Progressões (PA e PG)

🧩 Exercício 1 Fácil

Os números que exprimem o lado, a diagonal e a área de um quadrado estão em Progressão Aritmética (PA), nessa ordem.

Qual é o perímetro do quadrado?

💡 Dica — clique para visualizar

Chame o lado do quadrado de $x$.

Lembre-se de que:

$$\text{diagonal}=x\sqrt2$$

e

$$\text{área}=x^2.$$

Como os três valores estão em PA, o termo do meio é a média aritmética dos extremos.

Ideia principal

$$\text{lado}=x,$$$$\text{diagonal}=x\sqrt2$$$$\text{área}=x^2.$$

Como esses três valores estão, nessa ordem, em uma Progressão Aritmética, podemos usar a propriedade:

$$2\cdot\text{termo do meio} = \text{primeiro termo}+\text{terceiro termo}.$$

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Passo 1 — Montando a equação

Os três termos são:

$$x,\qquad x\sqrt2,\qquad x^2.$$

Portanto:

$$2x\sqrt2=x+x^2.$$

Como $x>0$, podemos dividir toda a equação por $x$:

$$2\sqrt2=1+x.$$

Logo:

$$x=2\sqrt2-1.$$

Assim, o lado do quadrado mede:

$$\boxed{2\sqrt2-1}.$$

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Passo 2 — Encontrando o perímetro

O perímetro de um quadrado é:

$$P=4x.$$

Substituindo o valor de $x$:

$$P=4(2\sqrt2-1).$$

Portanto:

$$\boxed{P=8\sqrt2-4}.$$

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Resultado

O perímetro do quadrado é:

$$\boxed{8\sqrt2-4}.$$

🧩 Exercício 2 Médio

Prove que, para os termos de uma PA em que $0$ não participa, tem-se a seguinte relação:

$$\frac{1}{a_1a_2} + \frac{1}{a_2a_3} + \frac{1}{a_3a_4} +\cdots+ \frac{1}{a_{n-1}a_n} = \frac{n-1}{a_1a_n}.$$

💡 Dica — clique para visualizar

Use o fato de que, em uma PA,

$$a_{k+1}-a_k=r.$$

Tente escrever cada termo

$$\frac{1}{a_ka_{k+1}}$$

como uma diferença entre duas frações.

Ideia principal

Como os termos formam uma PA, temos:

$$a_{k+1}-a_k=r.$$

Vamos usar essa propriedade para transformar cada termo da soma em uma diferença. Isso fará com que a soma seja telescópica, ou seja, vários termos irão se cancelar.

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Passo 1 — Transformando cada termo

Temos:

$$\frac{1}{a_ka_{k+1}}.$$

Como:

$$a_{k+1}-a_k=r,$$

podemos escrever:

$$\frac{1}{a_ka_{k+1}} = \frac{a_{k+1}-a_k}{r\,a_ka_{k+1}}.$$

Separando a fração:

$$\frac{1}{a_ka_{k+1}} = \frac1r \left( \frac{1}{a_k} - \frac{1}{a_{k+1}} \right).$$

Portanto, cada termo da soma pode ser escrito dessa maneira.

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Passo 2 — Aplicando à soma

A soma original fica:

$$\begin{aligned} \frac{1}{a_1a_2} +\frac{1}{a_2a_3} +\cdots +\frac{1}{a_{n-1}a_n} &= \frac1r \left[ \left(\frac1{a_1}-\frac1{a_2}\right) + \left(\frac1{a_2}-\frac1{a_3}\right) +\cdots + \left(\frac1{a_{n-1}}-\frac1{a_n}\right) \right]. \end{aligned}$$

Agora podemos perceber o cancelamento:

$$\frac1{a_1} -\cancel{\frac1{a_2}} +\cancel{\frac1{a_2}} -\cancel{\frac1{a_3}} +\cdots +\cancel{\frac1{a_{n-1}}} -\frac1{a_n}.$$

Todos os termos intermediários se cancelam.

Restam apenas:

$$\frac1r \left( \frac1{a_1}-\frac1{a_n} \right).$$

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Passo 3 — Colocando em uma única fração

Temos:

$$\frac1r \left( \frac1{a_1}-\frac1{a_n} \right) = \frac1r \cdot \frac{a_n-a_1}{a_1a_n}.$$

Como os termos estão em PA:

$$a_n-a_1=(n-1)r.$$

Logo:

$$\frac1r \cdot \frac{(n-1)r}{a_1a_n}.$$

Cancelando $r$:

$$\boxed{\frac{n-1}{a_1a_n}}.$$

Portanto:

$$\boxed{ \frac{1}{a_1a_2} + \frac{1}{a_2a_3} +\cdots+ \frac{1}{a_{n-1}a_n} = \frac{n-1}{a_1a_n} }.$$

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Resultado

A relação está provada:

$$\boxed{ \frac{1}{a_1a_2} + \frac{1}{a_2a_3} + \cdots+ \frac{1}{a_{n-1}a_n} = \frac{n-1}{a_1a_n} }.$$

🧩 Exercício 3 Fácil

As medidas dos lados de um triângulo são expressas por

$$x+1,\qquad 2x,\qquad x^2-5$$

e estão em PA, nessa ordem.

Calcule o perímetro.

💡 Dica — clique para visualizar

Como os três lados estão em Progressão Aritmética, o termo do meio é a média dos extremos:

$$2(2x)=(x+1)+(x^2-5).$$

Resolva essa equação e lembre-se de que os lados de um triângulo devem ter medidas positivas.

Ideia principal

Os lados do triângulo são:

$$x+1,\qquad 2x,\qquad x^2-5.$$

Como estão em PA, nessa ordem, podemos usar a propriedade:

$$2a_2=a_1+a_3.$$

Portanto:

$$2(2x)=(x+1)+(x^2-5).$$

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Passo 1 — Encontrando $x$

Desenvolvendo:

$$4x=x+1+x^2-5.$$

Então:

$$4x=x^2+x-4.$$

Reorganizando:

$$x^2-3x-4=0.$$

Fatorando:

$$(x-4)(x+1)=0.$$

Logo:

$$x=4 \qquad\text{ou}\qquad x=-1.$$

Como $x$ representa medidas dos lados, devemos ter medidas positivas. Portanto:

$$\boxed{x=4}.$$

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Passo 2 — Encontrando os lados

Substituindo $x=4$:

Primeiro lado

$$x+1=4+1=5.$$

Segundo lado

$$2x=2\cdot4=8.$$

Terceiro lado

$$x^2-5=4^2-5=11.$$

Assim, os lados são:

$$5,\qquad 8,\qquad 11.$$

Podemos verificar que realmente formam um triângulo:

$$5+8>11.$$

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Passo 3 — Calculando o perímetro

O perímetro é a soma dos três lados:

$$P=5+8+11.$$

Portanto:

$$\boxed{P=24}.$$

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Resultado

O perímetro do triângulo é:

$$\boxed{24}.$$

🧩 Exercício 4 Médio

Obter cinco números em PA sabendo que sua soma é $5$ e a soma dos seus inversos é

$$\frac{563}{63}.$$

💡 Dica — clique para visualizar

Como são cinco termos em PA, escreva-os simetricamente em torno do termo central:

$$1-2r,\quad 1-r,\quad 1,\quad 1+r,\quad 1+2r.$$

A soma dos cinco termos deve ser $5$.

Depois, escreva a soma dos inversos e agrupe os termos simétricos.

Ideia principal

Como temos cinco números em PA, podemos representar os termos de forma simétrica em torno do termo central:

$$a-2r,\quad a-r,\quad a,\quad a+r,\quad a+2r.$$

A soma dos cinco termos é $5$, o que permitirá determinar o termo central.

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Passo 1 — Determinando o termo central

A soma dos cinco termos é:

$$(a-2r)+(a-r)+a+(a+r)+(a+2r)=5.$$

Os termos que envolvem $r$ se cancelam:

$$5a=5.$$

Logo:

$$\boxed{a=1}.$$

Portanto, os cinco números podem ser escritos como:

$$\boxed{ 1-2r,\quad 1-r,\quad 1,\quad 1+r,\quad 1+2r }.$$

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Passo 2 — Utilizando a soma dos inversos

O problema informa que:

$$\frac{1}{1-2r} +\frac{1}{1-r} +\frac11 +\frac{1}{1+r} +\frac{1}{1+2r} = \frac{563}{63}.$$

Vamos agrupar os termos simétricos.

Primeiramente:

$$\frac{1}{1-r}+\frac{1}{1+r}.$$

Usando a identidade

$$\frac1a+\frac1b=\frac{a+b}{ab},$$

temos:

$$\frac{1}{1-r}+\frac{1}{1+r} = \frac{(1+r)+(1-r)} {(1-r)(1+r)}.$$

Assim:

$$= \frac{2}{1-r^2}.$$

Da mesma maneira:

$$\frac{1}{1-2r}+\frac{1}{1+2r} = \frac{2}{1-4r^2}.$$

Portanto:

$$\frac{2}{1-r^2} +1+ \frac{2}{1-4r^2} = \frac{563}{63}.$$

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Passo 3 — Fazendo uma substituição

Como só aparecem potências pares de $r$, fazemos:

$$t=r^2.$$

Então:

$$\frac{2}{1-t}+1+\frac{2}{1-4t} = \frac{563}{63}.$$

Subtraindo $1$:

$$\frac{2}{1-t}+\frac{2}{1-4t} = \frac{500}{63}.$$

Colocando as frações no mesmo denominador:

$$\frac{2(1-4t)+2(1-t)} {(1-t)(1-4t)} = \frac{500}{63}.$$

O numerador é:

$$2-8t+2-2t=4-10t.$$

Logo:

$$\frac{4-10t} {(1-t)(1-4t)} = \frac{500}{63}.$$

Multiplicando em cruz:

$$63(4-10t) = 500(1-t)(1-4t).$$

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Passo 4 — Resolvendo a equação

Desenvolvendo:

$$252-630t = 500(1-5t+4t^2).$$

Assim:

$$252-630t = 500-2500t+2000t^2.$$

Reorganizando:

$$2000t^2-1870t+248=0.$$

Dividindo por $2$:

$$1000t^2-935t+124=0.$$

Fatorando:

$$\boxed{(25t-4)(40t-31)=0}.$$

Portanto:

$$t=\frac4{25} \qquad\text{ou}\qquad t=\frac{31}{40}.$$

Como $t=r^2$:

$$r^2=\frac4{25}$$

ou

$$r^2=\frac{31}{40}.$$

Logo:

$$r=\pm\frac25$$

ou

$$r=\pm\sqrt{\frac{31}{40}}.$$

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Passo 5 — Encontrando as progressões

Como trocar $r$ por $-r$ apenas inverte a ordem dos termos, os valores de $r$ com sinais opostos produzem a mesma PA.

Primeira possibilidade

Para

$$r=\frac25,$$

os termos são:

$$1-\frac45,\quad 1-\frac25,\quad 1,\quad 1+\frac25,\quad 1+\frac45.$$

Portanto:

$$\boxed{ \frac15,\quad \frac35,\quad 1,\quad \frac75,\quad \frac95 }.$$

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Segunda possibilidade

Para

$$r=\sqrt{\frac{31}{40}},$$

os termos são:

$$1-2\sqrt{\frac{31}{40}}, \quad 1-\sqrt{\frac{31}{40}}, \quad 1,$$$$1+\sqrt{\frac{31}{40}}, \quad 1+2\sqrt{\frac{31}{40}}.$$

Portanto, também temos a PA:

$$\boxed{ 1-2\sqrt{\frac{31}{40}}, \quad 1-\sqrt{\frac{31}{40}}, \quad 1, \quad 1+\sqrt{\frac{31}{40}}, \quad 1+2\sqrt{\frac{31}{40}} }.$$

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Resultado

Sem nenhuma restrição adicional sobre os números, existem duas progressões aritméticas distintas que satisfazem as condições:

$$\boxed{ \frac15,\quad \frac35,\quad 1,\quad \frac75,\quad \frac95 }$$

e

$$\boxed{ 1-2\sqrt{\frac{31}{40}}, \quad 1-\sqrt{\frac{31}{40}}, \quad 1, \quad 1+\sqrt{\frac{31}{40}}, \quad 1+2\sqrt{\frac{31}{40}} }.$$

Se o exercício pretendia que os cinco números fossem naturais, então a única possibilidade é:

$$\boxed{ \frac15,\frac35,1,\frac75,\frac95 }$$

mas esses números não são naturais. Portanto, com o enunciado exatamente como apresentado, há duas soluções.

🧩 Exercício 5 Médio

Sabendo que

$$(a,b,c)$$

e

$$\left(\frac1b,\frac1c,\frac1d\right)$$

estão em P.A., então mostre que

$$2ad=c(a+c).$$

💡 Dica — clique para visualizar

Use a propriedade fundamental de três termos consecutivos de uma P.A.:

$$2\cdot\text{termo do meio} = \text{primeiro termo}+\text{terceiro termo}.$$

Aplique essa propriedade às duas progressões.

Ideia principal

Temos duas progressões aritméticas:

$$(a,b,c)$$

e

$$\left(\frac1b,\frac1c,\frac1d\right).$$

Para três termos consecutivos de uma P.A., vale:

$$\boxed{2a_2=a_1+a_3}.$$

Vamos aplicar essa propriedade às duas sequências.

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Passo 1 — Usando a primeira P.A.

Como

$$(a,b,c)$$

está em P.A., temos:

$$2b=a+c.$$

Portanto:

$$\boxed{a+c=2b}.$$

Essa relação será importante no final.

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Passo 2 — Usando a segunda P.A.

Agora temos:

$$\left(\frac1b,\frac1c,\frac1d\right)$$

em P.A.

Logo:

$$2\cdot\frac1c = \frac1b+\frac1d.$$

Temos então:

$$\frac2c=\frac1b+\frac1d.$$

Colocando o lado direito em um único denominador:

$$\frac2c = \frac{b+d}{bd}.$$

Multiplicando em cruz:

$$2bd=c(b+d).$$

Portanto:

$$\boxed{2bd=bc+cd}.$$

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Passo 3 — Isolando $d$

Partindo de:

$$2bd=bc+cd,$$

colocamos os termos que possuem $d$ no mesmo lado:

$$2bd-cd=bc.$$

Colocando $d$ em evidência:

$$d(2b-c)=bc.$$

Mas, pela primeira P.A.:

$$a+c=2b.$$

Logo:

$$2b-c=a.$$

Substituindo:

$$ad=bc.$$

Portanto:

$$\boxed{ad=bc}.$$

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Passo 4 — Obtendo o resultado pedido

Queremos mostrar que:

$$2ad=c(a+c).$$

Já sabemos que:

$$ad=bc.$$

Multiplicando por $2$:

$$2ad=2bc.$$

Além disso, da primeira P.A.:

$$a+c=2b.$$

Então:

$$2bc=c(2b)=c(a+c).$$

Logo:

$$\boxed{2ad=c(a+c)}.$$

🧩 Exercício 6 Fácil

Considere a soma dos primeiros números ímpares positivos:

$$1+3+5+7+\cdots +(2n-1).$$

1. Calcule as somas para os primeiros valores de $n$:

$$1,\qquad 1+3,\qquad 1+3+5,\qquad 1+3+5+7.$$

2. A partir dos resultados obtidos, formule uma conjectura para a soma dos $n$ primeiros números ímpares.

3. Demonstre que a soma dos $n$ primeiros números ímpares é sempre um quadrado perfeito.

💡 Dica — clique para visualizar

Observe os resultados obtidos nos primeiros casos.

Depois, perceba que os números

$$1,3,5,7,\ldots,2n-1$$

formam uma progressão aritmética.

Você pode utilizar a fórmula da soma dos termos de uma P.A.

1. Observando o padrão

Vamos calcular as primeiras somas:

$$1=1^2$$

Depois:

$$1+3=4=2^2.$$

Continuando:

$$1+3+5=9=3^2$$

e:

$$1+3+5+7=16=4^2.$$

Percebemos o padrão:

$$1=1^2,$$$$1+3=2^2,$$$$1+3+5=3^2,$$$$1+3+5+7=4^2.$$

Isso sugere que:

$$\boxed{ 1+3+5+\cdots +(2n-1)=n^2 }.$$

Agora vamos demonstrar que essa relação é verdadeira para qualquer $n$.

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2. Identificando uma P.A.

Os números

$$1,3,5,7,\ldots,2n-1$$

formam uma progressão aritmética.

Temos:

$$a_1=1$$

e

$$a_n=2n-1.$$

A razão é:

$$r=2.$$

Como estamos somando os $n$ primeiros números ímpares, existem exatamente $n$ termos.

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3. Calculando a soma

A soma dos $n$ termos de uma P.A. é dada por:

$$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}.$$

Substituindo $a_1=1$ e $a_n=2n-1$:

$$S_n= \frac{n[1+(2n-1)]}{2}.$$

Simplificando o que está entre colchetes:

$$1+(2n-1)=2n.$$

Logo:

$$S_n= \frac{n(2n)}{2}.$$

Portanto:

$$\boxed{S_n=n^2}.$$

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4. Por que é sempre um quadrado perfeito?

Como $n$ é um número natural, temos:

$$S_n=n^2.$$

Mas $n^2$ é, por definição, o quadrado de um número natural.

Portanto, a soma dos $n$ primeiros números ímpares é sempre um quadrado perfeito:

$$\boxed{ 1+3+5+\cdots +(2n-1)=n^2 }.$$

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5. Uma forma de enxergar o padrão

Existe ainda uma maneira interessante de entender por que isso acontece.

Observe a diferença entre dois quadrados consecutivos:

$$(n+1)^2-n^2.$$

Desenvolvendo:

$$(n+1)^2-n^2 = n^2+2n+1-n^2.$$

Assim:

$$(n+1)^2-n^2=2n+1.$$

Mas $2n+1$ é justamente o próximo número ímpar.

Portanto, cada novo número ímpar transforma um quadrado perfeito no próximo:

$$1 \longrightarrow 1+3=4 \longrightarrow 4+5=9 \longrightarrow 9+7=16 \longrightarrow\cdots$$

Ou seja:

$$\boxed{ 1+3+5+\cdots +(2n-1)=n^2 }.$$

🧩 Exercício 7 Fácil

Determine três números reais em P.G. de modo que a sua soma seja

$$\frac{21}{8}$$

e a soma de seus quadrados seja

$$\frac{189}{64}.$$

💡 Dica — clique para visualizar

Represente os três termos da P.G. por

$$a,\quad aq,\quad aq^2.$$

Use as duas informações do problema para obter duas equações.

Uma boa estratégia é elevar a primeira equação ao quadrado e dividi-la pela segunda, eliminando $a$.

Ideia principal

Como temos três números reais em P.G., podemos representá-los por:

$$\boxed{a,\quad aq,\quad aq^2},$$

onde $a$ é o primeiro termo e $q$ é a razão da progressão.

Vamos utilizar as duas informações fornecidas para determinar $a$ e $q$.

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Passo 1 — Usando a soma dos termos

A soma dos três termos é:

$$a+aq+aq^2=\frac{21}{8}.$$

Colocando $a$ em evidência:

$$\boxed{ a(1+q+q^2)=\frac{21}{8} }.$$

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Passo 2 — Usando a soma dos quadrados

A soma dos quadrados dos termos é:

$$a^2+(aq)^2+(aq^2)^2=\frac{189}{64}.$$

Logo:

$$a^2+a^2q^2+a^2q^4=\frac{189}{64}.$$

Colocando $a^2$ em evidência:

$$\boxed{ a^2(1+q^2+q^4)=\frac{189}{64} }.$$

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Passo 3 — Eliminando $a$

Da primeira equação:

$$a(1+q+q^2)=\frac{21}{8}.$$

Elevando ao quadrado:

$$a^2(1+q+q^2)^2 = \frac{441}{64}.$$

Agora dividimos a equação da soma dos quadrados por essa última:

$$\frac{ a^2(1+q^2+q^4) }{ a^2(1+q+q^2)^2 } = \frac{189}{441}.$$

Cancelando $a^2$:

$$\frac{1+q^2+q^4} {(1+q+q^2)^2} = \frac37.$$

Portanto:

$$\boxed{ 7(1+q^2+q^4) = 3(1+q+q^2)^2 }.$$

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Passo 4 — Encontrando a razão $q$

Desenvolvendo o lado esquerdo:

$$7+7q^2+7q^4.$$

E o lado direito:

$$3(1+2q+3q^2+2q^3+q^4).$$

Assim:

$$7+7q^2+7q^4 = 3+6q+9q^2+6q^3+3q^4.$$

Reorganizando:

$$2q^4-6q^3-2q^2-6q+4=0.$$

Dividindo por $2$:

$$2q^4-3q^3-q^2-3q+2=0.$$

Essa expressão pode ser fatorada como:

$$\boxed{ (q-2)^2(2q-1)^2=0 }.$$

Logo:

$$q=2$$

ou

$$q=\frac12.$$

Observe que essas duas razões produzem a mesma progressão, apenas em ordem inversa.

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Passo 5 — Encontrando o primeiro termo

Podemos escolher:

$$q=2.$$

Voltando à equação da soma:

$$a(1+q+q^2)=\frac{21}{8}.$$

Substituindo $q=2$:

$$a(1+2+4)=\frac{21}{8}.$$

Então:

$$7a=\frac{21}{8}.$$

Logo:

$$\boxed{a=\frac38}.$$

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Passo 6 — Encontrando os três números

Os termos são:

$$a,\quad aq,\quad aq^2.$$

Substituindo $a=\frac38$ e $q=2$:

$$\frac38,\quad \frac38\cdot2,\quad \frac38\cdot4.$$

Portanto:

$$\boxed{ \frac38,\quad \frac34,\quad \frac32 }.$$

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Passo 7 — Verificando

Vamos verificar a soma:

$$\frac38+\frac34+\frac32.$$

Colocando tudo sobre $8$:

$$\frac38+\frac68+\frac{12}{8} = \frac{21}{8}.$$

Agora a soma dos quadrados:

$$\left(\frac38\right)^2 + \left(\frac34\right)^2 + \left(\frac32\right)^2.$$

Temos:

$$\frac9{64} + \frac{36}{64} + \frac{144}{64} = \frac{189}{64}.$$

As duas condições são satisfeitas.

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Resultado

Os três números são:

$$\boxed{ \frac38,\quad \frac34,\quad \frac32 }.$$

A razão da P.G. é:

$$\boxed{q=2}.$$

A razão $q=\frac12$ fornece os mesmos três números em ordem inversa.

🧩 Exercício 8 Médio

Calcule $x$, em radianos, sabendo que

$$\frac{\operatorname{sen}x}{2}, \quad \operatorname{sen}x, \quad \operatorname{tg}x$$

formam uma P.G.

💡 Dica — clique para visualizar

Para três termos consecutivos de uma P.G., vale a relação:

$$a_2^2=a_1a_3.$$

Aplique essa propriedade aos três termos da questão e utilize:

$$\operatorname{tg}x = \frac{\operatorname{sen}x}{\cos x}.$$

Ideia principal

Os números

$$\frac{\operatorname{sen}x}{2}, \quad \operatorname{sen}x, \quad \operatorname{tg}x$$

formam uma progressão geométrica.

Para três termos consecutivos de uma P.G., temos:

$$\boxed{a_2^2=a_1a_3}.$$

Vamos aplicar essa propriedade diretamente.

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Passo 1 — Aplicando a propriedade da P.G.

Temos:

$$a_1=\frac{\operatorname{sen}x}{2}, \qquad a_2=\operatorname{sen}x, \qquad a_3=\operatorname{tg}x.$$

Portanto:

$$(\operatorname{sen}x)^2 = \frac{\operatorname{sen}x}{2} \operatorname{tg}x.$$

Assim:

$$\operatorname{sen}^2x = \frac{\operatorname{sen}x}{2} \operatorname{tg}x.$$

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Passo 2 — Substituindo a tangente

Sabemos que:

$$\operatorname{tg}x = \frac{\operatorname{sen}x}{\cos x}.$$

Substituindo na equação:

$$\operatorname{sen}^2x = \frac{\operatorname{sen}x}{2} \cdot \frac{\operatorname{sen}x}{\cos x}.$$

Logo:

$$\operatorname{sen}^2x = \frac{\operatorname{sen}^2x} {2\cos x}.$$

Multiplicando ambos os lados por $2\cos x$:

$$2\operatorname{sen}^2x\cos x = \operatorname{sen}^2x.$$

Colocando $\operatorname{sen}^2x$ em evidência:

$$\operatorname{sen}^2x(2\cos x-1)=0.$$

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Passo 3 — Analisando os casos

Temos:

$$\operatorname{sen}^2x(2\cos x-1)=0.$$

Portanto, temos duas possibilidades.

Caso 1 — $\operatorname{sen}x=0$

Nesse caso:

$$x=k\pi, \qquad k\in\mathbb{Z}.$$

Para esses valores:

$$\frac{\operatorname{sen}x}{2}=0, \qquad \operatorname{sen}x=0, \qquad \operatorname{tg}x=0.$$

Assim, teríamos a P.G.

$$(0,0,0).$$

Se considerarmos P.G. formada por termos não nulos, esse caso deve ser descartado.

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Caso 2 — $2\cos x-1=0$

Temos:

$$2\cos x=1.$$

Logo:

$$\cos x=\frac12.$$

Considerando o valor de $x$ no primeiro quadrante:

$$\boxed{x=\frac{\pi}{3}}.$$

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Resultado

Considerando o valor usual de $x$ no intervalo

$$0<x<\frac{\pi}{2},$$

obtemos:

$$\boxed{x=\frac{\pi}{3}}.$$

🧩 Exercício 9 Médio

Determine a soma

$$S=1+11+111+\cdots+111\ldots111,$$

sabendo que o último termo possui $n$ algarismos.

💡 Dica — clique para visualizar

Observe que um número formado por $k$ algarismos iguais a $1$ pode ser escrito como:

$$\underbrace{11\ldots11}_{k\text{ algarismos}} = \frac{10^k-1}{9}.$$

Depois de substituir cada termo dessa forma, procure identificar uma progressão geométrica.

Ideia principal

Queremos calcular:

$$S=1+11+111+\cdots+\underbrace{111\ldots111}_{n\text{ algarismos}}.$$

A ideia é transformar cada número formado apenas por algarismos $1$ em uma expressão envolvendo uma potência de $10$.

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Passo 1 — Representando os termos

Observe o padrão:

$$1=\frac{10-1}{9},$$$$11=\frac{10^2-1}{9},$$$$111=\frac{10^3-1}{9}.$$

De maneira geral:

$$\boxed{ \underbrace{111\ldots111}_{k\text{ algarismos}} = \frac{10^k-1}{9} }.$$

Como o último termo possui $n$ algarismos, temos:

$$S= \frac{10^1-1}{9} + \frac{10^2-1}{9} + \cdots + \frac{10^n-1}{9}.$$

---

Passo 2 — Colocando $\frac19$ em evidência

Temos:

$$S= \frac19 \left[ (10-1)+(10^2-1)+\cdots+(10^n-1) \right].$$

Existem $n$ parcelas contendo $-1$. Portanto:

$$S= \frac19 \left[ 10+10^2+\cdots+10^n-n \right].$$

Assim:

$$\boxed{ S= \frac19 \left[ 10+10^2+\cdots+10^n-n \right] }.$$

---

Passo 3 — Calculando a progressão geométrica

A soma

$$10+10^2+\cdots+10^n$$

é uma progressão geométrica com:

$$a_1=10 \qquad\text{e}\qquad q=10.$$

A soma dos $n$ termos é:

$$10+10^2+\cdots+10^n = \frac{10(10^n-1)}{10-1}.$$

Logo:

$$\boxed{ 10+10^2+\cdots+10^n = \frac{10(10^n-1)}9 }.$$

---

Passo 4 — Substituindo na expressão de $S$

Voltando a:

$$S= \frac19 \left[ 10+10^2+\cdots+10^n-n \right],$$

substituímos a soma da P.G.:

$$S= \frac19 \left[ \frac{10(10^n-1)}9-n \right].$$

Colocando tudo sobre o mesmo denominador:

$$S= \frac19 \left[ \frac{10(10^n-1)-9n}{9} \right].$$

Portanto:

$$S= \frac{10(10^n-1)-9n}{81}.$$

Desenvolvendo:

$$S= \frac{10^{n+1}-10-9n}{81}.$$

Assim, obtemos:

$$\boxed{ S=\frac{10^{n+1}-10-9n}{81} }.$$

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Resultado

A soma dos números

$$1+11+111+\cdots+111\ldots111$$

quando o último termo possui $n$ algarismos é:

$$\boxed{ S=\frac{10^{n+1}-9n-10}{81} }.$$

🧩 Exercício 10 (FGV-2004)Fácil

Seja a sequência

$$(a_1,a_2,a_3,\ldots,a_n,\ldots)$$

tal que

$$a_n=\log 10^{n-1},$$

em que $n\in\mathbb{N}^*$.

O valor de

$$\sum_{n=1}^{100}a_n$$

é:

💡 Dica — clique para visualizar

Use a propriedade:

$$\log 10^k=k.$$

Primeiro determine uma expressão simples para $a_n$ e, depois, calcule a soma dos $100$ primeiros termos.

Passo 1 — Determinando o termo geral

Temos:

$$a_n=\log 10^{n-1}.$$

Como o logaritmo é na base $10$, pela definição:

$$\log 10^k=k.$$

Portanto:

$$\boxed{a_n=n-1}.$$

Assim, a sequência começa por:

$$a_1=0,\quad a_2=1,\quad a_3=2,\quad a_4=3,\ldots$$

Ou seja:

$$0,1,2,3,\ldots,99.$$

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Passo 2 — Calculando a soma

Queremos:

$$\sum_{n=1}^{100}a_n.$$

Como $a_n=n-1$:

$$\sum_{n=1}^{100}a_n = \sum_{n=1}^{100}(n-1).$$

Fazendo a mudança de índice, isso corresponde à soma:

$$0+1+2+\cdots+99.$$

O zero não altera a soma, então:

$$S=1+2+3+\cdots+99.$$

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Passo 3 — Soma de uma P.A.

Os números

$$1,2,3,\ldots,99$$

formam uma P.A. com:

$$a_1=1, \qquad a_{99}=99, \qquad n=99.$$

A soma dos termos de uma P.A. é:

$$S=\frac{n(a_1+a_n)}{2}.$$

Logo:

$$S=\frac{99(1+99)}{2}.$$

Então:

$$S=\frac{99\cdot100}{2}.$$

Portanto:

$$S=99\cdot50.$$

Assim:

$$\boxed{S=4950}.$$

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Resultado

A alternativa correta é:

$$\boxed{\text{a) }4\,950}$$

🧩 Exercício 11 (ITA-2005)Difícil

Seja $a_1,a_2,\ldots$ uma progressão aritmética infinita tal que

$$\sum_{k=1}^{n}a_{3k} = n\sqrt{2}+\pi n^2, \qquad n\in\mathbb{N}^*.$$

Determine o primeiro termo e a razão da progressão.

💡 Dica — clique para visualizar

Observe que

$$a_3,\quad a_6,\quad a_9,\quad\ldots$$

também formam uma P.A.

Use a informação dada para comparar a soma dos primeiros $n$ termos dessa nova P.A. com a fórmula da soma de uma P.A.

Ideia principal

A sequência original é uma P.A.:

$$a_1,a_2,a_3,\ldots$$

com primeiro termo $a_1$ e razão $r$.

A soma fornecida envolve apenas os termos de índices múltiplos de $3$:

$$a_3+a_6+a_9+\cdots+a_{3n}.$$

Esses termos também formam uma progressão aritmética. Vamos utilizar essa informação para descobrir $a_1$ e $r$.

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Passo 1 — Escrevendo os termos $a_{3k}$

Como a sequência é uma P.A., seu termo geral é:

$$a_n=a_1+(n-1)r.$$

Portanto:

$$a_{3k}=a_1+(3k-1)r.$$

Podemos escrever:

$$a_{3k} = a_1+2r+(k-1)3r.$$

Assim, a sequência

$$a_3,a_6,a_9,\ldots$$

é uma P.A. cujo primeiro termo é:

$$\boxed{a_3=a_1+2r}$$

e cuja razão é:

$$\boxed{3r}.$$

---

Passo 2 — Usando a fórmula da soma da P.A.

A soma dos primeiros $n$ termos dessa nova P.A. é:

$$\sum_{k=1}^{n}a_{3k} = \frac{n}{2} \left[ 2a_3+(n-1)3r \right].$$

Como:

$$a_3=a_1+2r,$$

temos:

$$\sum_{k=1}^{n}a_{3k} = \frac{n}{2} \left[ 2(a_1+2r)+3r(n-1) \right].$$

Desenvolvendo:

$$\sum_{k=1}^{n}a_{3k} = \frac{n}{2} \left[ 2a_1+4r+3rn-3r \right].$$

Logo:

$$\sum_{k=1}^{n}a_{3k} = \frac{n}{2} \left[ 2a_1+r+3rn \right].$$

Portanto:

$$\boxed{ \sum_{k=1}^{n}a_{3k} = \frac{2a_1+r}{2}n+\frac{3r}{2}n^2 }.$$

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Passo 3 — Comparando com a expressão fornecida

O problema informa que:

$$\sum_{k=1}^{n}a_{3k} = n\sqrt2+\pi n^2.$$

Já encontramos:

$$\sum_{k=1}^{n}a_{3k} = \frac{2a_1+r}{2}n+\frac{3r}{2}n^2.$$

Como essas expressões são iguais para todo $n\in\mathbb N^*$, devemos comparar os coeficientes de $n$ e $n^2$.

Para $n^2$:

$$\frac{3r}{2}=\pi.$$

Logo:

$$\boxed{r=\frac{2\pi}{3}}.$$

Para $n$:

$$\frac{2a_1+r}{2}=\sqrt2.$$

Multiplicando por $2$:

$$2a_1+r=2\sqrt2.$$

Substituindo $r=\frac{2\pi}{3}$:

$$2a_1+\frac{2\pi}{3}=2\sqrt2.$$

Dividindo por $2$:

$$a_1+\frac{\pi}{3}=\sqrt2.$$

Portanto:

$$\boxed{a_1=\sqrt2-\frac{\pi}{3}}.$$

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Resultado

O primeiro termo da progressão é:

$$\boxed{a_1=\sqrt2-\frac{\pi}{3}}$$

e sua razão é:

$$\boxed{r=\frac{2\pi}{3}}.$$

🧩 Exercício 12 (UFC-1996)Médio

Considere a sequência $(a_n)$, na qual o produto

$$a_1\cdot a_2\cdot\ldots\cdot a_n=2^n\cdot n!.$$

Determine a soma

$$a_1+a_2+\cdots+a_8.$$

💡 Dica — clique para visualizar

Observe que podemos escrever a relação para $n$ e para $n-1$.

Dividindo uma pela outra, será possível encontrar diretamente uma expressão para $a_n$.

Lembre-se de que:

$$n!=n(n-1)!.$$

Ideia principal

O problema não fornece diretamente o termo geral $a_n$. Ele fornece o produto dos primeiros $n$ termos:

$$a_1a_2\cdots a_n=2^n n!.$$

Para descobrir cada termo da sequência, vamos comparar essa expressão com o produto dos primeiros $n-1$ termos.

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Passo 1 — Escrevendo a relação para $n$

Temos:

$$a_1a_2\cdots a_{n-1}a_n=2^n n!.$$

Agora escrevemos a relação para $n-1$:

$$a_1a_2\cdots a_{n-1} = 2^{n-1}(n-1)!.$$

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Passo 2 — Dividindo as duas relações

Dividindo a primeira igualdade pela segunda:

$$\frac{a_1a_2\cdots a_{n-1}a_n} {a_1a_2\cdots a_{n-1}} = \frac{2^n n!} {2^{n-1}(n-1)!}.$$

No lado esquerdo, todos os termos se cancelam, restando:

$$a_n.$$

No lado direito:

$$a_n = 2\cdot\frac{n!}{(n-1)!}.$$

Como

$$n!=n(n-1)!,$$

temos:

$$a_n=2n.$$

Portanto:

$$\boxed{a_n=2n}.$$

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Passo 3 — Encontrando os primeiros termos

Substituindo $n=1,2,\ldots,8$:

$$a_1=2,$$$$a_2=4,$$$$a_3=6,$$$$a_4=8,$$$$a_5=10,$$$$a_6=12,$$$$a_7=14,$$$$a_8=16.$$

Assim, precisamos calcular:

$$a_1+a_2+\cdots+a_8 = 2+4+6+8+10+12+14+16.$$

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Passo 4 — Calculando a soma

Colocando $2$ em evidência:

$$S=2(1+2+3+4+5+6+7+8).$$

A soma dos oito primeiros números naturais é:

$$1+2+\cdots+8 = \frac{8\cdot9}{2}.$$

Logo:

$$S = 2\cdot\frac{8\cdot9}{2}.$$

Portanto:

$$\boxed{S=72}.$$

🧩 Exercício 13 (Mack-1996)Médio

Num paralelepípedo retângulo, a soma das medidas de todas as arestas é $52$ e a diagonal mede $\sqrt{91}$. Se as medidas das arestas estão em progressão geométrica, então o seu volume é:

💡 Dica — clique para visualizar

Considere as três arestas do paralelepípedo como três termos de uma P.G.:

$$a,\quad aq,\quad aq^2.$$

Use o fato de que um paralelepípedo retângulo possui quatro arestas de cada medida e utilize a relação da diagonal espacial:

$$d^2=a^2+b^2+c^2.$$

Ideia principal

Sejam as medidas das três arestas do paralelepípedo:

$$a,\quad aq,\quad aq^2.$$

Como cada medida aparece em quatro arestas, a soma de todas as arestas é:

$$4(a+aq+aq^2)=52.$$

Além disso, a diagonal espacial satisfaz:

$$d^2=a^2+(aq)^2+(aq^2)^2.$$

Como a diagonal é $\sqrt{91}$, teremos:

$$a^2+a^2q^2+a^2q^4=91.$$

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Passo 1 — Utilizando a soma das arestas

Temos:

$$4(a+aq+aq^2)=52.$$

Dividindo por $4$:

$$a+aq+aq^2=13.$$

Colocando $a$ em evidência:

$$\boxed{a(1+q+q^2)=13}.$$

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Passo 2 — Utilizando a diagonal

A diagonal mede:

$$d=\sqrt{91}.$$

Pelo teorema de Pitágoras no espaço:

$$d^2=a^2+b^2+c^2.$$

Como as arestas são $a$, $aq$ e $aq^2$:

$$91=a^2+a^2q^2+a^2q^4.$$

Portanto:

$$\boxed{a^2(1+q^2+q^4)=91}.$$

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Passo 3 — Procurando uma relação entre as duas equações

Temos:

$$a(1+q+q^2)=13$$

e

$$a^2(1+q^2+q^4)=91.$$

Elevando a primeira equação ao quadrado:

$$a^2(1+q+q^2)^2=169.$$

Dividindo a segunda equação pela primeira elevada ao quadrado:

$$\frac{1+q^2+q^4}{(1+q+q^2)^2} = \frac{91}{169}.$$

Essa equação pode ser simplificada usando:

$$(1+q+q^2)^2 = 1+2q+3q^2+2q^3+q^4.$$

Assim:

$$169(1+q^2+q^4) = 91(1+2q+3q^2+2q^3+q^4).$$

Desenvolvendo:

$$169+169q^2+169q^4 = 91+182q+273q^2+182q^3+91q^4.$$

Reorganizando:

$$78q^4-182q^3-104q^2-182q+78=0.$$

Dividindo por $2$:

$$39q^4-91q^3-52q^2-91q+39=0.$$

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Passo 4 — Explorando a simetria

Observe que o polinômio é simétrico. Podemos dividir por $q^2$, com $q\neq0$:

$$39\left(q^2+\frac1{q^2}\right) -91\left(q+\frac1q\right) -52=0.$$

Fazendo:

$$t=q+\frac1q,$$

temos:

$$q^2+\frac1{q^2}=t^2-2.$$

Substituindo:

$$39(t^2-2)-91t-52=0.$$

Logo:

$$39t^2-91t-130=0.$$

Fatorando:

$$(3t-10)(13t+13)=0.$$

Portanto:

$$t=\frac{10}{3} \qquad\text{ou}\qquad t=-1.$$

Como $q$ é real e as medidas das arestas são positivas, temos $q>0$, portanto:

$$q+\frac1q\geq2.$$

Assim, descartamos $t=-1$ e ficamos com:

$$q+\frac1q=\frac{10}{3}.$$

Multiplicando por $3q$:

$$3q^2-10q+3=0.$$

Fatorando:

$$(3q-1)(q-3)=0.$$

Logo:

$$q=3 \qquad\text{ou}\qquad q=\frac13.$$

As duas possibilidades apenas invertem a ordem das três arestas.

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Passo 5 — Determinando as arestas

Tomando:

$$q=3,$$

temos:

$$a+3a+9a=13.$$

Logo:

$$13a=13,$$

e portanto:

$$a=1.$$

As três arestas são:

$$\boxed{1,\quad3,\quad9}.$$

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Passo 6 — Calculando o volume

O volume de um paralelepípedo retângulo é:

$$V=abc.$$

Assim:

$$V=1\cdot3\cdot9.$$

Portanto:

$$\boxed{V=27}.$$

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Resultado

A alternativa correta é:

$$\boxed{\text{e) }27}.$$