Derivadas de Ordem Superior

Até agora, estudamos como calcular a primeira derivada de uma função. Aprendemos que ela representa a taxa de variação instantânea de uma grandeza em relação a outra.

Mas será que podemos derivar uma função mais de uma vez?

A resposta é sim!

Quando derivamos uma função que já foi derivada, obtemos uma nova função chamada segunda derivada. Se derivarmos novamente, obtemos a terceira derivada, e assim sucessivamente.

Essas derivadas são chamadas de derivadas de ordem superior e possuem diversas aplicações, principalmente no estudo do comportamento das funções e na descrição de fenômenos físicos.

1. Segunda derivada

Considere uma função:

$$y=f(x)$$

Sua primeira derivada é:

$$f'(x)=\frac{dy}{dx}$$

A segunda derivada é obtida derivando novamente a primeira derivada:

$$f''(x)=\frac{d}{dx}[f'(x)]$$

Também podemos utilizar a notação:

$$\boxed{ f''(x)=\frac{d^2y}{dx^2} }$$

Observe que o expoente 2 indica que estamos derivando duas vezes. Ele não significa que devemos elevar a derivada ao quadrado.

Exemplo 1

Determine a primeira e a segunda derivadas da função:

$$f(x)=x^4-3x^2+5x-7$$

Primeira derivada:

Derivando termo a termo:

$$f'(x)=4x^3-6x+5$$

Segunda derivada:

Derivamos novamente:

$$f''(x)=12x^2-6$$

Portanto:

$$\boxed{f'(x)=4x^3-6x+5}$$ $$\boxed{f''(x)=12x^2-6}$$

Observe que a segunda derivada é simplesmente a derivada da primeira.

2. Terceira derivada

Podemos continuar derivando sucessivamente.

A terceira derivada é obtida derivando a segunda derivada:

$$f'''(x)=\frac{d}{dx}[f''(x)]$$

Sua notação também pode ser escrita como:

$$\boxed{ f'''(x)=\frac{d^3y}{dx^3} }$$

Exemplo 2

Considere novamente a função:

$$f(x)=x^4-3x^2+5x-7$$

Já encontramos:

$$f'(x)=4x^3-6x+5$$ $$f''(x)=12x^2-6$$

Derivando a segunda derivada:

$$f'''(x)=24x$$

Se derivarmos mais uma vez:

$$f^{(4)}(x)=24$$

E a quinta derivada será:

$$f^{(5)}(x)=0$$

Isso acontece porque a derivada de uma constante é zero.

3. Derivadas de ordem n

O processo de derivação pode ser repetido quantas vezes a função permitir.

A derivada de ordem $n$ é representada por:

$$\boxed{f^{(n)}(x)}$$

Também podemos utilizar a notação de Leibniz:

$$\boxed{ \frac{d^ny}{dx^n} }$$

As primeiras derivadas podem ser organizadas da seguinte maneira:

Ordem	Notação de Lagrange	Notação de Leibniz
Primeira	$f'(x)$	$\dfrac{dy}{dx}$
Segunda	$f''(x)$	$\dfrac{d^2y}{dx^2}$
Terceira	$f'''(x)$	$\dfrac{d^3y}{dx^3}$
Quarta	$f^{(4)}(x)$	$\dfrac{d^4y}{dx^4}$
Enésima	$f^{(n)}(x)$	$\dfrac{d^ny}{dx^n}$

A notação com parênteses no expoente é utilizada a partir da quarta derivada para evitar uma quantidade excessiva de apóstrofos.

4. Derivadas sucessivas de diferentes funções

Vamos observar como o processo funciona para outros tipos de funções.

Exemplo 3 — Função exponencial

Determine as três primeiras derivadas da função:

$$f(x)=e^x$$

Sabemos que a derivada da função exponencial é ela mesma:

$$f'(x)=e^x$$

Derivando novamente:

$$f''(x)=e^x$$

E a terceira derivada:

$$f'''(x)=e^x$$

Portanto, todas as derivadas dessa função são iguais à própria função:

$$\boxed{f^{(n)}(x)=e^x}$$

Exemplo 4 — Função trigonométrica

Determine as quatro primeiras derivadas da função:

$$f(x)=\operatorname{sen}x$$

Primeira derivada:

$$f'(x)=\cos x$$

Segunda derivada:

$$f''(x)=-\operatorname{sen}x$$

Terceira derivada:

$$f'''(x)=-\cos x$$

Quarta derivada:

$$f^{(4)}(x)=\operatorname{sen}x$$

Observe que as derivadas se repetem em um ciclo de quatro etapas.

Derivada	Resultado
$f(x)$	$\operatorname{sen}x$
$f'(x)$	$\cos x$
$f''(x)$	$-\operatorname{sen}x$
$f'''(x)$	$-\cos x$
$f^{(4)}(x)$	$\operatorname{sen}x$

Consequentemente:

$$f^{(n+4)}(x)=f^{(n)}(x)$$

Exemplo 5 — Função logarítmica

Determine a segunda derivada da função:

$$f(x)=\ln x$$

A primeira derivada é:

$$f'(x)=\frac{1}{x}$$

Podemos reescrever:

$$f'(x)=x^{-1}$$

Derivando novamente:

$$f''(x)=-x^{-2}$$

Logo:

$$\boxed{f''(x)=-\frac{1}{x^2}}$$

5. Derivadas de funções polinomiais e grau do polinômio

Uma propriedade interessante das funções polinomiais é que suas derivadas sucessivas reduzem o grau do polinômio em uma unidade a cada derivação, até que a função se torne constante e, posteriormente, zero.

Considere:

$$f(x)=2x^5-3x^4+x^2-7$$

Suas derivadas sucessivas são:

$$f'(x)=10x^4-12x^3+2x$$ $$f''(x)=40x^3-36x^2+2$$ $$f'''(x)=120x^2-72x$$ $$f^{(4)}(x)=240x-72$$ $$f^{(5)}(x)=240$$ $$f^{(6)}(x)=0$$

Observe que, como a função original possui grau 5, sua sexta derivada é identicamente nula.

Se $f(x)$ é um polinômio de grau $n$, então sua derivada de ordem $n+1$ é identicamente nula:

$$\boxed{f^{(n+1)}(x)=0}$$

6. Interpretação geométrica da segunda derivada

A primeira derivada fornece a inclinação da reta tangente ao gráfico de uma função.

A segunda derivada permite analisar como essa inclinação está variando.

Considere uma função $f(x)$:

• Se $f''(x)>0$ em um intervalo, o gráfico apresenta concavidade voltada para cima.
• Se $f''(x)<0$ em um intervalo, o gráfico apresenta concavidade voltada para baixo.

Vamos visualizar essas duas situações.

Concavidade voltada para cima

Um exemplo é:

$$f(x)=x^2$$

Sua primeira derivada é:

$$f'(x)=2x$$

Sua segunda derivada é:

$$f''(x)=2$$

Como:

$$f''(x)>0$$

a função apresenta concavidade voltada para cima em todo o seu domínio.

Concavidade voltada para baixo

Considere:

$$f(x)=-x^2$$

Sua primeira derivada é:

$$f'(x)=-2x$$

Sua segunda derivada é:

$$f''(x)=-2$$

Como:

$$f''(x)<0$$

a função apresenta concavidade voltada para baixo em todo o seu domínio.

Atenção: para identificar a concavidade em um intervalo, devemos verificar o sinal da segunda derivada em todo esse intervalo, e não apenas em um ponto isolado.

7. Pontos de inflexão

Um ponto de inflexão é um ponto do gráfico no qual ocorre mudança de concavidade.

A segunda derivada é uma ferramenta importante para identificar possíveis pontos de inflexão.

Considere:

$$f(x)=x^3$$

Sua primeira derivada é:

$$f'(x)=3x^2$$

Sua segunda derivada é:

$$f''(x)=6x$$

Analisando o sinal da segunda derivada:

• Para $x<0$, temos $f''(x)<0$.
• Para $x>0$, temos $f''(x)>0$.

Portanto, a concavidade muda ao atravessarmos $x=0$.

Como:

$$f(0)=0$$

o ponto de inflexão é:

$$\boxed{P=(0,0)}$$

Observação: encontrar $f''(x)=0$ fornece possíveis candidatos a pontos de inflexão, mas não garante que exista mudança de concavidade. É necessário verificar o comportamento da segunda derivada nos dois lados do ponto.

8. Aplicação na Física: posição, velocidade e aceleração

As derivadas de ordem superior possuem uma aplicação muito importante na descrição do movimento de um corpo.

Considere a função horária da posição de um móvel:

$$s=s(t)$$

A primeira derivada da posição em relação ao tempo fornece a velocidade instantânea:

$$\boxed{ v(t)=\frac{ds}{dt} }$$

A segunda derivada da posição fornece a aceleração instantânea:

$$\boxed{ a(t)=\frac{d^2s}{dt^2} }$$

Portanto:

• Posição: descreve onde o corpo está.
• Velocidade: indica a taxa de variação da posição.
• Aceleração: indica a taxa de variação da velocidade.

Exemplo 6 — Movimento de um corpo

A posição de um móvel, em metros, é dada por:

$$s(t)=t^3-6t^2+9t+2$$

Determine a velocidade e a aceleração em função do tempo.

1º passo: calcular a velocidade.

Derivando a posição:

$$v(t)=3t^2-12t+9$$

2º passo: calcular a aceleração.

Derivando novamente:

$$a(t)=6t-12$$

3º passo: determinar a velocidade e a aceleração no instante $t=2$.

Velocidade:

$$v(2)=3(2)^2-12(2)+9$$ $$v(2)=12-24+9$$ $$\boxed{v(2)=-3\text{ m/s}}$$

Aceleração:

$$a(2)=6(2)-12$$ $$\boxed{a(2)=0\text{ m/s}^2}$$

Portanto, no instante de 2 segundos, o móvel apresenta velocidade de $-3$ m/s e aceleração nula.

O sinal negativo da velocidade indica que o movimento ocorre no sentido negativo do eixo escolhido.

9. Resumo das principais ideias

Conceito	Significado
Primeira derivada	Taxa de variação instantânea
Segunda derivada	Taxa de variação da primeira derivada
Terceira derivada	Taxa de variação da segunda derivada
Segunda derivada positiva	Concavidade para cima
Segunda derivada negativa	Concavidade para baixo
Ponto de inflexão	Mudança de concavidade
Velocidade	Primeira derivada da posição
Aceleração	Segunda derivada da posição

10. Exercícios de fixação

🧩 Exercício 1 Fácil

Considere a função:

$$f(x)=x^4-2x^2+3$$

A segunda derivada dessa função é:

Primeiro, calculamos a primeira derivada:

$$f'(x)=4x^3-4x$$

Derivando novamente:

$$f''(x)=12x^2-4$$

Portanto:

$$\boxed{f''(x)=12x^2-4}$$

A alternativa correta é B.

🧩 Exercício 2 Fácil

A terceira derivada da função:

$$f(x)=x^5-2x^3+x$$

é:

Calculamos sucessivamente:

Primeira derivada:

$$f'(x)=5x^4-6x^2+1$$

Segunda derivada:

$$f''(x)=20x^3-12x$$

Terceira derivada:

$$f'''(x)=60x^2-12$$

Logo:

$$\boxed{f'''(x)=60x^2-12}$$

A alternativa correta é B.

🧩 Exercício 3 Médio

Considere a função:

$$f(x)=x^3-3x^2+2x$$

O valor da segunda derivada no ponto $x=2$ é:

Calculamos a primeira derivada:

$$f'(x)=3x^2-6x+2$$

A segunda derivada é:

$$f''(x)=6x-6$$

Substituindo $x=2$:

$$f''(2)=6(2)-6$$$$f''(2)=12-6$$

Portanto:

$$\boxed{f''(2)=6}$$

A alternativa correta é C.

🧩 Exercício 4 Médio

A posição de um móvel é descrita pela função:

$$s(t)=2t^3-3t^2+4t$$

A aceleração instantânea no instante $t=2$ é:

A aceleração é a segunda derivada da posição.

Primeira derivada:

$$v(t)=s'(t)=6t^2-6t+4$$

Segunda derivada:

$$a(t)=s''(t)=12t-6$$

Substituindo $t=2$:

$$a(2)=12(2)-6$$$$a(2)=24-6$$

Logo:

$$\boxed{a(2)=18\text{ m/s}^2}$$

A alternativa correta é C.

🧩 Exercício 5 Difícil

Considere a função:

$$f(x)=x^3-6x^2+9x+1$$

Em qual ponto ocorre a mudança de concavidade do gráfico?

Calculamos a primeira derivada:

$$f'(x)=3x^2-12x+9$$

A segunda derivada é:

$$f''(x)=6x-12$$

Para encontrar o possível ponto de inflexão, igualamos a segunda derivada a zero:

$$6x-12=0$$$$x=2$$

Verificamos a mudança de sinal:

• Para $x<2$, temos $f''(x)<0$.
• Para $x>2$, temos $f''(x)>0$.

Portanto, ocorre mudança de concavidade em $x=2$.

Calculamos a ordenada:

$$f(2)=2^3-6(2)^2+9(2)+1$$$$f(2)=8-24+18+1$$$$f(2)=3$$

Assim, o ponto de inflexão é:

$$\boxed{P=(2,3)}$$

A alternativa correta é B.

11. Conclusão

Nesta aula, estudamos as derivadas de ordem superior e aprendemos que podemos derivar uma função sucessivamente, obtendo sua segunda, terceira e demais derivadas.

Vimos que:

• A segunda derivada permite analisar a concavidade de uma função.
• A mudança de concavidade pode indicar um ponto de inflexão.
• As derivadas sucessivas de polinômios reduzem progressivamente seu grau.
• Na Física, a primeira derivada da posição representa a velocidade e a segunda representa a aceleração.

Na próxima aula, estudaremos Taxas Relacionadas, um dos primeiros grandes problemas de aplicação das derivadas.

Nesse assunto, aprenderemos a determinar a taxa de variação de uma grandeza quando conhecemos a taxa de variação de outra grandeza relacionada a ela.