Somatórios

🧩 Exercício 1 Fácil

Calcule a soma

$$1+2+3+\cdots+n.$$

Ideia principal

Escrevemos a soma em duas ordens diferentes e somamos termo a termo.

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Passo 1 — Definindo a soma

Chamemos a soma de

$$S_n=1+2+3+\cdots+n.$$

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Passo 2 — Escrevendo ao contrário

Agora escrevemos a mesma soma em ordem inversa:

$$S_n=n+(n-1)+(n-2)+\cdots+1.$$

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Passo 3 — Somando as duas expressões

Somando membro a membro,

$$\begin{aligned} 2S_n &=(1+n)+(2+n-1)+(3+n-2)+\cdots+(n+1). \end{aligned}$$

Observe que todos os pares possuem o mesmo valor:

$$1+n=2+(n-1)=3+(n-2)=\cdots=n+1.$$

Cada parcela vale

$$n+1.$$

Como existem (n) parcelas,

$$2S_n=n(n+1).$$

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Passo 4 — Isolando $(S_n)$

Dividindo ambos os lados por (2),

$$S_n=\frac{n(n+1)}{2}.$$

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Resultado

$$\boxed{1+2+3+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}}$$

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Insight

Essa demonstração é atribuída ao matemático Carl Friedrich Gauss, que teria descoberto essa fórmula ainda quando criança ao perceber que os pares

$$1+n,\; 2+(n-1),\; 3+(n-2),\; \ldots$$

têm sempre a mesma soma.

🧩 Exercício 2 Média

Calcule o valor do somatório

$$1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2.$$

💡 Dica — clique para visualizar

Uma boa estratégia é relacionar o termo $k^2$ com a diferença entre dois cubos consecutivos.

Ideia principal

Queremos calcular

$$S_n=1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2.$$

A ideia é encontrar uma expressão que contenha $k^2$ e que, quando somada para vários valores de $k$, permita cancelar os termos.

Para isso, usamos:

$$k^3-(k-1)^3.$$

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Passo 1 — Desenvolvendo a diferença de cubos

Temos:

$$k^3-(k-1)^3.$$

Expandindo:

$$k^3-(k^3-3k^2+3k-1).$$

Logo:

$$k^3-(k-1)^3 = 3k^2-3k+1.$$

Isolando $k^2$:

$$3k^2 = k^3-(k-1)^3+3k-1.$$

Portanto:

$$\boxed{ k^2= \frac{k^3-(k-1)^3+3k-1}{3} }$$

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Passo 2 — Somando de $1$ até $n$

Somando a identidade para

$$k=1,2,3,\ldots,n,$$

temos:

$$3(1^2+2^2+\cdots+n^2) = \sum_{k=1}^{n} \left[ k^3-(k-1)^3+3k-1 \right].$$

Separando os termos:

$$3S_n = \sum_{k=1}^{n} \left[k^3-(k-1)^3\right] + 3\sum_{k=1}^{n}k - \sum_{k=1}^{n}1.$$

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Passo 3 — O cancelamento

Observe o primeiro somatório:

$$\begin{aligned} \sum_{k=1}^{n} \left[k^3-(k-1)^3\right] &= (1^3-0^3) +(2^3-1^3) +(3^3-2^3) +\cdots\\ &\quad +(n^3-(n-1)^3). \end{aligned}$$

Os termos intermediários se cancelam:

$$\boxed{ \sum_{k=1}^{n} \left[k^3-(k-1)^3\right] =n^3 }$$

Assim:

$$3S_n = n^3 + 3\sum_{k=1}^{n}k - n.$$

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Passo 4 — Utilizando o somatório dos inteiros

Sabemos que:

$$\sum_{k=1}^{n}k = \frac{n(n+1)}{2}.$$

Substituindo:

$$3S_n = n^3 + 3\frac{n(n+1)}{2} - n.$$

Colocando tudo sobre o mesmo denominador:

$$3S_n = \frac{2n^3+3n(n+1)-2n}{2}.$$

Como

$$3n(n+1)-2n = 3n^2+3n-2n = 3n^2+n,$$

temos:

$$3S_n = \frac{2n^3+3n^2+n}{2}.$$

Colocando $n$ em evidência:

$$3S_n = \frac{n(2n^2+3n+1)}{2}.$$

Fatorando:

$$2n^2+3n+1 = (2n+1)(n+1).$$

Portanto:

$$3S_n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{2}.$$

Finalmente, dividindo por $3$:

$$\boxed{ S_n= \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} }$$

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Resultado

Assim,

$$\boxed{ 1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} }$$

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Insight

A ideia mais importante desta questão é transformar um termo que queremos somar, $k^2$, em uma diferença de expressões consecutivas.

A identidade

$$k^3-(k-1)^3 = 3k^2-3k+1$$

é especialmente útil porque, ao somarmos para vários valores de $k$, ocorre um cancelamento em cadeia:

$$(1^3-0^3) +(2^3-1^3) +(3^3-2^3) +\cdots +(n^3-(n-1)^3).$$

Tudo desaparece, exceto:

$$n^3.$$

Essa técnica é chamada de soma telescópica e aparece em diversos problemas de Matemática.

Sacada: quando você encontrar uma soma envolvendo potências, procure uma identidade que transforme seus termos em diferenças consecutivas. O cancelamento pode reduzir drasticamente o problema.

🧩 Exercício 3 Média

Calcule o valor do somatório

$$1^3+2^3+3^3+\cdots+n^3.$$

💡 Dica — clique para visualizar

Tente comparar o somatório dos cubos com o quadrado do somatório dos números naturais:

$$\left(1+2+3+\cdots+n\right)^2.$$

Ideia principal

Queremos calcular

$$S_n=1^3+2^3+3^3+\cdots+n^3.$$

A grande sacada é perceber que esse resultado está relacionado com a diferença de quadrados:

$$k^3 = \left(\frac{k(k+1)}{2}\right)^2 - \left(\frac{(k-1)k}{2}\right)^2.$$

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Passo 1 — Vamos verificar

Considere:

$$\left(\frac{k(k+1)}{2}\right)^2 - \left(\frac{(k-1)k}{2}\right)^2.$$

Colocando o fator comum em evidência:

$$= \frac{k^2}{4} \left[ (k+1)^2-(k-1)^2 \right].$$

Usando a diferença de quadrados:

$$(k+1)^2-(k-1)^2 = [(k+1)-(k-1)][(k+1)+(k-1)].$$

Logo:

$$=2\cdot2k=4k.$$

Portanto:

$$\frac{k^2}{4}\cdot4k=k^3.$$

Assim, descobrimos:

$$\boxed{ k^3= \left(\frac{k(k+1)}{2}\right)^2 - \left(\frac{(k-1)k}{2}\right)^2 }$$

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Passo 2 — Somando os termos

Agora somamos para $k=1,2,\ldots,n$:

$$\begin{aligned} 1^3+2^3+\cdots+n^3 ={}& \left(\frac{1\cdot2}{2}\right)^2 -\left(\frac{0\cdot1}{2}\right)^2\\ &+ \left(\frac{2\cdot3}{2}\right)^2 -\left(\frac{1\cdot2}{2}\right)^2\\ &+ \left(\frac{3\cdot4}{2}\right)^2 -\left(\frac{2\cdot3}{2}\right)^2\\ &+\cdots\\ &+ \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2 -\left(\frac{(n-1)n}{2}\right)^2. \end{aligned}$$

Observe o cancelamento:

$$\left(\frac{1\cdot2}{2}\right)^2$$

cancela com o termo seguinte, depois:

$$\left(\frac{2\cdot3}{2}\right)^2$$

também cancela, e assim por diante.

Todos os termos intermediários desaparecem.

Resta apenas:

$$1^3+2^3+\cdots+n^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2.$$

Portanto:

$$\boxed{ 1^3+2^3+\cdots+n^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4} }$$

ou, de forma mais interessante:

$$\boxed{ 1^3+2^3+\cdots+n^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2 }$$

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Resultado

Como

$$1+2+\cdots+n = \frac{n(n+1)}{2},$$

podemos escrever a fórmula de maneira bastante elegante:

$$\boxed{ 1^3+2^3+\cdots+n^3 = (1+2+\cdots+n)^2 }$$

Consequentemente,

$$\boxed{ 1^3+2^3+\cdots+n^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4} }$$

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Insight

O resultado é particularmente interessante porque estabelece uma relação entre dois somatórios:

$$\boxed{ \sum_{k=1}^{n}k^3 = \left(\sum_{k=1}^{n}k\right)^2 }$$

Ou seja, a soma dos cubos dos primeiros $n$ números naturais é exatamente o quadrado da soma desses números.

Por exemplo, para $n=4$:

$$1^3+2^3+3^3+4^3 = 1+8+27+64 = 100.$$

Enquanto:

$$(1+2+3+4)^2 = 10^2 = 100.$$

A igualdade se confirma.

Sacada: quando um somatório envolve potências, procure relações entre somatórios de diferentes graus. Algumas fórmulas escondem estruturas muito mais simples do que parecem.

🧩 Exercício 4 Fácil

Calcule o valor do somatório

$$\frac{1}{1\cdot2} + \frac{1}{2\cdot3} + \frac{1}{3\cdot4} + \cdots + \frac{1}{n(n+1)}$$

💡 Dica — clique para visualizar

Tente decompor a fração

$$\frac{1}{k(k+1)}$$

como uma diferença de duas frações.

Ideia principal

O denominador possui dois fatores consecutivos:

$$k(k+1).$$

Podemos transformar cada termo em uma diferença:

$$\frac{1}{k(k+1)} = \frac1k-\frac1{k+1}.$$

Isso fará com que os termos intermediários se cancelem quando desenvolvermos o somatório.

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Passo 1 — Decompondo a fração

Observe que:

$$\frac1k-\frac1{k+1} = \frac{k+1-k}{k(k+1)}.$$

Portanto:

$$\boxed{ \frac{1}{k(k+1)} = \frac1k-\frac1{k+1} }$$

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Passo 2 — Substituindo no somatório

Temos:

$$S_n= \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)}.$$

Substituindo a identidade:

$$S_n= \sum_{k=1}^{n} \left( \frac1k-\frac1{k+1} \right).$$

Escrevendo os primeiros termos:

$$\begin{aligned} S_n={}& \left(1-\frac12\right) + \left(\frac12-\frac13\right) + \left(\frac13-\frac14\right) \\ &+ \left(\frac14-\frac15\right) +\cdots+ \left(\frac1n-\frac1{n+1}\right). \end{aligned}$$

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Passo 3 — O cancelamento

Agora podemos observar a estrutura:

$$1 -\frac12 +\frac12 -\frac13 +\frac13 -\frac14 +\frac14 -\cdots +\frac1n -\frac1{n+1}.$$

Os termos intermediários se cancelam:

$$-\frac12+\frac12=0,$$$$-\frac13+\frac13=0,$$$$-\frac14+\frac14=0,$$

e assim por diante.

Restam apenas:

$$S_n=1-\frac1{n+1}.$$

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Passo 4 — Simplificando

Colocando no mesmo denominador:

$$S_n= \frac{n+1-1}{n+1}.$$

Portanto:

$$\boxed{ S_n=\frac{n}{n+1} }$$

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Resultado

Assim,

$$\boxed{ \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)} = \frac{n}{n+1} }$$

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Insight

Este é um exemplo clássico de soma telescópica.

O nome vem justamente da ideia de uma luneta telescópica: quando expandimos a soma, grande parte dos termos "desaparece" por cancelamento.

A transformação fundamental foi:

$$\boxed{ \frac{1}{k(k+1)} = \frac1k-\frac1{k+1} }$$

e então:

$$\begin{aligned} S_n &= \left(1-\frac12\right) + \left(\frac12-\frac13\right) + \left(\frac13-\frac14\right) +\cdots\\ &\quad+ \left(\frac1n-\frac1{n+1}\right). \end{aligned}$$

Tudo se cancela, exceto o primeiro e o último termo:

$$\boxed{ S_n=1-\frac1{n+1} }$$

Essa técnica será útil em somatórios muito mais complexos.

Sacada: quando um termo pode ser escrito como a diferença entre duas expressões consecutivas, procure imediatamente por uma soma telescópica.

🧩 Exercício 5 Média

Calcule o valor do somatório

$$S_n= \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+2)}.$$

💡 Dica — clique para visualizar

Tente escrever a fração como uma diferença de duas frações mais simples.

Ideia principal

O denominador possui dois fatores:

$$k(k+2).$$

Isso sugere uma decomposição em frações parciais.

A ideia é transformar cada termo em uma diferença, fazendo com que vários termos se cancelem quando o somatório for desenvolvido.

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Passo 1 — Decompondo a fração

Queremos escrever:

$$\frac{1}{k(k+2)}$$

na forma

$$\frac{A}{k}+\frac{B}{k+2}.$$

Então:

$$\frac{1}{k(k+2)} = \frac{A(k+2)+Bk}{k(k+2)}.$$

Comparando os numeradores:

$$1=A(k+2)+Bk.$$

Logo:

$$1=(A+B)k+2A.$$

Para que essa igualdade seja verdadeira para qualquer $k$, devemos ter:

$$A+B=0$$

e

$$2A=1.$$

Portanto:

$$A=\frac12$$

e

$$B=-\frac12.$$

Assim:

$$\boxed{ \frac{1}{k(k+2)} = \frac12 \left( \frac1k-\frac1{k+2} \right) }$$

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Passo 2 — Substituindo no somatório

Temos:

$$S_n= \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+2)}.$$

Substituindo a decomposição:

$$S_n= \frac12 \sum_{k=1}^{n} \left( \frac1k-\frac1{k+2} \right).$$

Escrevendo os primeiros termos:

$$\begin{aligned} S_n = \frac12\Bigg[ & \left(1-\frac13\right) + \left(\frac12-\frac14\right) + \left(\frac13-\frac15\right) \\ &+ \left(\frac14-\frac16\right) +\cdots + \left(\frac1n-\frac1{n+2}\right) \Bigg]. \end{aligned}$$

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Passo 3 — Observando o cancelamento

Agora aparece a principal sacada.

Observe que:

$$-\frac13$$

cancela com:

$$+\frac13.$$

Da mesma forma:

$$-\frac14$$

cancela com:

$$+\frac14,$$

e assim sucessivamente.

Todos os termos intermediários desaparecem.

Sobram apenas:

$$1+\frac12-\frac1{n+1}-\frac1{n+2}.$$

Portanto:

$$S_n= \frac12 \left( 1+\frac12-\frac1{n+1}-\frac1{n+2} \right).$$

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Passo 4 — Simplificando

Temos:

$$1+\frac12=\frac32.$$

Logo:

$$S_n= \frac12 \left( \frac32-\frac1{n+1}-\frac1{n+2} \right).$$

Colocando as duas últimas frações em um único denominador:

$$\frac1{n+1}+\frac1{n+2} = \frac{2n+3}{(n+1)(n+2)}.$$

Assim:

$$S_n= \frac12 \left[ \frac32- \frac{2n+3}{(n+1)(n+2)} \right].$$

Colocando tudo no mesmo denominador:

$$S_n= \frac12 \cdot \frac{ 3(n+1)(n+2)-2(2n+3) }{ 2(n+1)(n+2) }.$$

Expandindo:

$$3(n+1)(n+2) = 3n^2+9n+6.$$

Então:

$$3n^2+9n+6-(4n+6) = 3n^2+5n.$$

Logo:

$$S_n= \frac{3n^2+5n} {4(n+1)(n+2)}.$$

Colocando $n$ em evidência:

$$\boxed{ S_n= \frac{n(3n+5)} {4(n+1)(n+2)} }$$

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Resultado

Portanto,

$$\boxed{ \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+2)} = \frac{n(3n+5)} {4(n+1)(n+2)} }$$

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Insight

Essa é uma soma telescópica.

A ideia é transformar cada termo em uma diferença:

$$\frac{1}{k(k+2)} = \frac12 \left( \frac1k-\frac1{k+2} \right).$$

Quando escrevemos vários termos, os elementos intermediários se cancelam:

$$\cancel{\frac13} ,\quad \cancel{\frac14} ,\quad \cancel{\frac15} ,\ldots$$

restando somente alguns termos das extremidades.

Sacada: em somatórios de frações, quando o denominador é um produto de fatores semelhantes, tente usar frações parciais para transformar o termo em uma diferença. Se houver cancelamento em cadeia, você encontrou uma soma telescópica.