Ângulos Complementares e Suplementares

Além de classificar os ângulos de acordo com suas medidas, também podemos estudar relações entre dois ou mais ângulos.

Duas relações muito importantes são:

• ângulos complementares;
• ângulos suplementares.

A diferença principal está na soma das medidas:

$$\boxed{90^\circ}$$

para ângulos complementares, e:

$$\boxed{180^\circ}$$

para ângulos suplementares.

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📐 Ângulos complementares

Dois ângulos são chamados de complementares quando a soma de suas medidas é igual a $90^\circ$.

Se os ângulos são $\alpha$ e $\beta$, então:

$$\boxed{\alpha+\beta=90^\circ}$$

Por exemplo:

$$30^\circ+60^\circ=90^\circ$$

Portanto, $30^\circ$ e $60^\circ$ são ângulos complementares.

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Representação geométrica

Dois ângulos complementares podem formar um ângulo reto.

        /
       /
      / α
     •─────────→
      \ β
       \
        \

Quando as duas partes formam um ângulo reto:

$$\alpha+\beta=90^\circ$$

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Como encontrar o complemento de um ângulo

Para encontrar o complemento de um ângulo, devemos subtrair sua medida de $90^\circ$.

Se:

$$\alpha=35^\circ$$

seu complemento será:

$$90^\circ-35^\circ$$

Logo:

$$\boxed{55^\circ}$$

Podemos escrever:

$$35^\circ+55^\circ=90^\circ$$

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Fórmula do complemento

Se um ângulo possui medida $\theta$, seu complemento é:

$$\boxed{90^\circ-\theta}$$

desde que:

$$0^\circ<\theta<90^\circ$$

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Exemplo de complemento

Determine o complemento de $28^\circ$.

Ver solução

Resolução

O complemento é o valor que falta para chegar a $90^\circ$.

Assim:

$$90^\circ-28^\circ$$$$=62^\circ$$

🎯 Resultado

$$\boxed{62^\circ}$$

Verificando:

$$28^\circ+62^\circ=90^\circ$$

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📐 Ângulos suplementares

Dois ângulos são chamados de suplementares quando a soma de suas medidas é igual a $180^\circ$.

Se os ângulos são $\alpha$ e $\beta$:

$$\boxed{\alpha+\beta=180^\circ}$$

Por exemplo:

$$70^\circ+110^\circ=180^\circ$$

Portanto, $70^\circ$ e $110^\circ$ são suplementares.

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Representação geométrica

Dois ângulos suplementares podem formar um ângulo raso.

←────────•────────→
       α │ β

A soma das medidas é:

$$\alpha+\beta=180^\circ$$

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Como encontrar o suplemento de um ângulo

Para encontrar o suplemento de um ângulo, devemos subtrair sua medida de $180^\circ$.

Se:

$$\alpha=65^\circ$$

então:

$$180^\circ-65^\circ$$

Logo:

$$\boxed{115^\circ}$$

Verificando:

$$65^\circ+115^\circ=180^\circ$$

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Fórmula do suplemento

Se um ângulo possui medida $\theta$, seu suplemento é:

$$\boxed{180^\circ-\theta}$$

desde que:

$$0^\circ<\theta<180^\circ$$

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Exemplo de suplemento

Determine o suplemento de $42^\circ$.

Ver solução

Resolução

O suplemento é o valor que falta para completar $180^\circ$.

Então:

$$180^\circ-42^\circ$$$$=138^\circ$$

🎯 Resultado

$$\boxed{138^\circ}$$

Verificando:

$$42^\circ+138^\circ=180^\circ$$

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Complementar x Suplementar

É muito importante não confundir os dois conceitos.

Relação	Soma
Complementares	$90^\circ$
Suplementares	$180^\circ$

Uma maneira simples de memorizar:

$$\boxed{\text{Complementar}\rightarrow90^\circ}$$ $$\boxed{\text{Suplementar}\rightarrow180^\circ}$$

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Encontrando um ângulo desconhecido

Muitos exercícios fornecem dois ângulos e informam que eles são complementares ou suplementares.

Nesses casos, podemos montar uma equação.

Exemplo

Dois ângulos são complementares. Um deles mede $35^\circ$ e o outro mede $x$.

Então:

$$x+35^\circ=90^\circ$$

Logo:

$$x=90^\circ-35^\circ$$ $$\boxed{x=55^\circ}$$

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Exemplo com ângulo suplementar

Dois ângulos são suplementares. Um deles mede $120^\circ$ e o outro mede $x$.

Montamos:

$$x+120^\circ=180^\circ$$

Então:

$$x=180^\circ-120^\circ$$ $$\boxed{x=60^\circ}$$

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Complementares com expressões algébricas

Também podemos encontrar ângulos complementares quando suas medidas são expressas por variáveis.

Considere dois ângulos:

$$(2x+10)^\circ$$

e:

$$(3x+5)^\circ$$

Sabendo que são complementares:

$$(2x+10)+(3x+5)=90$$

Então:

$$5x+15=90$$ $$5x=75$$ $$x=15$$

Agora podemos determinar os ângulos.

Primeiro:

$$2(15)+10=40$$

Segundo:

$$3(15)+5=50$$

Verificando:

$$40^\circ+50^\circ=90^\circ$$

Portanto, os ângulos são:

$$\boxed{40^\circ\text{ e }50^\circ}$$

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Suplementares com expressões algébricas

Considere dois ângulos:

$$(4x-10)^\circ$$

e:

$$(2x+10)^\circ$$

Sabendo que são suplementares:

$$(4x-10)+(2x+10)=180$$

Simplificando:

$$6x=180$$

Logo:

$$x=30$$

Os ângulos são:

$$4(30)-10=110$$

e:

$$2(30)+10=70$$

Portanto:

$$\boxed{110^\circ\text{ e }70^\circ}$$

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Ângulos complementares são sempre agudos?

Quando dois ângulos são complementares e suas medidas são positivas, ambos são menores que $90^\circ$.

Isso ocorre porque:

$$\alpha+\beta=90^\circ$$

e:

$$\alpha>0,\quad\beta>0$$

Logo:

$$\alpha<90^\circ$$

e:

$$\beta<90^\circ$$

Portanto, dois ângulos complementares positivos são agudos.

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Ângulos suplementares podem ser agudos e obtusos

Dois ângulos suplementares podem ter classificações diferentes.

Por exemplo:

$$60^\circ+120^\circ=180^\circ$$

Nesse caso:

• $60^\circ$ é agudo;
• $120^\circ$ é obtuso.

Também podemos ter dois ângulos retos:

$$90^\circ+90^\circ=180^\circ$$

Portanto, dois ângulos suplementares podem ser:

• um agudo e um obtuso;
• dois retos.

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Caso especial: dois ângulos iguais

Se dois ângulos são complementares e possuem a mesma medida, podemos chamar cada um de $x$.

Então:

$$x+x=90^\circ$$ $$2x=90^\circ$$ $$\boxed{x=45^\circ}$$

Portanto, dois ângulos complementares e iguais medem $45^\circ$ cada.

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Caso especial: dois ângulos suplementares iguais

Se dois ângulos são suplementares e possuem a mesma medida:

$$x+x=180^\circ$$

Então:

$$2x=180^\circ$$ $$\boxed{x=90^\circ}$$

Portanto, dois ângulos suplementares iguais são dois ângulos retos.

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🧠 Resumo

Ângulos complementares

A soma é:

$$\boxed{90^\circ}$$

Fórmula do complemento:

$$\boxed{90^\circ-\theta}$$

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Ângulos suplementares

A soma é:

$$\boxed{180^\circ}$$

Fórmula do suplemento:

$$\boxed{180^\circ-\theta}$$

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Comparação

Conceito	Relação
Complementares	$\alpha+\beta=90^\circ$
Suplementares	$\alpha+\beta=180^\circ$

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📝 Exercícios

🧩 Exercício 1 Fácil

Dois ângulos medem $30^\circ$ e $60^\circ$. Qual é a relação entre eles?

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🧩 Exercício 2 Fácil

Dois ângulos medem $70^\circ$ e $110^\circ$. Qual é a relação entre eles?

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🧩 Exercício 3 Fácil

Qual é o complemento de um ângulo de $35^\circ$?

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🧩 Exercício 4 Fácil

Qual é o suplemento de um ângulo de $40^\circ$?

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🧩 Exercício 5 Médio

Dois ângulos são complementares. Um deles mede $27^\circ$. Qual é a medida do outro?

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🧩 Exercício 6 Médio

Dois ângulos são suplementares. Um deles mede $125^\circ$. Qual é a medida do outro?

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🧩 Exercício 7 Médio

Dois ângulos complementares possuem medidas $(2x+10)^\circ$ e $(3x+5)^\circ$. Qual é o valor de $x$?

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🧩 Exercício 8 Médio

Dois ângulos suplementares possuem medidas $(4x-10)^\circ$ e $(2x+10)^\circ$. Qual é o valor de $x$?

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🧩 Exercício 9 Médio

Dois ângulos complementares possuem a mesma medida. Quanto mede cada ângulo?

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🧩 Exercício 10 Médio

Dois ângulos suplementares possuem a mesma medida. Quanto mede cada ângulo?

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Próximo tópico

No próximo conteúdo estudaremos os ângulos adjacentes, analisando quando dois ângulos possuem o mesmo vértice, um lado em comum e regiões internas que não se sobrepõem.