Ângulos Opostos pelo Vértice

Quando duas retas se cruzam, elas formam quatro ângulos.

Os ângulos que ficam em posições opostas, possuem o mesmo vértice e não possuem lado em comum são chamados de ângulos opostos pelo vértice.

A principal propriedade é:

$$\boxed{\text{Ângulos opostos pelo vértice possuem medidas iguais}}$$

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📐 Entendendo a formação

Considere duas retas concorrentes:

        A         D
         \       /
          \     /
           \ α /
            \ /
             • O
            / \
           / β \
          /     \
         /       \
        B         C

Quando duas retas se cruzam, quatro ângulos são formados.

Uma representação mais completa é:

        A
         \     /
          \ α /
           \ /
         β  •  O
           / \
          / γ \ 
         /     \
        /       \
       D---------C

Os ângulos que estão em posições opostas possuem a mesma medida.

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O que significa "opostos pelo vértice"?

O nome pode ser dividido em duas partes.

Opostos

Os ângulos ocupam posições contrárias no ponto de interseção.

Pelo vértice

Eles possuem o mesmo vértice, que é o ponto onde as duas retas se cruzam.

Portanto:

Ângulos opostos pelo vértice são formados pelo cruzamento de duas retas e ficam frente a frente.

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Propriedade fundamental

Quando duas retas se cruzam, os ângulos opostos pelo vértice são congruentes.

Se:

$$\angle AOB$$

e:

$$\angle COD$$

são opostos pelo vértice, então:

$$\boxed{\angle AOB=\angle COD}$$

Da mesma forma, se:

$$\angle AOD$$

e:

$$\angle BOC$$

são opostos pelo vértice:

$$\boxed{\angle AOD=\angle BOC}$$

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Por que os ângulos opostos pelo vértice são iguais?

Podemos entender essa propriedade utilizando os ângulos suplementares.

Considere quatro ângulos formados pelo cruzamento de duas retas:

        A       C
         \     /
          \ β /
           \ /
         α  •  γ
           / \
          / δ \
         /     \
        D       B

Os ângulos $\alpha$ e $\beta$ são adjacentes e formam um par linear.

Logo:

$$\alpha+\beta=180^\circ$$

Os ângulos $\beta$ e $\gamma$ também formam um par linear:

$$\beta+\gamma=180^\circ$$

Como:

$$\alpha+\beta=\beta+\gamma$$

podemos subtrair $\beta$ dos dois lados:

$$\boxed{\alpha=\gamma}$$

Portanto, ângulos opostos pelo vértice são iguais.

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Exemplo numérico

Considere duas retas que se cruzam.

Um dos ângulos mede:

$$70^\circ$$

O ângulo oposto pelo vértice terá a mesma medida.

Portanto:

$$\boxed{70^\circ}$$

Os dois ângulos adjacentes a ele serão suplementares:

$$180^\circ-70^\circ=110^\circ$$

Assim, os quatro ângulos serão:

$$70^\circ,\quad110^\circ,\quad70^\circ,\quad110^\circ$$

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Relação entre os quatro ângulos

Quando duas retas se cruzam, temos duas duplas de ângulos opostos pelo vértice.

Se um dos ângulos mede $\theta$, o seu oposto também mede $\theta$.

Os dois ângulos adjacentes medem:

$$180^\circ-\theta$$

Portanto, se:

$$\theta=40^\circ$$

os quatro ângulos serão:

$$40^\circ,\quad140^\circ,\quad40^\circ,\quad140^\circ$$

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Como resolver problemas

Quando encontrar duas retas cruzadas, procure primeiro os ângulos que estão frente a frente.

Se forem opostos pelo vértice:

$$\boxed{\text{medidas iguais}}$$

Se forem adjacentes e estiverem sobre uma reta:

$$\boxed{\text{soma}=180^\circ}$$

Essas duas propriedades resolvem grande parte dos exercícios sobre retas concorrentes.

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Exemplo com variável

Considere dois ângulos opostos pelo vértice com medidas:

$$(3x+20)^\circ$$

e:

$$(5x-40)^\circ$$

Como são opostos pelo vértice, possuem a mesma medida.

Então:

$$3x+20=5x-40$$

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✏️ Resolvendo

Passando $3x$ para o outro lado:

$$20=2x-40$$

Somando $40$:

$$60=2x$$

Logo:

$$x=30$$

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Determinando o ângulo

Substituindo:

$$3(30)+20$$ $$=90+20$$ $$=110^\circ$$

Portanto, cada um dos ângulos opostos mede:

$$\boxed{110^\circ}$$

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Exemplo com ângulo adjacente

Duas retas se cruzam. Um dos ângulos mede $65^\circ$.

Determine a medida dos outros três ângulos.

Ver solução

Resolução

O ângulo oposto pelo vértice possui a mesma medida:

$$65^\circ$$

Os dois ângulos adjacentes são suplementares a ele:

$$180^\circ-65^\circ$$$$=115^\circ$$

Assim, os quatro ângulos são:

$$65^\circ,\quad115^\circ,\quad65^\circ,\quad115^\circ$$

🎯 Resultado

$$\boxed{65^\circ,\ 115^\circ,\ 65^\circ,\ 115^\circ}$$

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Exemplo com duas expressões

Dois ângulos opostos pelo vértice possuem medidas:

$$(7x-15)^\circ$$

e:

$$(4x+45)^\circ$$

Determine $x$.

Ver solução

Resolução

Como são opostos pelo vértice:

$$7x-15=4x+45$$

Subtraindo $4x$:

$$3x-15=45$$

Somando $15$:

$$3x=60$$

Logo:

$$x=20$$

🎯 Resultado

$$\boxed{x=20}$$

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Exemplo envolvendo suplemento

Dois ângulos opostos pelo vértice medem:

$$(2x+10)^\circ$$

e:

$$(4x-30)^\circ$$

Determine $x$ e a medida desses ângulos.

Ver solução

Resolução

Como são opostos pelo vértice:

$$2x+10=4x-30$$

Então:

$$40=2x$$$$x=20$$

Substituindo:

$$2(20)+10=50$$

Portanto, cada ângulo mede:

$$\boxed{50^\circ}$$

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⚠️ Cuidado

Não confunda ângulos opostos pelo vértice com ângulos adjacentes.

Opostos pelo vértice

• possuem o mesmo vértice;
• ficam em posições opostas;
• não possuem lado em comum;
• possuem medidas iguais.

Adjacentes

• possuem o mesmo vértice;
• possuem um lado em comum;
• ficam lado a lado;
• não necessariamente possuem medidas iguais.

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Relação com ângulos suplementares

Os ângulos adjacentes formados pelo cruzamento de duas retas são suplementares.

Se um ângulo mede $\theta$, seu adjacente mede:

$$180^\circ-\theta$$

O ângulo oposto pelo vértice mede novamente:

$$\theta$$

Assim, os quatro ângulos podem ser organizados como:

$$\boxed{\theta,\quad180^\circ-\theta,\quad\theta,\quad180^\circ-\theta}$$

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🧠 Resumo

Quando duas retas se cruzam:

• são formados quatro ângulos;
• ângulos opostos pelo vértice possuem medidas iguais;
• ângulos adjacentes formam pares suplementares;
• a soma dos ângulos adjacentes de um par linear é $180^\circ$.

A propriedade principal é:

$$\boxed{\text{Ângulos opostos pelo vértice são congruentes}}$$

Se um ângulo mede $\theta$, o oposto também mede:

$$\boxed{\theta}$$

Enquanto os adjacentes medem:

$$\boxed{180^\circ-\theta}$$

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📝 Exercícios

🧩 Exercício 1 Fácil

Quando duas retas se cruzam, os ângulos opostos pelo vértice possuem:

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🧩 Exercício 2 Fácil

Um ângulo mede $70^\circ$. Qual é a medida do seu oposto pelo vértice?

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🧩 Exercício 3 Fácil

Um ângulo mede $40^\circ$. Qual é a medida de cada um dos ângulos adjacentes a ele?

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🧩 Exercício 4 Médio

Dois ângulos opostos pelo vértice medem $(3x+20)^\circ$ e $(5x-40)^\circ$. Qual é o valor de $x$?

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🧩 Exercício 5 Médio

Dois ângulos opostos pelo vértice medem $(7x-15)^\circ$ e $(4x+45)^\circ$. Determine $x$.

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🧩 Exercício 6 Médio

Duas retas se cruzam formando um ângulo de $125^\circ$. Qual é a medida do ângulo oposto pelo vértice?

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🧩 Exercício 7 Médio

Duas retas se cruzam. Um dos ângulos mede $85^\circ$. Qual é a medida de cada ângulo adjacente?

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🧩 Exercício 8 Médio

Dois ângulos opostos pelo vértice medem $(2x+10)^\circ$ e $(4x-30)^\circ$. Qual é a medida de cada um?

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🧩 Exercício 9 Médio

Um dos quatro ângulos formados pelo cruzamento de duas retas mede $30^\circ$. Qual é a medida dos outros três ângulos?

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🧩 Exercício 10 Médio

Dois ângulos opostos pelo vértice possuem medidas $(6x-20)^\circ$ e $(4x+30)^\circ$. Qual é a medida desses ângulos?

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Próximo tópico

No próximo conteúdo estudaremos as bissetrizes de ângulos, entendendo como uma semirreta pode dividir um ângulo em duas partes de mesma medida.