Regra do Quociente

Até aqui, já aprendemos a derivar constantes, potências, somas, diferenças e produtos de funções.

Agora surge uma situação igualmente importante:

e quando uma função é dada pela divisão de duas outras funções?

Por exemplo,

$$f(x)=\frac{x^2+1}{x+2}.$$

Podemos tentar reescrever a expressão e simplificá-la antes de derivar, mas isso nem sempre será possível.

Precisamos, portanto, de uma regra específica para derivar quocientes.

Essa regra é chamada de Regra do Quociente.

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1. A ideia da regra

Considere duas funções diferenciáveis $f$ e $g$, com

$$g(x)\neq0.$$

Se definirmos

$$h(x)=\frac{f(x)}{g(x)},$$

então a derivada de $h$ é dada por

$$\boxed{ h'(x) = \frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)} {[g(x)]^2} }$$

Essa é a Regra do Quociente.

Uma forma prática de memorizar é:

derivada do numerador vezes o denominador, menos o numerador vezes a derivada do denominador, tudo dividido pelo denominador ao quadrado.

Em símbolos:

$$\boxed{ \left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g-fg'}{g^2} }$$

Observe que a ordem dos termos no numerador é importante.

Não podemos trocar $f'g-fg'$ por $fg'-f'g$.

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2. Por que o denominador aparece ao quadrado?

A fórmula pode parecer diferente das regras que estudamos anteriormente.

Na regra do produto, por exemplo:

$$(fg)'=f'g+fg'.$$

Já no quociente aparece:

$$\frac{f'g-fg'}{g^2}.$$

O sinal de menos e o denominador ao quadrado não são escolhas arbitrárias.

Eles surgem naturalmente quando aplicamos a definição da derivada ao quociente.

Vamos demonstrar.

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3. Demonstração da Regra do Quociente

Considere

$$h(x)=\frac{f(x)}{g(x)}.$$

Pela definição da derivada,

$$h'(x) = \lim_{u\to0} \frac{h(x+u)-h(x)}{u}.$$

Substituindo $h$:

$$h'(x) = \lim_{u\to0} \frac{ \frac{f(x+u)}{g(x+u)} - \frac{f(x)}{g(x)} }{u}.$$

Precisamos agora realizar a subtração das duas frações.

Colocando-as sobre o mesmo denominador:

$$h'(x) = \lim_{u\to0} \frac{ f(x+u)g(x)-f(x)g(x+u) }{ u\,g(x+u)g(x) }.$$

Agora vem a parte importante.

No numerador, podemos reorganizar os termos:

$$f(x+u)g(x)-f(x)g(x+u).$$

Somando e subtraindo $f(x)g(x)$:

$$\begin{aligned} &f(x+u)g(x)-f(x)g(x+u) \\ &= g(x)\big[f(x+u)-f(x)\big] - f(x)\big[g(x+u)-g(x)\big]. \end{aligned}$$

Portanto,

$$h'(x) = \lim_{u\to0} \frac{ g(x)[f(x+u)-f(x)] - f(x)[g(x+u)-g(x)] }{ u\,g(x+u)g(x) }.$$

Podemos separar os termos:

$$h'(x) = \lim_{u\to0} \frac{ g(x)[f(x+u)-f(x)] }{ u\,g(x+u)g(x) } - \lim_{u\to0} \frac{ f(x)[g(x+u)-g(x)] }{ u\,g(x+u)g(x) }.$$

Como $g(x)\neq0$ e as funções são diferenciáveis, podemos calcular os limites.

No primeiro termo:

$$\lim_{u\to0} \frac{f(x+u)-f(x)}{u} = f'(x).$$

No segundo:

$$\lim_{u\to0} \frac{g(x+u)-g(x)}{u} = g'(x).$$

Além disso,

$$g(x+u)\to g(x)$$

quando $u\to0$.

Assim:

$$h'(x) = \frac{g(x)f'(x)}{g(x)g(x)} - \frac{f(x)g'(x)}{g(x)g(x)}.$$

Logo,

$$h'(x) = \frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)} {[g(x)]^2}.$$

Portanto,

$$\boxed{ \left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g-fg'}{g^2} }$$

A Regra do Quociente está demonstrada.

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4. Como aplicar a regra

Considere:

$$f(x)=\frac{x^2+1}{x+1}.$$

Identificamos:

$$u(x)=x^2+1$$

e

$$v(x)=x+1.$$

Então:

$$u'(x)=2x$$

e

$$v'(x)=1.$$

Aplicando a regra:

$$f'(x) = \frac{u'v-uv'}{v^2}.$$

Substituindo:

$$f'(x) = \frac{ 2x(x+1)-(x^2+1)(1) }{ (x+1)^2 }.$$

Simplificando o numerador:

$$2x(x+1)=2x^2+2x.$$

Portanto,

$$f'(x) = \frac{ 2x^2+2x-x^2-1 }{ (x+1)^2 }.$$

Assim,

$$\boxed{ f'(x)= \frac{x^2+2x-1}{(x+1)^2} }$$

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5. Um cuidado importante

Quando aplicamos a Regra do Quociente, precisamos identificar corretamente:

• o numerador;
• o denominador;
• a derivada do numerador;
• a derivada do denominador.

Se

$$f(x)=\frac{u(x)}{v(x)},$$

então:

$$\boxed{ f'(x) = \frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)} {[v(x)]^2} }$$

Observe que somente o denominador original é elevado ao quadrado.

Não devemos fazer:

$$\frac{u'v-uv'}{u^2}.$$

O denominador da fórmula é $v^2$.

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6. Exemplo com funções polinomiais

Considere:

$$f(x)=\frac{3x^2-1}{x^2+2}.$$

Temos:

$$u(x)=3x^2-1$$

e

$$v(x)=x^2+2.$$

Suas derivadas são:

$$u'(x)=6x$$

e

$$v'(x)=2x.$$

Aplicando a Regra do Quociente:

$$f'(x) = \frac{ (6x)(x^2+2) - (3x^2-1)(2x) }{ (x^2+2)^2 }.$$

Desenvolvendo o numerador:

$$(6x)(x^2+2) = 6x^3+12x$$

e

$$(3x^2-1)(2x) = 6x^3-2x.$$

Logo:

$$f'(x) = \frac{ 6x^3+12x-(6x^3-2x) }{ (x^2+2)^2 }.$$

Então:

$$f'(x) = \frac{ 14x }{ (x^2+2)^2 }.$$

Portanto:

$$\boxed{ f'(x)=\frac{14x}{(x^2+2)^2} }$$

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7. Quando simplificar antes de derivar?

Nem sempre precisamos utilizar diretamente a Regra do Quociente.

Às vezes, a expressão pode ser simplificada antes.

Por exemplo:

$$f(x)=\frac{x^2}{x}.$$

Para $x\neq0$:

$$f(x)=x.$$

Portanto:

$$f'(x)=1.$$

Se aplicássemos a Regra do Quociente diretamente:

$$f'(x) = \frac{(2x)(x)-x^2(1)}{x^2}.$$

Então:

$$f'(x) = \frac{2x^2-x^2}{x^2} = 1.$$

Chegamos ao mesmo resultado.

Isso mostra que a Regra do Quociente funciona, mas simplificar antes pode tornar alguns cálculos mais rápidos.

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8. Regra do Produto e Regra do Quociente

Observe a relação entre as duas regras.

Para um produto:

$$(fg)'=f'g+fg'.$$

Para um quociente:

$$\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g-fg'}{g^2}.$$

As duas regras permitem lidar com combinações de funções que não podem ser tratadas simplesmente pelas regras básicas de soma e potência.

Assim, nossa caixa de ferramentas para derivadas está crescendo:

Operação	Regra
Constante	$(c)'=0$
Potência	$(x^n)'=nx^{n-1}$
Soma	$(f+g)'=f'+g'$
Diferença	$(f-g)'=f'-g'$
Múltiplo constante	$(cf)'=cf'$
Produto	$(fg)'=f'g+fg'$
Quociente	$\displaystyle\left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f'g-fg'}{g^2}$

A próxima dificuldade surgirá quando tivermos uma função dentro de outra função.

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9. Erros comuns

Erro 1 — esquecer o sinal de menos

Errado:

$$\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g+fg'}{g^2}.$$

Correto:

$$\boxed{ \left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g-fg'}{g^2} }$$

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Erro 2 — elevar o numerador ao quadrado

Errado:

$$\frac{f'g-fg'}{f^2}.$$

O denominador da regra é o denominador original ao quadrado:

$$\boxed{ \frac{f'g-fg'}{g^2} }$$

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Erro 3 — esquecer de derivar o denominador

Se

$$f(x)=\frac{u(x)}{v(x)},$$

não podemos simplesmente escrever:

$$f'(x)=\frac{u'(x)}{v(x)}.$$

O denominador também participa da derivada.

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10. Exercícios

Agora vamos aplicar a regra em diferentes situações.

🧩 Exercício 1 Fácil

Considere a função

$$f(x)=\frac{x^2+1}{x+1}.$$

Determine $f'(1)$.

Temos:

$$u(x)=x^2+1$$

e

$$v(x)=x+1.$$

Logo:

$$u'(x)=2x$$

e

$$v'(x)=1.$$

Pela Regra do Quociente:

$$f'(x) = \frac{ 2x(x+1)-(x^2+1) }{ (x+1)^2 }.$$

Simplificando:

$$f'(x) = \frac{x^2+2x-1}{(x+1)^2}.$$

Agora calculamos em $x=1$:

$$f'(1) = \frac{1+2-1}{(1+1)^2}.$$

Portanto:

$$f'(1) = \frac{2}{4} = \boxed{\frac12}.$$

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🧩 Exercício 2 Média

Considere

$$f(x)=\frac{3x^2-1}{x^2+2}.$$

Determine $f'(1)$.

Identificamos:

$$u(x)=3x^2-1$$

e

$$v(x)=x^2+2.$$

Suas derivadas são:

$$u'(x)=6x$$

e

$$v'(x)=2x.$$

Aplicando a regra:

$$f'(x) = \frac{ (6x)(x^2+2) - (3x^2-1)(2x) }{ (x^2+2)^2 }.$$

Simplificando:

$$f'(x) = \frac{14x}{(x^2+2)^2}.$$

Para $x=1$:

$$f'(1) = \frac{14}{(1+2)^2}.$$

Logo:

$$\boxed{ f'(1)=\frac{14}{9} }.$$

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🧩 Exercício 3 Média

Considere

$$f(x)=\frac{x+1}{x-2}.$$

Determine $f'(3)$.

Definimos:

$$u(x)=x+1$$

e

$$v(x)=x-2.$$

Assim:

$$u'(x)=1$$

e

$$v'(x)=1.$$

Aplicando a Regra do Quociente:

$$f'(x) = \frac{ (1)(x-2)-(x+1)(1) }{ (x-2)^2 }.$$

Simplificando:

$$f'(x) = \frac{x-2-x-1}{(x-2)^2}.$$

Portanto:

$$f'(x) = \frac{-3}{(x-2)^2}.$$

Em $x=3$:

$$f'(3) = \frac{-3}{(3-2)^2}.$$

Logo:

$$\boxed{f'(3)=-3}.$$

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🧩 Exercício 4 Média

Considere

$$f(x)=\frac{x^2+1}{x}.$$

Determine $f'(2)$ utilizando a Regra do Quociente.

Temos:

$$u(x)=x^2+1$$

e

$$v(x)=x.$$

Logo:

$$u'(x)=2x$$

e

$$v'(x)=1.$$

Aplicando a regra:

$$f'(x) = \frac{ (2x)(x)-(x^2+1)(1) }{ x^2 }.$$

Então:

$$f'(x) = \frac{2x^2-x^2-1}{x^2}.$$

Assim:

$$f'(x) = \frac{x^2-1}{x^2}.$$

Para $x=2$:

$$f'(2) = \frac{4-1}{4}.$$

Portanto:

$$\boxed{ f'(2)=\frac34 }.$$

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🧩 Exercício 5 Difícil

Considere a função

$$f(x)=\frac{x^2+1}{x^2-1}.$$

Determine $f'(2)$.

Temos:

$$u(x)=x^2+1$$

e

$$v(x)=x^2-1.$$

As derivadas são:

$$u'(x)=2x$$

e

$$v'(x)=2x.$$

Aplicando a Regra do Quociente:

$$f'(x) = \frac{ (2x)(x^2-1) - (x^2+1)(2x) }{ (x^2-1)^2 }.$$

Colocando $2x$ em evidência no numerador:

$$f'(x) = \frac{ 2x[(x^2-1)-(x^2+1)] }{ (x^2-1)^2 }.$$

Simplificando:

$$f'(x) = \frac{ 2x(-2) }{ (x^2-1)^2 }.$$

Logo:

$$f'(x) = \frac{-4x}{(x^2-1)^2}.$$

Para $x=2$:

$$f'(2) = \frac{-8}{(4-1)^2}.$$

Portanto:

$$\boxed{ f'(2)=-\frac89 }.$$

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11. Resumo

Para derivar um quociente

$$f(x)=\frac{u(x)}{v(x)},$$

utilizamos:

$$\boxed{ f'(x) = \frac{ u'(x)v(x)-u(x)v'(x) }{ [v(x)]^2 } }$$

O procedimento pode ser resumido em quatro passos:

1. identifique o numerador e o denominador;
2. calcule a derivada de cada um;
3. aplique a fórmula;
4. simplifique o resultado.

A estrutura fundamental é:

$$\boxed{ \frac{ \text{derivada do numerador}\times\text{denominador} - \text{numerador}\times\text{derivada do denominador} }{ \text{denominador}^2 } }$$

Com a Regra do Quociente, já conseguimos derivar uma grande variedade de funções construídas a partir das operações básicas.

Mas ainda existe uma situação muito comum que não foi tratada.

Considere, por exemplo:

$$f(x)=(3x^2+1)^5.$$

Aqui temos uma função elevada a uma potência, mas o que está dentro dos parênteses também depende de $x$.

Para lidar com esse tipo de expressão, precisaremos de uma nova ferramenta.

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12. Próximo passo: Regra da Cadeia

No próximo tópico estudaremos a Regra da Cadeia, que permitirá derivar funções compostas como

$$f(x)=(x^2+1)^5,$$ $$f(x)=\operatorname{sen}(x^2),$$

e

$$f(x)=e^{3x+1}.$$

A Regra da Cadeia será o próximo passo para ampliar nossa capacidade de derivar funções cada vez mais complexas.