(x+2).$$

O numerador não possui fatores comuns com o denominador.

Portanto, os possíveis pontos de assíntota vertical são

$$x=2$$

e

$$x=-2.$$

De fato, nesses pontos o denominador se aproxima de zero enquanto o numerador permanece positivo.

Assim,

$$\boxed{x=2}$$

e

$$\boxed{x=-2}$$

são assíntotas verticais.

Agora analisamos o limite no infinito.

O numerador e o denominador possuem o mesmo grau.

Logo,

$$\lim_{x\to\pm\infty} \frac{x^2+1}{x^2-4} = \frac11 = 1.$$

Portanto,

$$\boxed{y=1}$$

é uma assíntota horizontal.

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16. Exercício

🧩 Exercício 3 Média

Considere

$$f(x)=\frac{x^2-9}{x-3}.$$

Qual é o comportamento correto da função?

Fatorando o numerador:

$$x^2-9=(x-3)(x+3).$$

Assim,

$$f(x) = \frac{(x-3)(x+3)} {x-3}.$$

Para $x\neq3$,

$$f(x)=x+3.$$

O fator $(x-3)$ foi cancelado.

Portanto, $x=3$ não é uma assíntota vertical.

A função original apresenta uma descontinuidade removível em $x=3$.

Logo,

$$\boxed{ \text{a alternativa correta é C} }$$

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17. Resumo

Para funções racionais, podemos utilizar as seguintes ideias:

Assíntotas verticais

Procure os zeros do denominador que permanecem após a simplificação.

Se

$$\lim_{x\to a^\pm}f(x)=\pm\infty,$$

então

$$\boxed{x=a}$$

é uma assíntota vertical.

Assíntotas horizontais

Calcule

$$\lim_{x\to+\infty}f(x)$$

e

$$\lim_{x\to-\infty}f(x).$$

Se o resultado for $L$, então

$$\boxed{y=L}$$

é uma assíntota horizontal.

Descontinuidade removível

Se um fator é cancelado durante a simplificação, o ponto correspondente pode representar um buraco no gráfico, e não uma assíntota vertical.

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18. Próximo passo

Já conseguimos analisar o comportamento de funções racionais tanto próximo de seus pontos de descontinuidade quanto quando $x$ tende ao infinito.

Ainda existe uma situação importante.

Quando o grau do numerador é exatamente uma unidade maior que o grau do denominador, a função geralmente não possui assíntota horizontal.

Nesse caso, pode surgir uma assíntota oblíqua.

Esse será o próximo tópico.