Produtos Notáveis e Fatoração

🧩 Exercício 1 Fácil

Calcule o valor de:

$$\sqrt{224 \times 225 \times 226 \times 227 + 1}$$

Ideia principal

Quando aparecem números consecutivos, podemos substituir por uma variável para simplificar.

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Passo 1 — Substituição

$$x = 224$$$$\sqrt{224 \cdot 225 \cdot 226 \cdot 227 + 1} = \sqrt{x(x+1)(x+2)(x+3) + 1}$$

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Passo 2 — Agrupamento inteligente

$$\begin{aligned} x(x+1)(x+2)(x+3) &= (x(x+3))((x+1)(x+2)) \\ &= (x^2 + 3x)(x^2 + 3x + 2) \end{aligned}$$

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Passo 3 — Substituição auxiliar

Definimos:

$$y = x^2 + 3x$$

Então:

$$\begin{aligned} y(y+2) &= (y+1)^2 - 1 \end{aligned}$$

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Passo 4 — Simplificação

$$\begin{aligned} \sqrt{x(x+1)(x+2)(x+3) + 1} &= \sqrt{(y+1)^2 - 1 + 1} \\ &= \sqrt{(y+1)^2} \\ &= y + 1 \end{aligned}$$

Voltando:

$$= x^2 + 3x + 1$$

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Passo 5 — Substituição final

$$\begin{aligned} x^2 + 3x + 1 &= 224^2 + 3(224) + 1 \\ &= 50176 + 672 + 1 \\ &= 50849 \end{aligned}$$

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Resultado

$$\boxed{50849}$$

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Insight

Esse tipo de questão usa a identidade:

$$a(a+1)(a+2)(a+3) + 1 = (a^2 + 3a + 1)^2$$

🧩 Exercício 2 Fácil

Quais são as soluções inteiras positivas da equação:

$$mn + 2m + 3n = 29$$

Ideia principal

Vamos transformar a expressão em um produto fatorável.

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Passo 1 — Completar fatoração

Somamos 6 em ambos os lados:

$$\begin{aligned} mn + 2m + 3n + 6 &= 29 + 6 \\ (m+3)(n+2) &= 35 \end{aligned}$$

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Passo 2 — Fatoração do número

$$35 = 1 \cdot 35 = 5 \cdot 7$$

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Passo 3 — Análise das soluções

Como:

• (m+3 > 3)
• (n+2 > 2)

Testamos:

Caso 1

$$m+3 = 5 \Rightarrow m = 2$$$$n+2 = 7 \Rightarrow n = 5$$

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Caso 2

$$m+3 = 7 \Rightarrow m = 4$$$$n+2 = 5 \Rightarrow n = 3$$

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Resultado

$$\boxed{(m,n) = (2,5) \text{ e } (4,3)}$$

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Insight

Essa técnica é chamada de:

completar para fatorar

Muito usada em:

• olimpíadas
• ITA/IME
• problemas de teoria dos números

🧩 Exercício 3 Fácil

Fatore a expressão:

$$E = (a^2 + 3a + 3)(a^2 + 3a + 5) - 15$$

Ideia principal

Observe que a expressão possui um termo que se repete:

$$a^2 + 3a$$

Vamos fazer uma substituição para simplificar.

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Passo 1 — Substituição

Defina:

$$x = a^2 + 3a$$

Então:

$$E = (x + 3)(x + 5) - 15$$

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Passo 2 — Expansão

$$\begin{aligned} (x + 3)(x + 5) &= x^2 + 8x + 15 \end{aligned}$$

Substituindo:

$$E = x^2 + 8x + 15 - 15$$$$E = x^2 + 8x$$

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Passo 3 — Fatoração

Colocando (x) em evidência:

$$E = x(x + 8)$$

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Passo 4 — Retornando à variável original

$$E = (a^2 + 3a)(a^2 + 3a + 8)$$

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Resultado

$$\boxed{E = (a^2 + 3a)(a^2 + 3a + 8)}$$

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Insight

Sempre que houver expressões repetidas, vale a pena fazer uma substituição:

$$x = a^2 + 3a$$

Isso transforma a expressão em algo muito mais simples de fatorar.

🧩 Exercício 4 Médio

Resolva o sistema:

$$\begin{cases} x^2 + 2x = y - \frac{1}{4} \\ y^2 + 2y = z - \frac{1}{4} \\ z^2 + 2z = x - \frac{1}{4} \end{cases}$$

Ideia principal

Somar todas as equações e transformar os termos em quadrados perfeitos.

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Passo 1 — Somando as equações

$$\begin{aligned} (x^2 + 2x) + (y^2 + 2y) + (z^2 + 2z) &= (y - \tfrac{1}{4}) + (z - \tfrac{1}{4}) + (x - \tfrac{1}{4}) \end{aligned}$$

Simplificando:

$$x^2 + y^2 + z^2 + 2(x+y+z) = x + y + z - \tfrac{3}{4}$$

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Passo 2 — Reorganizando

$$x^2 + y^2 + z^2 + (x+y+z) + \tfrac{3}{4} = 0$$

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Passo 3 — Completando quadrados

Usamos a identidade:

$$x^2 + x + \tfrac{1}{4} = \left(x + \tfrac{1}{2}\right)^2$$

Aplicando para cada variável:

$$\begin{aligned} &\left(x + \tfrac{1}{2}\right)^2 + \left(y + \tfrac{1}{2}\right)^2 + \left(z + \tfrac{1}{2}\right)^2 = 0 \end{aligned}$$

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Passo 4 — Conclusão

A soma de quadrados só é zero quando cada termo é zero:

$$x + \tfrac{1}{2} = 0,\quad y + \tfrac{1}{2} = 0,\quad z + \tfrac{1}{2} = 0$$

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Resultado

$$\boxed{x = y = z = -\tfrac{1}{2}}$$

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Insight

Transformar expressões em quadrados perfeitos é uma técnica poderosa.

Aqui usamos:

$$x^2 + 2x \;\Rightarrow\; \left(x + \tfrac{1}{2}\right)^2 - \tfrac{1}{4}$$

Essa abordagem aparece muito em:

• olimpíadas
• problemas simétricos
• equações cíclicas

🧩 Exercício 5 Difícil

Resolva o sistema:

$$\frac{3xy}{x+y} = 2,\quad \frac{4yz}{y+z} = 3,\quad \frac{5zx}{z+x} = 6$$

Ideia principal

Transformar as equações usando a identidade:

$$\frac{xy}{x+y} = \frac{1}{\frac{1}{x} + \frac{1}{y}}$$

Isso permite trabalhar com variáveis inversas.

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Passo 1 — Reescrevendo as equações

Dividindo cada equação:

$$\frac{xy}{x+y} = \frac{2}{3},\quad \frac{yz}{y+z} = \frac{3}{4},\quad \frac{zx}{z+x} = \frac{6}{5}$$

Usando a identidade:

$$\frac{1}{\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} = \frac{2}{3}$$

Invertendo:

$$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{3}{2}$$

Analogamente:

$$\frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{4}{3}$$$$\frac{1}{z} + \frac{1}{x} = \frac{5}{6}$$

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Passo 2 — Substituição

Defina:

$$a = \frac{1}{x}, \quad b = \frac{1}{y}, \quad c = \frac{1}{z}$$

Então:

$$\begin{cases} a + b = \frac{3}{2} \\ b + c = \frac{4}{3} \\ c + a = \frac{5}{6} \end{cases}$$

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Passo 3 — Resolvendo o sistema

Somando as três equações:

$$2(a+b+c) = \frac{3}{2} + \frac{4}{3} + \frac{5}{6}$$

Colocando no mesmo denominador:

$$= \frac{9 + 8 + 5}{6} = \frac{22}{6} = \frac{11}{3}$$

Logo:

$$a + b + c = \frac{11}{6}$$

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Agora:

$$a = (a+b+c) - (b+c) = \frac{11}{6} - \frac{4}{3} = \frac{11}{6} - \frac{8}{6} = \frac{1}{2}$$$$b = \frac{11}{6} - \frac{5}{6} = 1$$$$c = \frac{11}{6} - \frac{3}{2} = \frac{11}{6} - \frac{9}{6} = \frac{1}{3}$$

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Passo 4 — Voltando às variáveis

$$x = \frac{1}{a} = 2,\quad y = \frac{1}{b} = 1,\quad z = \frac{1}{c} = 3$$

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Resultado

$$\boxed{x = 2,\quad y = 1,\quad z = 3}$$

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Insight

Problemas do tipo:

$$\frac{xy}{x+y}$$

geralmente indicam o uso da substituição:

$$a = \frac{1}{x}$$

Essa técnica aparece muito em:

• sistemas simétricos
• olimpíadas
• problemas de frações algébricas

🧩 Exercício 6 Difícil

Para quais valores de $n$ a expressão

$$n^4 + 4^n$$

é um número primo? Justifique.

💡 Dica — clique para visualizar

Use Sophie Germain

Ideia principal

Analisar separadamente os casos:

• valores pequenos
• $n \geq 2$, distinguindo a paridade

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Passo 1 — Testando valores iniciais

Caso $n = 0$

$$0^4 + 4^0 = 0 + 1 = 1 \quad \text{(não é primo)}$$

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Caso $n = 1$

$$1^4 + 4^1 = 1 + 4 = 5 \quad \text{(primo)}$$

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Passo 2 — Caso $n \geq 2$

Vamos analisar separando em dois casos.

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Caso 1: $n$ par

Se $n = 2k$, então:

$$n^4 = (2k)^4 = 16k^4$$

e

$$4^n = 4^{2k} = (2^2)^{2k} = 2^{4k}$$

Ambos os termos são múltiplos de 16, então:

$$n^4 + 4^n \equiv 0 \pmod{16}$$

Logo, para $n \geq 2$ par:

• o número é par
• é maior que 2

$$\Rightarrow \text{não é primo}$$

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Caso 2: $n$ ímpar $n > 1$

Para $n$ ímpar, escrevemos:

$$n = 2k + 1$$

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Ideia principal

Utilizar a Identidade de Sophie Germain, já demonstrada na teoria:

$$a^4 + 4b^4 = (a^2 + 2b^2 + 2ab)(a^2 + 2b^2 - 2ab)$$

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Reescrevendo a expressão

Observe que:

$$4^n = 4 \cdot 4^{n-1}$$

Como $n$ é ímpar, $n-1$ é par:

$$4^{n-1} = (2^{\frac{n-1}{2}})^4$$

Assim:

$$n^4 + 4^n = n^4 + 4 \cdot \left(2^{\frac{n-1}{2}}\right)^4$$

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Aplicando a identidade

Tomando:

$$a = n \quad \text{e} \quad b = 2^{\frac{n-1}{2}}$$

temos:

$$n^4 + 4^n = (n^2 + 2b^2 + 2nb)(n^2 + 2b^2 - 2nb)$$

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Substituindo (b)

Como:

$$b^2 = 2^{n-1}$$

obtemos:

$$\begin{aligned} n^4 + 4^n = &\left(n^2 + 2 \cdot 2^{n-1} + 2n \cdot 2^{\frac{n-1}{2}}\right)\left(n^2 + 2 \cdot 2^{n-1} - 2n \cdot 2^{\frac{n-1}{2}}\right) \end{aligned}$$

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Análise dos fatores

Para $n > 1$:

• o primeiro fator é maior que 1
• o segundo fator também é maior que 1 (para $n \geq 3$)

Logo:

$$n^4 + 4^n$$

é produto de dois números maiores que 1.

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Conclusão

Para $n$ ímpar e $n > 1$, a expressão é composta.

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Insight

A identidade de Sophie Germain é extremamente útil para fatorar expressões do tipo:

$$a^4 + 4b^4$$

Muito comum em problemas de:

• olimpíadas
• teoria dos números
• fatorações avançadas

🧩 Exercício 7 Fácil

Fatore $𝑎^4+4$

💡 Dica — clique para visualizar

Use Sophie Germain

Ideia principal

Utilizar a Identidade de Sophie Germain, já demonstrada na teoria:

$$a^4 + 4b^4 = (a^2 + 2b^2 + 2ab)(a^2 + 2b^2 - 2ab)$$

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Aplicando a identidade

Tomando:

$$a = n \quad \text{e} \quad b = 1$$

Temos:

$$\boxed{a^4 + 4b^4 = (n^2 + 2 + 2n)(n^2 + 2b - 2n)}$$

🧩 Exercício 8 (OBM)Fácil

Qual é o valor da expressão:

$$20112011^2 + 20112003^2 - 16 \cdot 20112007 ?$$

Ideia principal

Os números são simétricos em torno de:

$$x = 20112007$$

Observe:

$$20112011 = x + 4$$$$20112003 = x - 4$$

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Substituindo

$$(x+4)^2 + (x-4)^2 - 16x$$

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Expandindo

$$\begin{aligned} (x+4)^2 &= x^2 + 8x + 16 \\ (x-4)^2 &= x^2 - 8x + 16 \end{aligned}$$

Somando:

$$2x^2 + 32$$

Agora:

$$2x^2 + 32 - 16x$$

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Rearranjando

$$2x^2 - 16x + 32$$

Colocando 2 em evidência:

$$2(x^2 - 8x + 16)$$

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Fatorando

$$2(x-4)^2$$

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Resultado

$$2 \cdot 20112003^2$$

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Alternativa correta

b) 2 · 20112003²

🧩 Exercício 9 Fácil

Sabendo que $x + y + z = 0$, com $x, y, z \neq 0$, calcule o valor de:

$$\frac{x^2}{(y+z)^2} + \frac{y^2}{(z+x)^2} + \frac{z^2}{(x+y)^2}$$

Ideia principal

Usar a condição:

$$x + y + z = 0$$

para reescrever os denominadores.

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Passo 1 — Substituição

Da equação:

$$x + y + z = 0$$

temos:

$$y + z = -x,\quad z + x = -y,\quad x + y = -z$$

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Passo 2 — Substituindo na expressão

$$\begin{aligned} \frac{x^2}{(y+z)^2} &= \frac{x^2}{(-x)^2} = 1 \\ \frac{y^2}{(z+x)^2} &= \frac{y^2}{(-y)^2} = 1 \\ \frac{z^2}{(x+y)^2} &= \frac{z^2}{(-z)^2} = 1 \end{aligned}$$

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Passo 3 — Soma

$$1 + 1 + 1 = 3$$

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Resultado

$$\boxed{3}$$

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Insight

Quando aparece:

$$x + y + z = 0$$

sempre tente substituir:

$\quad y+z = -x$

$\quad z+x = -y$

$\quad x+y = -z$

🧩 Exercício 10 Médio

Calcule:

$$\sqrt{100 \cdot 102 \cdot 104 \cdot 106 + 16}$$

Ideia principal

Transformar os números para usar a identidade:

$$x(x+1)(x+2)(x+3) + 1 = (x^2 + 3x + 1)^2$$

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Passo 1 — Colocando em evidência

Observe:

$$100 \cdot 102 \cdot 104 \cdot 106 = 2^4 \cdot (50 \cdot 51 \cdot 52 \cdot 53)$$

Logo:

$$\sqrt{100 \cdot 102 \cdot 104 \cdot 106 + 16} = \sqrt{16(50 \cdot 51 \cdot 52 \cdot 53 + 1)}$$

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Passo 2 — Aplicando a identidade

$$50 \cdot 51 \cdot 52 \cdot 53 + 1 = (50^2 + 3 \cdot 50 + 1)^2$$

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Passo 3 — Substituindo

$$\sqrt{16(50^2 + 3 \cdot 50 + 1)^2}$$

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Passo 4 — Raiz

$$= 4(50^2 + 3 \cdot 50 + 1)$$

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Passo 5 — Calculando

$$50^2 + 150 + 1 = 2500 + 150 + 1 = 2651$$$$4 \cdot 2651 = 10604$$

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Resultado

$$\boxed{10604}$$

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Insight

Esse tipo de expressão quase sempre esconde a identidade:

$$x(x+1)(x+2)(x+3) + 1$$

reconhecer isso resolve a questão em segundos.