Aplicações das Derivadas: Máximos e Mínimos

1. Introdução

Uma das aplicações mais importantes das derivadas é a determinação dos valores máximos e mínimos de uma função.

Esses valores aparecem em diversos problemas matemáticos e situações práticas, como:

• Determinar a altura máxima atingida por um objeto.
• Encontrar o menor custo de produção de uma empresa.
• Maximizar a área de uma região.
• Determinar o maior lucro possível em uma atividade comercial.
• Encontrar a menor distância entre dois pontos sob determinadas condições.

A derivada permite identificar os pontos em que uma função pode atingir valores extremos e analisar seu comportamento nas proximidades desses pontos.

2. Máximos e mínimos locais

Considere uma função $f$ definida em um intervalo que contém o ponto $c$.

Dizemos que $f(c)$ é um máximo local quando seu valor é maior ou igual aos valores da função em pontos suficientemente próximos de $c$.

Matematicamente, existe um intervalo aberto contendo $c$ tal que:

$$f(c)\geq f(x)$$

para todos os pontos $x$ desse intervalo que pertencem ao domínio da função.

Analogamente, $f(c)$ é um mínimo local quando:

$$f(c)\leq f(x)$$

em uma vizinhança de $c$.

Esses pontos representam extremos relativos, pois a comparação é feita apenas com valores próximos.

Exemplo 1

Considere a função:

$$f(x)=x^2-4x+3$$

Completando o quadrado:

$$f(x)=(x-2)^2-1$$

Como:

$$(x-2)^2\geq 0$$

temos:

$$f(x)\geq -1$$

A igualdade ocorre quando $x=2$.

Portanto, a função apresenta um mínimo em:

$$\boxed{f(2)=-1}$$

O ponto correspondente no gráfico é $(2,-1)$.

3. Máximos e mínimos absolutos

Uma função pode apresentar valores extremos em todo o seu domínio ou em um intervalo específico.

Dizemos que $f(c)$ é um máximo absoluto de $f$ em um conjunto $D$ quando:

$$f(c)\geq f(x)$$

para todo $x\in D$.

Analogamente, $f(c)$ é um mínimo absoluto quando:

$$f(c)\leq f(x)$$

para todo $x\in D$.

A diferença entre extremos locais e absolutos está na região utilizada para comparação:

• Extremos locais: comparação com pontos próximos.
• Extremos absolutos: comparação com todos os pontos do conjunto considerado.

Exemplo 2

Considere:

$$f(x)=x^2$$

no intervalo $[-2,3]$.

O menor valor ocorre em $x=0$:

$$f(0)=0$$

O maior valor ocorre em $x=3$:

$$f(3)=9$$

Assim:

$$\boxed{f_{\min}=0}$$ $$\boxed{f_{\max}=9}$$

Observe que, para determinar os extremos absolutos em um intervalo fechado, devemos considerar também os valores da função nas extremidades.

4. Pontos críticos

Os pontos críticos são fundamentais na investigação de máximos e mínimos.

Um número $c$ pertencente ao domínio de uma função é chamado de número crítico quando:

$$f'(c)=0$$

ou quando $f'(c)$ não existe.

Isso significa que os pontos críticos incluem:

• Pontos em que a derivada é igual a zero.
• Pontos em que a derivada não existe, mas a função está definida.

Um ponto crítico é apenas um candidato a extremo local. Nem todo ponto crítico corresponde a um máximo ou mínimo.

Exemplo 3

Considere:

$$f(x)=x^3-3x$$

Derivando:

$$f'(x)=3x^2-3$$

Igualando a derivada a zero:

$$3x^2-3=0$$ $$x^2=1$$

Portanto:

$$x=-1 \quad \text{ou} \quad x=1$$

Esses são os pontos críticos da função.

Calculando as respectivas imagens:

$$f(-1)=2$$ $$f(1)=-2$$

Para determinar a natureza desses pontos, utilizaremos os testes das derivadas.

5. Teorema de Fermat

O Teorema de Fermat estabelece uma condição necessária para a existência de extremos locais em pontos interiores do domínio.

Se uma função $f$ possui um máximo ou mínimo local em um ponto interior $c$ de seu domínio e é derivável nesse ponto, então:

$$\boxed{f'(c)=0}$$

Esse resultado explica por que os pontos em que a derivada se anula são importantes na busca por extremos.

Entretanto, a recíproca não é necessariamente verdadeira: uma derivada nula não garante a existência de máximo ou mínimo.

Exemplo 4

Considere:

$$f(x)=x^3$$

Sua derivada é:

$$f'(x)=3x^2$$

Em $x=0$:

$$f'(0)=0$$

Entretanto, a função é crescente antes e depois desse ponto.

Portanto, $x=0$ não é um ponto de máximo nem de mínimo.

6. Teste da primeira derivada

O teste da primeira derivada permite identificar a natureza de um ponto crítico analisando o sinal da derivada antes e depois dele.

A ideia é verificar se a função está crescendo ou decrescendo nas proximidades do ponto.

Sinal de $f'(x)$	Comportamento da função
$f'(x)>0$	Crescente
$f'(x)<0$	Decrescente

A partir dessas informações, temos:

Antes do ponto crítico	Depois do ponto crítico	Classificação
Positivo	Negativo	Máximo local
Negativo	Positivo	Mínimo local
Positivo	Positivo	Não é extremo
Negativo	Negativo	Não é extremo

Exemplo 5

Determine os extremos locais da função:

$$f(x)=x^3-3x$$

Resolução

Primeiramente, calculamos a derivada:

$$f'(x)=3x^2-3$$

Colocando em evidência:

$$f'(x)=3(x-1)(x+1)$$

Os pontos críticos são:

$$x=-1 \quad \text{e} \quad x=1$$

Agora, analisamos o sinal da derivada nos intervalos determinados por esses pontos.

Intervalo	Sinal de $f'(x)$	Comportamento
$(-\infty,-1)$	Positivo	Crescente
$(-1,1)$	Negativo	Decrescente
$(1,+\infty)$	Positivo	Crescente

Em $x=-1$, a função passa de crescente para decrescente. Portanto, existe um máximo local.

Em $x=1$, a função passa de decrescente para crescente. Portanto, existe um mínimo local.

Calculando os valores:

$$f(-1)=(-1)^3-3(-1)=2$$ $$f(1)=1-3=-2$$

Logo:

$$\boxed{\text{Máximo local: }(-1,2)}$$ $$\boxed{\text{Mínimo local: }(1,-2)}$$

7. Teste da segunda derivada

Outra maneira de investigar os extremos locais é utilizar a segunda derivada.

A segunda derivada fornece informações sobre a concavidade da função.

Se $c$ é um ponto crítico e:

$$f'(c)=0$$

podemos aplicar o seguinte teste:

Se $f'(c)=0$ e $f''$ é contínua em uma vizinhança de $c$, então:

• Se $f''(c)>0$, a função possui um mínimo local em $c$.
• Se $f''(c)<0$, a função possui um máximo local em $c$.
• Se $f''(c)=0$, o teste é inconclusivo.

A interpretação geométrica é:

• Segunda derivada positiva: concavidade voltada para cima.
• Segunda derivada negativa: concavidade voltada para baixo.

Exemplo 6

Determine os extremos locais da função:

$$f(x)=x^2-6x+5$$

Resolução

Calculando a primeira derivada:

$$f'(x)=2x-6$$

Igualando a zero:

$$2x-6=0$$ $$x=3$$

Agora, calculamos a segunda derivada:

$$f''(x)=2$$

Como:

$$f''(3)=2>0$$

a função possui um mínimo local em $x=3$.

Calculando o valor correspondente:

$$f(3)=9-18+5=-4$$

Portanto:

$$\boxed{\text{Mínimo local: }(3,-4)}$$

Quando o teste da segunda derivada é inconclusivo?

Considere novamente:

$$f(x)=x^4$$

Sua primeira derivada é:

$$f'(x)=4x^3$$

O ponto crítico é $x=0$.

A segunda derivada é:

$$f''(x)=12x^2$$

Assim:

$$f''(0)=0$$

O teste é inconclusivo.

Entretanto, como:

$$x^4\geq 0$$

para todo número real $x$, concluímos que a função apresenta um mínimo absoluto em $x=0$.

Esse exemplo mostra que um teste inconclusivo não significa que não exista extremo. Significa apenas que precisamos utilizar outro método.

8. Determinação de extremos absolutos em intervalos fechados

Se uma função é contínua em um intervalo fechado $[a,b]$, o Teorema do Valor Extremo garante que ela possui máximo absoluto e mínimo absoluto nesse intervalo.

Para determinar esses valores, devemos:

1. Calcular a primeira derivada.
2. Encontrar os pontos críticos pertencentes ao intervalo.
3. Calcular o valor da função nos pontos críticos.
4. Calcular o valor da função nas extremidades do intervalo.
5. Comparar todos os valores encontrados.

Exemplo 7

Determine os valores máximo e mínimo absolutos de:

$$f(x)=x^3-3x+1$$

no intervalo $[-2,2]$.

Resolução

Calculamos a primeira derivada:

$$f'(x)=3x^2-3$$

Igualando a zero:

$$3x^2-3=0$$ $$x=\pm 1$$

Os pontos críticos pertencem ao intervalo considerado.

Agora, calculamos os valores da função nos pontos críticos e nas extremidades.

$$f(-2)=-8+6+1=-1$$ $$f(-1)=-1+3+1=3$$ $$f(1)=1-3+1=-1$$ $$f(2)=8-6+1=3$$

Comparando os resultados:

Ponto	Valor da função
$x=-2$	$-1$
$x=-1$	$3$
$x=1$	$-1$
$x=2$	$3$

Portanto:

$$\boxed{f_{\min}=-1}$$ $$\boxed{f_{\max}=3}$$

O mínimo absoluto ocorre em $x=-2$ e $x=1$, enquanto o máximo absoluto ocorre em $x=-1$ e $x=2$.

9. Resumo dos métodos

Método	Utilização
Pontos críticos	Encontrar candidatos a extremos
Teste da primeira derivada	Analisar a mudança de crescimento e decrescimento
Teste da segunda derivada	Classificar extremos utilizando a concavidade
Comparação de valores	Determinar extremos absolutos em intervalos fechados

É importante lembrar que os testes da primeira e da segunda derivada são utilizados para investigar extremos locais. Já a determinação dos extremos absolutos exige uma comparação global dos valores da função na região considerada.

10. Exercícios de fixação

🧩 Exercício 1 Fácil

Considere a função:

$$f(x)=x^2-8x+12$$

Determine a abscissa do ponto de mínimo da função.

Derivando a função:

$$f'(x)=2x-8$$

Igualando a zero:

$$2x-8=0$$$$x=4$$

Como a segunda derivada é:

$$f''(x)=2>0$$

o ponto é de mínimo.

Alternativa C.

🧩 Exercício 2 Fácil

Se uma função possui um ponto crítico em $x=c$ e satisfaz $f''(c)<0$, então, pelo teste da segunda derivada, podemos concluir que:

Pelo teste da segunda derivada, quando:

$$f'(c)=0$$

e:

$$f''(c)<0$$

a função apresenta concavidade voltada para baixo nas proximidades do ponto crítico.

Consequentemente, existe um máximo local em $c$.

Alternativa B.

🧩 Exercício 3 Médio

Considere a função:

$$f(x)=x^3-6x^2+9x+1$$

Em quais pontos a função apresenta extremos locais?

Calculando a primeira derivada:

$$f'(x)=3x^2-12x+9$$

Fatorando:

$$f'(x)=3(x-1)(x-3)$$

Os pontos críticos são:

$$x=1 \quad \text{e} \quad x=3$$

Analisando o sinal da derivada:

• Para $x<1$, a derivada é positiva.
• Para $1<x<3$, a derivada é negativa.
• Para $x>3$, a derivada é positiva.

Assim, a função passa de crescente para decrescente em $x=1$, caracterizando um máximo local.

Em $x=3$, passa de decrescente para crescente, caracterizando um mínimo local.

Alternativa A.

🧩 Exercício 4 Médio

Determine o valor mínimo absoluto da função:

$$f(x)=x^2-4x+7$$

no intervalo $[0,5]$.

Derivando:

$$f'(x)=2x-4$$

Igualando a zero:

$$2x-4=0$$$$x=2$$

Esse ponto pertence ao intervalo $[0,5]$.

Calculamos os valores nos pontos críticos e nas extremidades:

$$f(0)=7$$$$f(2)=4-8+7=3$$$$f(5)=25-20+7=12$$

Comparando os valores, o menor é:

$$\boxed{f_{\min}=3}$$

Alternativa C.

🧩 Exercício 5 Médio

Considere a função:

$$f(x)=x^4-4x^2$$

Qual é a classificação do ponto crítico $x=0$?

Calculando a primeira derivada:

$$f'(x)=4x^3-8x$$

Colocando em evidência:

$$f'(x)=4x(x^2-2)$$

Os pontos críticos são:

$$x=0,\quad x=-\sqrt{2},\quad x=\sqrt{2}$$

Para classificar o ponto $x=0$, calculamos a segunda derivada:

$$f''(x)=12x^2-8$$

Substituindo:

$$f''(0)=-8<0$$

Portanto, $x=0$ corresponde a um máximo local.

Alternativa A.

11. Conclusão

O estudo dos máximos e mínimos permite utilizar as derivadas para identificar valores extremos de funções.

Os principais conceitos desta aula foram:

• Pontos de máximo e mínimo locais e absolutos.
• Pontos críticos.
• Teorema de Fermat.
• Teste da primeira derivada.
• Teste da segunda derivada.
• Determinação de extremos absolutos em intervalos fechados.

Na próxima aula, utilizaremos esses conhecimentos para resolver problemas de otimização, nos quais o objetivo será maximizar ou minimizar uma grandeza em situações práticas.