Derivadas das Funções Trigonométricas Inversas

Nas aulas anteriores, estudamos as derivadas das funções trigonométricas e aprendemos a utilizar a Regra da Cadeia para derivar funções compostas.

Agora, vamos estudar as derivadas das funções trigonométricas inversas, como arco seno, arco cosseno e arco tangente.

Essas funções permitem determinar um ângulo a partir do valor de uma razão trigonométrica.

Por exemplo, se:

$$\operatorname{sen}y=x$$

podemos escrever:

$$y=\operatorname{arcsen}x$$

Isso significa que o arco seno de $x$ fornece o ângulo cujo seno é igual a $x$.

Nosso objetivo será descobrir como essas funções variam e determinar suas derivadas.

1. Funções trigonométricas inversas

Antes de calcular as derivadas, precisamos compreender a notação e o significado dessas funções.

As principais funções trigonométricas inversas são:

Função	Notação
Arco seno	$\operatorname{arcsen}x$
Arco cosseno	$\arccos x$
Arco tangente	$\arctan x$
Arco cotangente	$\operatorname{arccot}x$
Arco secante	$\operatorname{arcsec}x$
Arco cossecante	$\operatorname{arccsc}x$

É importante observar que essas funções não representam o inverso multiplicativo das funções trigonométricas.

Por exemplo:

$$\operatorname{arcsen}x \neq \frac{1}{\operatorname{sen}x}$$

O inverso multiplicativo do seno é a cossecante. Já o arco seno representa a função inversa do seno, considerando sua restrição a um intervalo em que ele seja bijetivo.

2. Derivada da função arco seno

Considere a função:

$$y=\operatorname{arcsen}x$$

Pela definição de função inversa, podemos escrever:

$$\operatorname{sen}y=x$$

Nosso objetivo é determinar $\frac{dy}{dx}$.

Para isso, vamos utilizar a derivação implícita, derivando os dois lados da igualdade em relação a $x$.

$$\frac{d}{dx}(\operatorname{sen}y) = \frac{d}{dx}(x)$$

Aplicando a Regra da Cadeia no lado esquerdo:

$$\cos y\cdot\frac{dy}{dx}=1$$

Isolando a derivada:

$$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\cos y}$$

Entretanto, queremos expressar o resultado em função de $x$, e não de $y$.

Sabemos que:

$$\operatorname{sen}y=x$$

Pela identidade fundamental da trigonometria:

$$\operatorname{sen}^2y+\cos^2y=1$$

Substituindo $\operatorname{sen}y=x$:

$$x^2+\cos^2y=1$$

Logo:

$$\cos^2y=1-x^2$$

Como o arco seno possui imagem no intervalo $[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$, o cosseno é não negativo nesse intervalo.

Portanto:

$$\cos y=\sqrt{1-x^2}$$

Substituindo na expressão da derivada:

$$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$

Concluímos:

Para $-1<x<1$:

$$\boxed{ \frac{d}{dx}(\operatorname{arcsen}x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} }$$

Exemplo 1

Determine a derivada da função:

$$f(x)=\operatorname{arcsen}(2x)$$

Observe que temos uma função composta. A função externa é o arco seno e a função interna é $2x$.

Aplicando a Regra da Cadeia:

$$f'(x)= \frac{1}{\sqrt{1-(2x)^2}}\cdot 2$$

Simplificando:

$$\boxed{ f'(x)=\frac{2}{\sqrt{1-4x^2}} }$$

3. Derivada da função arco cosseno

Considere agora:

$$y=\arccos x$$

Pela definição da função inversa:

$$\cos y=x$$

Derivando os dois lados em relação a $x$:

$$-\operatorname{sen}y\cdot\frac{dy}{dx}=1$$

Isolando a derivada:

$$\frac{dy}{dx}= -\frac{1}{\operatorname{sen}y}$$

Utilizando a identidade fundamental:

$$\operatorname{sen}^2y+\cos^2y=1$$

Como $\cos y=x$, temos:

$$\operatorname{sen}^2y=1-x^2$$

O arco cosseno possui imagem no intervalo $[0,\pi]$, no qual o seno é não negativo.

Assim:

$$\operatorname{sen}y=\sqrt{1-x^2}$$

Substituindo:

$$\frac{dy}{dx}= -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$

Portanto:

Para $-1<x<1$:

$$\boxed{ \frac{d}{dx}(\arccos x) = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} }$$

Observe que a derivada do arco cosseno é o oposto da derivada do arco seno.

Exemplo 2

Determine a derivada:

$$f(x)=\arccos(3x-1)$$

Identificamos a função interna:

$$u(x)=3x-1$$

Sua derivada é:

$$u'(x)=3$$

Aplicando a Regra da Cadeia:

$$f'(x)= -\frac{3}{\sqrt{1-(3x-1)^2}}$$

Logo:

$$\boxed{ f'(x)= -\frac{3}{\sqrt{1-(3x-1)^2}} }$$

4. Derivada da função arco tangente

Considere:

$$y=\arctan x$$

Pela definição da função inversa:

$$\tan y=x$$

Derivando os dois lados:

$$\sec^2y\cdot\frac{dy}{dx}=1$$

Isolando:

$$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\sec^2y}$$

Sabemos que:

$$\sec^2y=1+\tan^2y$$

Como $\tan y=x$, podemos substituir:

$$\sec^2y=1+x^2$$

Assim:

$$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{1+x^2}$$

Portanto:

Para todo $x\in\mathbb{R}$:

$$\boxed{ \frac{d}{dx}(\arctan x) = \frac{1}{1+x^2} }$$

Exemplo 3

Determine a derivada:

$$f(x)=\arctan(x^2+1)$$

A função interna é:

$$u(x)=x^2+1$$

Sua derivada é:

$$u'(x)=2x$$

Aplicando a Regra da Cadeia:

$$f'(x)= \frac{2x}{1+(x^2+1)^2}$$

Portanto:

$$\boxed{ f'(x)=\frac{2x}{1+(x^2+1)^2} }$$

5. Derivada da função arco cotangente

Considere:

$$y=\operatorname{arccot}x$$

Utilizando a definição da função inversa:

$$\cot y=x$$

Derivando os dois lados:

$$-\csc^2y\cdot\frac{dy}{dx}=1$$

Isolando:

$$\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{\csc^2y}$$

Sabemos que:

$$\csc^2y=1+\cot^2y$$

Como $\cot y=x$:

$$\csc^2y=1+x^2$$

Logo:

$$\boxed{ \frac{d}{dx}(\operatorname{arccot}x) = -\frac{1}{1+x^2} }$$

6. Derivadas do arco secante e arco cossecante

As outras duas funções inversas também possuem fórmulas específicas.

Para a função arco secante, considere:

$$y=\operatorname{arcsec}x$$

Então:

$$\sec y=x$$

Derivando:

$$\sec y\tan y\cdot\frac{dy}{dx}=1$$

Assim:

$$\frac{dy}{dx}= \frac{1}{\sec y\tan y}$$

Como $\sec y=x$ e, para a escolha usual do ramo principal, $|\tan y|=\sqrt{x^2-1}$, obtemos:

$$\frac{dy}{dx}= \frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$$

Para a função arco cossecante:

$$y=\operatorname{arccsc}x$$

Temos:

$$\csc y=x$$

Derivando:

$$-\csc y\cot y\cdot\frac{dy}{dx}=1$$

Utilizando a identidade:

$$\cot^2y=\csc^2y-1$$

e considerando o ramo principal usual, obtemos:

Para $|x|>1$:

$$\boxed{ \frac{d}{dx}(\operatorname{arcsec}x) = \frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}} }$$$$\boxed{ \frac{d}{dx}(\operatorname{arccsc}x) = -\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}} }$$

7. Resumo das derivadas das funções trigonométricas inversas

As principais fórmulas estudadas podem ser organizadas na seguinte tabela:

Função	Derivada
$\operatorname{arcsen}x$	$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$\arccos x$	$-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$\arctan x$	$\frac{1}{1+x^2}$
$\operatorname{arccot}x$	$-\frac{1}{1+x^2}$
$\operatorname{arcsec}x$	$\frac{1}{\lvert x\rvert\sqrt{x^2-1}}$
$\operatorname{arccsc}x$	$-\frac{1}{\lvert x\rvert\sqrt{x^2-1}}$

Atenção: as fórmulas do arco seno e arco cosseno são válidas para $-1<x<1$. As fórmulas do arco secante e arco cossecante são válidas para $|x|>1$. As derivadas das funções arco tangente e arco cotangente existem para todos os números reais, considerando a convenção usual de ramo principal para a arco cotangente.

8. Aplicando a Regra da Cadeia

Assim como nas funções trigonométricas diretas, podemos derivar funções inversas compostas.

Se $u=u(x)$, temos:

$$\frac{d}{dx}[\operatorname{arcsen}(u)] = \frac{u'}{\sqrt{1-u^2}}$$$$\frac{d}{dx}[\arccos(u)] = -\frac{u'}{\sqrt{1-u^2}}$$$$\frac{d}{dx}[\arctan(u)] = \frac{u'}{1+u^2}$$

Exemplo 4

Determine a derivada:

$$f(x)=\operatorname{arcsen}(x^2)$$

Aplicando a fórmula do arco seno composto:

$$f'(x)= \frac{2x}{\sqrt{1-(x^2)^2}}$$

Simplificando:

$$\boxed{ f'(x)=\frac{2x}{\sqrt{1-x^4}} }$$

Exemplo 5

Determine a derivada:

$$f(x)=\arctan(5x^3-2x)$$

A função interna é:

$$u(x)=5x^3-2x$$

Sua derivada é:

$$u'(x)=15x^2-2$$

Aplicando a fórmula:

$$f'(x)= \frac{15x^2-2}{1+(5x^3-2x)^2}$$

Portanto:

$$\boxed{ f'(x)= \frac{15x^2-2}{1+(5x^3-2x)^2} }$$

9. Exercícios de fixação

🧩 Exercício 1 Fácil

Determine a derivada da função:

$$f(x)=\operatorname{arcsen}x$$

Utilizamos diretamente a fórmula da derivada do arco seno:

$$\frac{d}{dx}(\operatorname{arcsen}x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$

Portanto, a alternativa correta é B.

🧩 Exercício 2 Fácil

A derivada da função

$$f(x)=\arctan x$$

é:

A fórmula da derivada do arco tangente é:

$$\frac{d}{dx}(\arctan x) = \frac{1}{1+x^2}$$

Logo, a alternativa correta é C.

🧩 Exercício 3 Médio

Determine a derivada da função:

$$f(x)=\arccos(2x)$$

A função interna é:

$$u(x)=2x$$

Sua derivada é:

$$u'(x)=2$$

Aplicando a fórmula do arco cosseno com a Regra da Cadeia:

$$f'(x)= -\frac{2}{\sqrt{1-(2x)^2}}$$

Assim:

$$\boxed{ f'(x)= -\frac{2}{\sqrt{1-4x^2}} }$$

A alternativa correta é C.

🧩 Exercício 4 Médio

Determine a derivada da função:

$$f(x)=\operatorname{arcsen}(3x^2+1)$$

Identificamos a função interna:

$$u(x)=3x^2+1$$

Derivando:

$$u'(x)=6x$$

Aplicando a Regra da Cadeia:

$$f'(x)= \frac{6x}{\sqrt{1-(3x^2+1)^2}}$$

Portanto, a alternativa correta é A.

Observe que a função original está definida em $\mathbb{R}$ apenas quando:

$$-1\leq 3x^2+1\leq 1$$

Isso ocorre somente em $x=0$. Nesse ponto, a expressão da derivada não está definida. Portanto, a função não possui derivada real em nenhum ponto do interior de seu domínio, pois seu domínio é apenas o conjunto $\{0\}$.

🧩 Exercício 5 Difícil

Considere a função:

$$f(x)=\arctan(x^2+1)$$

O valor de $f'(1)$ é:

Primeiro, derivamos a função utilizando a Regra da Cadeia:

$$f'(x)= \frac{2x}{1+(x^2+1)^2}$$

Agora, substituímos $x=1$:

$$f'(1)= \frac{2}{1+(1+1)^2}$$$$f'(1)=\frac{2}{1+4}$$

Portanto:

$$\boxed{f'(1)=\frac{2}{5}}$$

A alternativa correta é C.

10. Conclusão

Nesta aula, estudamos as derivadas das principais funções trigonométricas inversas:

• Arco seno;
• Arco cosseno;
• Arco tangente;
• Arco cotangente;
• Arco secante;
• Arco cossecante.

Também aprendemos a obter algumas dessas fórmulas por meio da derivação implícita e vimos como aplicar a Regra da Cadeia quando o argumento da função é uma expressão composta.

Na próxima aula, estudaremos a Derivação Implícita, aprofundando uma técnica que já utilizamos para demonstrar as derivadas das funções trigonométricas inversas.

Esse método será especialmente importante quando não conseguirmos isolar facilmente uma variável em função da outra.