Sistemas Lineares

Definição

Um sistema linear é um conjunto de duas ou mais equações lineares envolvendo as mesmas incógnitas.

Exemplo:

$$\begin{cases} x + y = 5 \\ x - y = 1 \end{cases}$$

---

Objetivo

Encontrar os valores das incógnitas que satisfazem todas as equações simultaneamente.

---

Interpretação geométrica

• Cada equação representa uma reta (em 2 variáveis)
• A solução do sistema é o ponto de interseção

---

Tipos de sistemas

✔ Sistema possível e determinado (SPD)

Possui uma única solução:

$$\begin{cases} x + y = 5 \\ x - y = 1 \end{cases} \Rightarrow (x,y) = (3,2)$$

---

Sistema possível e indeterminado (SPI)

Possui infinitas soluções:

$$\begin{cases} x + y = 2 \\ 2x + 2y = 4 \end{cases}$$

---

Sistema impossível (SI)

Não possui solução:

$$\begin{cases} x + y = 2 \\ x + y = 3 \end{cases}$$

---

Métodos de resolução

---

1. Método da substituição

Exemplo

$$\begin{cases} x + y = 5 \\ x - y = 1 \end{cases}$$

Isolando:

$$x = 5 - y$$

Substituindo:

$$5 - y - y = 1$$ $$5 - 2y = 1 \Rightarrow y = 2$$ $$x = 3$$

---

2. Método da adição (eliminação)

Exemplo

$$\begin{cases} x + y = 5 \\ x - y = 1 \end{cases}$$

Somando:

$$2x = 6 \Rightarrow x = 3$$ $$y = 2$$

---

3. Método da comparação

Exemplo

$$\begin{cases} x = 2y + 1 \\ x = y + 3 \end{cases}$$

Igualando:

$$2y + 1 = y + 3$$ $$y = 2,\quad x = 5$$

---

Sistemas com três incógnitas

Exemplo:

$$\begin{cases} x + y + z = 6 \\ x + y = 4 \\ y + z = 5 \end{cases}$$

Subtraindo:

$$z = 2,\quad y = 3,\quad x = 1$$

---

Estratégias importantes

✔ Organizar o sistema

Alinhe as equações:

$$\begin{cases} ax + by = c \\ dx + ey = f \end{cases}$$

---

✔ Eliminar uma variável

Multiplique equações se necessário.

---

✔ Verificar a solução

Sempre substitua no sistema original.

---

Sistemas dependentes

Quando uma equação é múltipla da outra:

$$2x + 4y = 6$$ $$x + 2y = 3$$

representam a mesma reta

---

Sistemas inconsistentes

Quando possuem mesma inclinação mas termos diferentes:

não se cruzam

---

Método matricial (introdução)

Sistema:

$$\begin{cases} 2x + y = 5 \\ x - y = 1 \end{cases}$$

Forma matricial:

$$\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ 1 \end{bmatrix}$$

---

Regra de Cramer (introdução)

Para sistema:

$$\begin{cases} ax + by = c \\ dx + ey = f \end{cases}$$

Determinante:

$$\Delta = ae - bd$$

Se $\Delta \neq 0$, então:

$$x = \frac{ce - bf}{\Delta} \quad,\quad y = \frac{af - cd}{\Delta}$$

---

Aplicações

Sistemas lineares aparecem em:

• física
• economia
• engenharia
• computação
• estatística

---

Problema aplicado

Um sistema tem:

• soma: 10
• diferença: 2

$$\begin{cases} x + y = 10 \\ x - y = 2 \end{cases}$$ $$x = 6,\quad y = 4$$

---

Resumo

• Resolver sistema = encontrar solução comum
• Métodos: substituição, adição, comparação
• Tipos: SPD, SPI, SI
• Interpretação: interseção de retas