Derivada de Soma, Diferença e Múltiplo Constante

Já sabemos calcular derivadas de constantes e de potências. Por exemplo,

$$(x^5)'=5x^4.$$

Mas muitas funções importantes são formadas pela combinação de vários termos.

Considere, por exemplo,

$$f(x)=3x^4-5x^2+7x-9.$$

Seria muito trabalhoso voltar à definição de derivada toda vez que quiséssemos calcular uma expressão desse tipo.

Felizmente, a derivada possui uma propriedade fundamental:

Podemos decompor a função em partes e derivar cada termo separadamente.

Essa propriedade é conhecida como linearidade da derivada.

Neste tópico, vamos construir essa ideia a partir da definição de derivada.

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1. Derivada da soma de duas funções

Considere duas funções $f$ e $g$ e defina

$$h(x)=f(x)+g(x).$$

Pela definição de derivada,

$$h'(x) = \lim_{a\to0} \frac{h(x+a)-h(x)}{a}.$$

Como

$$h(x+a)=f(x+a)+g(x+a),$$

podemos escrever

$$h'(x) = \lim_{a\to0} \frac{ f(x+a)+g(x+a)-f(x)-g(x) }{a}.$$

Reorganizando os termos,

$$h'(x) = \lim_{a\to0} \left[ \frac{f(x+a)-f(x)}{a} + \frac{g(x+a)-g(x)}{a} \right].$$

Utilizando a propriedade de linearidade do limite,

$$h'(x) = \lim_{a\to0} \frac{f(x+a)-f(x)}{a} + \lim_{a\to0} \frac{g(x+a)-g(x)}{a}.$$

Portanto,

$$h'(x)=f'(x)+g'(x).$$

Chegamos à regra da soma.

Se $f$ e $g$ são deriváveis, então

$$\boxed{ (f+g)'=f'+g' }$$

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2. A ideia por trás da regra

A regra significa que podemos separar uma função em parcelas.

Por exemplo,

$$f(x)=x^3+x^2.$$

Em vez de tentar derivar toda a expressão de uma vez, podemos escrever

$$f'(x) = (x^3)' + (x^2)'.$$

Então,

$$f'(x) = 3x^2+2x.$$

Assim,

$$\boxed{ f'(x)=3x^2+2x }$$

Essa será uma das ferramentas mais utilizadas para derivar polinômios.

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3. Derivada da diferença

A mesma ideia pode ser utilizada para uma diferença.

Considere

$$h(x)=f(x)-g(x).$$

Podemos escrever a diferença como

$$h(x)=f(x)+(-g(x)).$$

Pela regra da soma,

$$h'(x) = f'(x)+(-g(x))'.$$

Como veremos a seguir, multiplicar uma função por uma constante permite retirar essa constante da derivada. Portanto,

$$(-g(x))'=-g'(x).$$

Assim,

$$h'(x)=f'(x)-g'(x).$$

Se $f$ e $g$ são deriváveis, então

$$\boxed{ (f-g)'=f'-g' }$$

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4. Exemplo

Considere

$$f(x)=x^4-x^3.$$

Aplicando a regra da diferença,

$$f'(x) = (x^4)'-(x^3)'.$$

Usando a regra da potência,

$$f'(x) = 4x^3-3x^2.$$

Portanto,

$$\boxed{ f'(x)=4x^3-3x^2 }.$$

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5. Derivada de um múltiplo constante

Considere agora uma função multiplicada por uma constante:

$$h(x)=cf(x),$$

onde $c$ é uma constante.

Pela definição de derivada,

$$h'(x) = \lim_{a\to0} \frac{cf(x+a)-cf(x)}{a}.$$

Colocando $c$ em evidência,

$$h'(x) = \lim_{a\to0} c \frac{f(x+a)-f(x)}{a}.$$

Como $c$ não depende de $a$, podemos colocá-lo para fora do limite:

$$h'(x) = c \lim_{a\to0} \frac{f(x+a)-f(x)}{a}.$$

Portanto,

$$h'(x)=cf'(x).$$

Se $c$ é uma constante e $f$ é derivável, então

$$\boxed{ (cf)'=cf' }$$

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6. Exemplo: constante multiplicando uma potência

Considere

$$f(x)=7x^4.$$

Podemos manter o $7$ e derivar apenas a potência:

$$f'(x) = 7(x^4)'.$$

Como

$$(x^4)'=4x^3,$$

temos

$$f'(x)=7\cdot4x^3.$$

Logo,

$$\boxed{ f'(x)=28x^3 }.$$

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7. As três regras juntas

Até aqui, temos três regras fundamentais:

Soma

$$\boxed{ (f+g)'=f'+g' }$$

Diferença

$$\boxed{ (f-g)'=f'-g' }$$

Múltiplo constante

$$\boxed{ (cf)'=cf' }$$

Essas três propriedades permitem derivar expressões muito maiores sem precisar retornar à definição de derivada.

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8. Derivando um polinômio

Considere agora

$$f(x)=3x^4-5x^3+2x^2-7x+10.$$

Vamos separar os termos:

$$f'(x) = (3x^4)' - (5x^3)' + (2x^2)' - (7x)' + (10)'.$$

Aplicando as regras anteriores:

$$f'(x) = 3(x^4)' - 5(x^3)' + 2(x^2)' - 7(x)' + (10)'.$$

Agora utilizamos a regra da potência:

$$f'(x) = 3(4x^3) - 5(3x^2) + 2(2x) - 7(1) + 0.$$

Simplificando,

$$f'(x) = 12x^3-15x^2+4x-7.$$

Portanto,

$$\boxed{ f'(x)=12x^3-15x^2+4x-7 }$$

Observe que cada termo foi tratado de forma independente.

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9. Uma consequência importante

Considere um polinômio qualquer:

$$P(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} +\cdots+ a_1x+a_0.$$

Aplicando as regras que estudamos,

$$P'(x) = na_nx^{n-1} + (n-1)a_{n-1}x^{n-2} +\cdots+ a_1.$$

O termo constante $a_0$ desaparece porque

$$(a_0)'=0.$$

Portanto, para derivar um polinômio, basta:

1. multiplicar cada coeficiente pelo seu expoente;
2. diminuir o expoente em uma unidade;
3. derivar cada termo separadamente;
4. lembrar que a constante desaparece.

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10. Um exemplo mais elaborado

Considere

$$f(x)=6x^5-4x^3+9x^2-8x+12.$$

Derivamos termo por termo:

$$f'(x) = 6(x^5)' - 4(x^3)' + 9(x^2)' - 8(x)' + (12)'.$$

Então,

$$f'(x) = 6(5x^4) - 4(3x^2) + 9(2x) - 8(1) + 0.$$

Logo,

$$\boxed{ f'(x)=30x^4-12x^2+18x-8 }.$$

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💡 Dica — clique para visualizar

Quando a função for um polinômio, não tente aplicar uma fórmula complicada.

Separe os termos e utilize as regras básicas:

$$(ax^n)'=anx^{n-1}.$$

A constante multiplicativa permanece e o expoente desce multiplicando.

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11. Cuidado com um erro comum

Considere

$$f(x)=x^3+5x^2.$$

A derivada correta é

$$f'(x)=3x^2+10x.$$

Um erro comum seria pensar que

$$(x^3+5x^2)' = 3x^2+5x.$$

Isso está errado porque o coeficiente $5$ também permanece durante a derivação:

$$(5x^2)' = 5(2x) = 10x.$$

Portanto, sempre devemos aplicar a regra da potência a cada termo.

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12. Exercícios

🧩 Exercício 1 Fácil

Determine a derivada da função

$$f(x)=x^4+x^2.$$

Aplicamos a regra da soma:

$$f'(x) = (x^4)' + (x^2)'.$$

Pela regra da potência,

$$f'(x)=4x^3+2x.$$

Portanto, a alternativa correta é A.

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🧩 Exercício 2 Fácil

Calcule a derivada da função

$$f(x)=5x^3-2x.$$

Derivamos cada termo separadamente:

$$f'(x) = 5(x^3)' - 2(x)'.$$

Assim,

$$f'(x) = 5(3x^2)-2.$$

Logo,

$$\boxed{ f'(x)=15x^2-2 }.$$

A alternativa correta é A.

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🧩 Exercício 3 Médio

Determine a derivada de

$$f(x)=4x^5-3x^4+7x^2-6.$$

Derivamos cada termo:

$$(4x^5)'=20x^4,$$$$(-3x^4)'=-12x^3,$$$$(7x^2)'=14x,$$

e

$$(-6)'=0.$$

Portanto,

$$\boxed{ f'(x)=20x^4-12x^3+14x }.$$

A alternativa correta é A.

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🧩 Exercício 4 Médio

Se

$$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d,$$

onde $a$, $b$, $c$ e $d$ são constantes, determine $f'(x)$.

Aplicando a regra da soma e do múltiplo constante,

$$f'(x) = a(x^3)' + b(x^2)' + c(x)' + (d)'.$$

Assim,

$$f'(x) = 3ax^2+2bx+c+0.$$

Portanto,

$$\boxed{ f'(x)=3ax^2+2bx+c }.$$

A alternativa correta é A.

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🧩 Exercício 5 Médio

Considere

$$f(x)=2x^4-3x^2+5x-8.$$

Qual é o valor de $f'(2)$?

Primeiro calculamos a derivada:

$$f'(x) = 8x^3-6x+5.$$

Agora fazemos $x=2$:

$$f'(2) = 8(2)^3-6(2)+5.$$

Então,

$$f'(2) = 64-12+5.$$

Logo,

$$\boxed{f'(2)=57}.$$

Observe que nenhuma das alternativas apresenta $57$.

Portanto, há um erro nas alternativas apresentadas.

Para que a questão seja válida, devemos corrigi-la antes de utilizá-la no banco de questões.

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13. A estrutura que construímos

Neste ponto, já conseguimos derivar qualquer polinômio utilizando apenas três ideias:

$$(C)'=0,$$ $$(x^n)'=nx^{n-1},$$

e

$$(cf+g)'=cf'+g'.$$

Isso significa que a derivação de polinômios deixou de depender diretamente da definição por limite.

A definição continua sendo a base teórica:

$$f'(x) = \lim_{h\to0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h},$$

mas as regras que construímos permitem realizar os cálculos de forma muito mais eficiente.

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Próximo passo

Ainda existem duas operações fundamentais que não podemos tratar simplesmente termo a termo:

$$f(x)g(x)$$

e

$$\frac{f(x)}{g(x)}.$$

Para elas, precisaremos desenvolver duas novas ferramentas:

• Regra do Produto;
• Regra do Quociente.

Antes disso, vale entender por que a derivada de um produto não é simplesmente o produto das derivadas.

Esse será o próximo passo.