Equações do 2ª Grau

🧩 Exercício 1 (OCM)Médio

(OCM) As raízes da equação do segundo grau

$$ax^2 + bx + c = 0$$

são $R$ e $S$. Determine a equação do segundo grau cujas raízes são:

$$aR + b \quad \text{e} \quad aS + b$$

🔎 Ideia principal

Usar as relações de soma e produto das raízes.

Sabemos que:

$$R + S = -\frac{b}{a} \quad \text{e} \quad RS = \frac{c}{a}$$

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✏️ Passo 1 — Soma das novas raízes

As novas raízes são:

$$\alpha = aR + b \quad \text{e} \quad \beta = aS + b$$

Somando:

$$\alpha + \beta = a(R + S) + 2b$$

Substituindo:

$$\alpha + \beta = a\left(-\frac{b}{a}\right) + 2b = -b + 2b = b$$

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✏️ Passo 2 — Produto das novas raízes

$$\alpha \cdot \beta = (aR + b)(aS + b)$$

Expandindo:

$$= a^2 RS + ab(R+S) + b^2$$

Substituindo:

$$= a^2 \cdot \frac{c}{a} + ab\left(-\frac{b}{a}\right) + b^2$$$$= ac - b^2 + b^2 = ac$$

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✏️ Passo 3 — Montando a nova equação

Sabemos que uma equação com raízes $\alpha$ e $\beta$ é:

$$x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta = 0$$

Substituindo:

$$x^2 - bx + ac = 0$$

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🎯 Resultado

$$\boxed{x^2 - bx + ac = 0}$$

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💡 Insight

Esse tipo de problema mostra que:

👉 transformar raízes → transforma coeficientes

👉 usar soma e produto é MUITO mais eficiente que Bhaskara

👉 padrão clássico de olimpíada

🧩 Exercício 2 (OCM)Difícil

(OCM) Se

$$x^2 + x + 1 = 0$$

calcule o valor de:

$$(x + \tfrac{1}{x})^2 + (x^2 + \tfrac{1}{x^2})^2 + \cdots + (x^{27} + \tfrac{1}{x^{27}})^2$$

🔎 Ideia principal

A equação:

$$x^2 + x + 1 = 0$$

implica que:

$$x^3 = 1 \quad \text{e} \quad x \neq 1$$

Ou seja, $x$ é uma raiz cúbica da unidade.

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✏️ Passo 1 — Propriedade importante

Como $x^3 = 1$, temos:

$$x^{-1} = x^2$$

Logo:

$$x^k + \frac{1}{x^k} = x^k + x^{2k}$$

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✏️ Passo 2 — Análise dos casos

Como as potências de $x$ são periódicas de período 3:

🔹 Caso 1: $k \equiv 0 \pmod{3}$

$$x^k = 1 \Rightarrow x^k + \frac{1}{x^k} = 2$$$$(2)^2 = 4$$

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🔹 Caso 2: $k \equiv 1 \pmod{3}$

$$x + x^2 = -1$$$$(-1)^2 = 1$$

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🔹 Caso 3: $k \equiv 2 \pmod{3}$

$$x^2 + x = -1$$$$(-1)^2 = 1$$

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✏️ Passo 3 — Contagem

De 1 até 27:

• múltiplos de 3: (9) termos
• demais: (18) termos

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✏️ Passo 4 — Soma

$$9 \cdot 4 + 18 \cdot 1 = 36 + 18 = 54$$

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🎯 Resultado

$$\boxed{54}$$

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💡 Insight

Sempre que aparecer:

$$x^2 + x + 1 = 0$$

lembre:

👉 $x^3 = 1$ 👉 comportamento periódico
👉 problema vira contagem

🧩 Exercício 3 Médio

As raízes de

$$x^2 - 4x + 3 = 0$$

são $R$ e $S$. Determine a equação cujas raízes são:

$$\frac{1}{R} \quad \text{e} \quad \frac{1}{S}$$

🔎 Ideia

Inverso das raízes.

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$$R+S = 4,\quad RS = 3$$

Nova soma:

$$\frac{1}{R} + \frac{1}{S} = \frac{R+S}{RS} = \frac{4}{3}$$

Novo produto:

$$\frac{1}{RS} = \frac{1}{3}$$

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🎯 Equação

$$x^2 - \frac{4}{3}x + \frac{1}{3} = 0$$

Multiplicando por 3:

$$\boxed{3x^2 - 4x + 1 = 0}$$

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🧩 Exercício 4 Difícil

As raízes de

$$ax^2 + bx + c = 0$$

são $R$ e $S$. Determine a equação cujas raízes são:

$$aR + b \quad \text{e} \quad aS + b$$

$$R+S = -\frac{b}{a},\quad RS = \frac{c}{a}$$

Nova soma:

$$a(R+S) + 2b = -b + 2b = b$$

Novo produto:

$$(aR+b)(aS+b) = a^2RS + ab(R+S) + b^2$$$$= ac - b^2 + b^2 = ac$$

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🎯 Equação

$$\boxed{x^2 - bx + ac = 0}$$

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🧩 Exercício 5 Difícil

As raízes de

$$x^2 - 7x + 10 = 0$$

são $R$ e $S$. Determine a equação cujas raízes são:

$$R^2 \quad \text{e} \quad S^2$$

🔎 Ideia

Usar:

$$R^2 + S^2 = (R+S)^2 - 2RS$$

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$$R+S = 7,\quad RS = 10$$

Nova soma:

$$R^2 + S^2 = 49 - 20 = 29$$

Novo produto:

$$R^2S^2 = (RS)^2 = 100$$

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🎯 Equação

$$x^2 - 29x + 100 = 0$$