Bissetriz de Ângulos

A bissetriz de um ângulo é a semirreta que parte do vértice e divide o ângulo em dois ângulos de mesma medida.

Essa definição pode ser resumida por:

$$\boxed{\text{Bissetriz} \rightarrow \text{divide o ângulo em duas partes iguais}}$$

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📐 Entendendo a bissetriz

Considere um ângulo:

        B
       /
      /
     /
    A •────────────→ C

Agora imagine uma semirreta saindo do vértice $A$ e passando pelo interior do ângulo:

        B
       /
      /
     / 
    A•────────────→ C
     \
      \
       D

Para representar corretamente uma bissetriz, a semirreta deve dividir a abertura do ângulo em duas partes iguais.

Por exemplo:

        B
       /
      / 
     /  30°
    A•─────────→ 
     \  30°
      \
       \
        C

Se:

$$\angle BAC=60^\circ$$

e a semirreta interna divide esse ângulo em duas partes iguais, então cada parte mede:

$$30^\circ$$

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O que significa "bissetriz"?

A palavra bissetriz está relacionada à ideia de dividir em duas partes.

Assim, quando uma semirreta é a bissetriz de um ângulo:

$$\boxed{\text{ângulo original}=\text{duas partes iguais}}$$

Se o ângulo mede $\theta$, cada uma das duas partes mede:

$$\boxed{\frac{\theta}{2}}$$

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Propriedade fundamental

Se uma semirreta é a bissetriz de um ângulo $\angle AOB$, então ela divide esse ângulo em duas partes congruentes.

Considere:

       A
      /
     / 
    / 
   O •────────→ C
    \
     \
      B

Se $\overrightarrow{OC}$ é a bissetriz de $\angle AOB$, então:

$$\boxed{\angle AOC=\angle COB}$$

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Como encontrar cada parte

Se um ângulo mede:

$$80^\circ$$

e sua bissetriz o divide em duas partes iguais, basta dividir por $2$:

$$\frac{80^\circ}{2}=40^\circ$$

Portanto:

$$\boxed{40^\circ}$$

para cada parte.

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Fórmula da bissetriz

Se um ângulo possui medida $\theta$, cada uma das partes determinadas pela bissetriz mede:

$$\boxed{\frac{\theta}{2}}$$

E, inversamente, se cada parte mede $x$, o ângulo original mede:

$$\boxed{2x}$$

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Exemplo 1

Uma bissetriz divide um ângulo de $90^\circ$. Qual é a medida de cada parte?

Ver solução

Resolução

A bissetriz divide o ângulo em duas partes iguais.

Então:

$$\frac{90^\circ}{2}=45^\circ$$

🎯 Resultado

$$\boxed{45^\circ}$$

Cada um dos dois ângulos formados mede $45^\circ$.

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Exemplo 2

A bissetriz de um ângulo divide-o em dois ângulos de $35^\circ$. Qual é a medida do ângulo original?

Ver solução

Resolução

Como existem duas partes iguais:

$$35^\circ+35^\circ=70^\circ$$

Portanto:

$$\boxed{70^\circ}$$

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Bissetriz e expressões algébricas

A bissetriz também aparece em problemas com expressões algébricas.

Considere um ângulo de medida:

$$(4x+20)^\circ$$

Sua bissetriz divide o ângulo em duas partes iguais.

Se uma das partes mede:

$$(2x+10)^\circ$$

então:

$$2(2x+10)=4x+20$$

Nesse caso, a igualdade é uma consequência direta da propriedade da bissetriz.

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Exemplo 3 — Encontrando $x$

Uma bissetriz divide um ângulo em duas partes de medidas:

$$(3x+5)^\circ$$

e:

$$(5x-25)^\circ$$

Determine $x$.

Ver solução

Resolução

Como os ângulos são formados pela bissetriz, eles possuem a mesma medida:

$$3x+5=5x-25$$

Passando $3x$ para o outro lado:

$$5=2x-25$$

Somando $25$:

$$30=2x$$

Logo:

$$x=15$$

🎯 Resultado

$$\boxed{x=15}$$

Podemos conferir as medidas:

$$3(15)+5=50^\circ$$

e:

$$5(15)-25=50^\circ$$

As duas partes realmente possuem a mesma medida.

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Exemplo 4 — Encontrando o ângulo completo

Uma bissetriz divide um ângulo em duas partes de medidas:

$$(2x+10)^\circ$$

e:

$$(3x-20)^\circ$$

Determine $x$ e a medida do ângulo original.

Ver solução

Resolução

Como as duas partes são iguais:

$$2x+10=3x-20$$

Então:

$$10=x-20$$

Logo:

$$x=30$$

Agora encontramos cada parte:

$$2(30)+10=70^\circ$$

Portanto, o ângulo completo é:

$$70^\circ+70^\circ=140^\circ$$

🎯 Resultado

$$\boxed{x=30}$$

e:

$$\boxed{\theta=140^\circ}$$

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Bissetriz interna

Quando a semirreta divide o ângulo passando pela região interna dele, temos a bissetriz interna.

Considere:

        B
       /
      /
     / 
    A•─────────→
     \ 
      \ 
       \ 
        C

A semirreta da bissetriz fica dentro da abertura do ângulo.

Na Geometria Plana, essa é a situação mais comum quando simplesmente falamos em bissetriz de um ângulo.

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Bissetriz e pontos equidistantes dos lados

Existe uma propriedade importante da bissetriz:

Todo ponto pertencente à bissetriz de um ângulo está à mesma distância dos dois lados do ângulo.

Essa propriedade será muito útil posteriormente, principalmente em problemas envolvendo distâncias e construções geométricas.

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Bissetriz e ângulos adjacentes

Uma bissetriz pode dividir um ângulo formado por dois ângulos adjacentes.

Por exemplo, se:

$$\angle AOC=80^\circ$$

e $\overrightarrow{OB}$ é sua bissetriz, então:

$$\angle AOB=\angle BOC$$

Como a soma é $80^\circ$:

$$\angle AOB+\angle BOC=80^\circ$$

Como são iguais:

$$2\angle AOB=80^\circ$$

Logo:

$$\boxed{\angle AOB=40^\circ}$$

e:

$$\boxed{\angle BOC=40^\circ}$$

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Bissetriz de um ângulo reto

Um ângulo reto mede:

$$90^\circ$$

Sua bissetriz divide esse ângulo em:

$$\frac{90^\circ}{2}=45^\circ$$

Portanto, a bissetriz de um ângulo reto forma dois ângulos de:

$$\boxed{45^\circ}$$

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Bissetriz de um ângulo raso

Um ângulo raso mede:

$$180^\circ$$

Sua bissetriz divide o ângulo em:

$$\frac{180^\circ}{2}=90^\circ$$

Portanto:

$$\boxed{90^\circ}$$

cada parte.

Assim, a bissetriz de um ângulo raso determina dois ângulos retos.

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Como identificar uma bissetriz em um exercício

Quando o enunciado disser que uma semirreta é bissetriz, imediatamente procure duas partes iguais.

Por exemplo:

$OC$ é a bissetriz de $\angle AOB$.

Isso significa:

$$\boxed{\angle AOC=\angle COB}$$

Essa igualdade deve ser utilizada antes de qualquer cálculo.

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⚠️ Cuidado: bissetriz não é mediana

A palavra bissetriz é usada para ângulos.

Ela divide um ângulo em duas partes iguais.

Já a mediana, em um triângulo, é um segmento que liga um vértice ao ponto médio do lado oposto.

Portanto:

• bissetriz → divide um ângulo;
• mediana → liga vértice ao ponto médio de um lado.

Esses conceitos podem aparecer juntos em problemas de triângulos, mas não significam a mesma coisa.

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⚠️ Cuidado: bissetriz não é necessariamente perpendicular

Uma bissetriz divide um ângulo em duas partes iguais.

Isso não significa que ela seja necessariamente perpendicular a um dos lados.

Por exemplo, se um ângulo mede:

$$60^\circ$$

sua bissetriz forma:

$$30^\circ$$

com cada lado.

Ela não forma necessariamente um ângulo de $90^\circ$ com os lados.

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Exemplo 5

Uma semirreta é bissetriz de um ângulo de $126^\circ$. Determine as medidas dos dois ângulos formados.

Ver solução

Resolução

A bissetriz divide o ângulo em duas partes iguais:

$$\frac{126^\circ}{2}$$

Calculando:

$$63^\circ$$

Portanto:

$$\boxed{63^\circ\text{ e }63^\circ}$$

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Exemplo 6

Uma bissetriz divide um ângulo em duas partes iguais. Uma das partes mede $(4x+5)^\circ$ e a outra mede $(6x-25)^\circ$. Determine $x$.

Ver solução

Resolução

Como são partes determinadas pela bissetriz:

$$4x+5=6x-25$$

Então:

$$5=2x-25$$$$30=2x$$$$x=15$$

Agora verificamos:

$$4(15)+5=65^\circ$$

e:

$$6(15)-25=65^\circ$$

As duas partes são iguais.

🎯 Resultado

$$\boxed{x=15}$$

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🧠 Resumo

A bissetriz de um ângulo é a semirreta que divide o ângulo em duas partes iguais.

Se $\overrightarrow{OC}$ é a bissetriz de $\angle AOB$:

$$\boxed{\angle AOC=\angle COB}$$

Se o ângulo inteiro mede $\theta$, cada parte mede:

$$\boxed{\frac{\theta}{2}}$$

Alguns casos importantes:

Ângulo reto

$$90^\circ\div2=45^\circ$$

Ângulo raso

$$180^\circ\div2=90^\circ$$

Ângulo de $60^\circ$

$$60^\circ\div2=30^\circ$$

A ideia central é:

$$\boxed{\text{Bissetriz}=\text{divisão do ângulo em duas partes iguais}}$$

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📝 Exercícios

🧩 Exercício 1 Fácil

Uma bissetriz divide um ângulo de $80^\circ$. Qual é a medida de cada parte?

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🧩 Exercício 2 Fácil

Uma bissetriz divide um ângulo reto. Qual é a medida de cada parte?

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🧩 Exercício 3 Fácil

Uma bissetriz divide um ângulo raso. Qual é a medida de cada parte?

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🧩 Exercício 4 Médio

Uma bissetriz divide um ângulo em duas partes de medidas $(3x+5)^\circ$ e $(5x-25)^\circ$. Qual é o valor de $x$?

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🧩 Exercício 5 Médio

Uma bissetriz divide um ângulo em duas partes de medidas $(2x+10)^\circ$ e $(3x-20)^\circ$. Qual é o valor de $x$?

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🧩 Exercício 6 Médio

Um ângulo mede 126^\\circ. Se uma semirreta é sua bissetriz, qual é a medida de cada ângulo formado?

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🧩 Exercício 7 Médio

Uma bissetriz divide um ângulo em duas partes iguais. Se uma das partes mede $(4x+5)^\circ$ e a outra mede $(6x-25)^\circ$, qual é o valor de $x$?

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🧩 Exercício 8 Médio

Uma semirreta é a bissetriz de um ângulo de $140^\circ$. Qual é a medida de cada ângulo formado?

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🧩 Exercício 9 Médio

Se uma semirreta é a bissetriz de um ângulo $\angle AOB$, qual igualdade é necessariamente verdadeira?

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🧩 Exercício 10 Médio

Um ângulo mede $(8x+20)^\circ$ e sua bissetriz divide-o em duas partes de $(4x+10)^\circ$. Qual é a relação entre essas medidas?

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Próximo tópico

No próximo conteúdo estudaremos medidas de ângulos e uso do transferidor, aprendendo a medir e construir ângulos com precisão.