Distância entre Pontos

A distância entre dois pontos corresponde ao comprimento do segmento de reta que liga esses pontos.

Considere os pontos $A$ e $B$:

A •---------------------------• B

A distância entre $A$ e $B$ é representada por:

$$AB$$

Se:

$$AB = 8\text{ cm}$$

então a distância entre os pontos $A$ e $B$ é de $8$ cm.

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📏 Distância entre pontos em uma reta

Quando dois pontos estão sobre uma mesma reta, podemos determinar a distância entre eles utilizando a diferença entre suas posições.

Considere:

A •---------• B

Se:

$$A = 3$$

e:

$$B = 10$$

a distância entre eles é:

$$AB = |10-3|$$

Logo:

$$\boxed{AB = 7}$$

Utilizamos o módulo porque a distância nunca pode ser negativa.

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Distância entre pontos em uma reta numérica

Considere dois pontos representados na reta numérica:

0----1----2----3----4----5----6----7----8
          A                         B

Se:

$$A=2$$

e:

$$B=7$$

então:

$$AB=|7-2|$$

Portanto:

$$\boxed{AB=5}$$

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Distância entre dois números

De maneira geral, se dois pontos possuem coordenadas $x_1$ e $x_2$ em uma reta, a distância entre eles é:

$$d=|x_2-x_1|$$

Por exemplo:

$$x_1=4$$

e:

$$x_2=11$$

Então:

$$d=|11-4|$$

Logo:

$$\boxed{d=7}$$

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Distância entre pontos no plano cartesiano

Agora considere dois pontos no plano cartesiano:

$$A(x_1,y_1)$$

e:

$$B(x_2,y_2)$$

A distância entre eles pode ser determinada utilizando o Teorema de Pitágoras.

Considere:

y
↑
│            B •
│             /│
│            / │ 
│         d /  │  
│          /   │   
│         /    │    
│      A •─────┘     
│                    
└────────────────────────→ x

A diferença horizontal entre os pontos é:

$$\Delta x=x_2-x_1$$

A diferença vertical é:

$$\Delta y=y_2-y_1$$

Essas duas diferenças formam os catetos de um triângulo retângulo.

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Fórmula da distância entre dois pontos

Aplicando o Teorema de Pitágoras:

$$d^2=(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2$$

Extraindo a raiz quadrada:

$$\boxed{d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}}$$

Essa é a fórmula da distância entre dois pontos no plano cartesiano.

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Como utilizar a fórmula

Para calcular a distância entre:

$$A(x_1,y_1)$$

e:

$$B(x_2,y_2)$$

devemos seguir estes passos:

1. Identificar as coordenadas

Determine:

$$x_1,\ y_1,\ x_2,\ y_2$$

2. Calcular a diferença das coordenadas $x$

$$x_2-x_1$$

3. Calcular a diferença das coordenadas $y$

$$y_2-y_1$$

4. Elevar as diferenças ao quadrado

$$(x_2-x_1)^2$$

e:

$$(y_2-y_1)^2$$

5. Somar os resultados

$$(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2$$

6. Calcular a raiz quadrada

$$d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$$

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Exemplo 1 — Pontos sobre uma reta

Considere os pontos:

$$A=2$$

e:

$$B=9$$

Determine a distância entre eles.

Ver solução

Resolução

Utilizamos:

$$d=|x_2-x_1|$$

Substituindo:

$$d=|9-2|$$

Logo:

$$\boxed{d=7}$$

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Exemplo 2 — Pontos no plano cartesiano

Considere:

$$A(1,2)$$

e:

$$B(4,6)$$

Determine a distância entre os pontos.

Ver solução

Resolução

Utilizamos a fórmula:

$$d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$$

Substituindo:

$$d=\sqrt{(4-1)^2+(6-2)^2}$$

Calculando as diferenças:

$$d=\sqrt{3^2+4^2}$$

Então:

$$d=\sqrt{9+16}$$$$d=\sqrt{25}$$

Portanto:

$$\boxed{d=5}$$

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Exemplo 3 — Distância horizontal

Considere os pontos:

$$A(2,5)$$

e:

$$B(8,5)$$

Observe que os dois pontos possuem a mesma coordenada $y$.

Ver solução

Resolução

Como os pontos possuem a mesma coordenada $y$, a distância é apenas horizontal.

Podemos calcular:

$$d=|8-2|$$

Logo:

$$\boxed{d=6}$$

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Exemplo 4 — Distância vertical

Considere:

$$A(3,2)$$

e:

$$B(3,9)$$

Os dois pontos possuem a mesma coordenada $x$.

Ver solução

Resolução

Como os pontos possuem a mesma coordenada $x$, a distância é vertical.

Assim:

$$d=|9-2|$$

Portanto:

$$\boxed{d=7}$$

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Distância e Teorema de Pitágoras

A fórmula da distância entre dois pontos é uma aplicação direta do Teorema de Pitágoras.

Se:

$$A(x_1,y_1)$$

e:

$$B(x_2,y_2)$$

podemos construir um triângulo retângulo.

Seus catetos possuem medidas:

$$|\Delta x|=|x_2-x_1|$$

e:

$$|\Delta y|=|y_2-y_1|$$

A distância $d$ entre os pontos corresponde à hipotenusa.

Portanto:

$$d^2=(\Delta x)^2+(\Delta y)^2$$

e:

$$d=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}$$

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Distância entre pontos simétricos

Considere dois pontos:

$$A(-3,0)$$

e:

$$B(3,0)$$

Eles são simétricos em relação ao eixo $y$.

A distância entre eles é:

$$d=|3-(-3)|$$

Logo:

$$\boxed{d=6}$$

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Distância entre um ponto e a origem

A origem do plano cartesiano é:

$$O(0,0)$$

Considere um ponto:

$$A(x,y)$$

A distância entre $O$ e $A$ é:

$$d=\sqrt{(x-0)^2+(y-0)^2}$$

Portanto:

$$\boxed{d=\sqrt{x^2+y^2}}$$

Exemplo

Considere:

$$A(3,4)$$

Então:

$$d=\sqrt{3^2+4^2}$$ $$d=\sqrt{9+16}$$ $$\boxed{d=5}$$

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Propriedades da distância

A distância entre dois pontos possui algumas propriedades importantes.

1. A distância nunca é negativa

Sempre:

$$d\geq0$$

2. A distância de um ponto até ele mesmo é zero

$$AA=0$$

3. A distância é a mesma nos dois sentidos

$$AB=BA$$

4. Pontos coincidentes possuem distância zero

Se:

$$A=B$$

então:

$$AB=0$$

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🧠 Resumo

• A distância entre dois pontos corresponde ao comprimento do segmento que os liga.
• Em uma reta numérica:

$$d=|x_2-x_1|$$

• No plano cartesiano:

$$d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$$

• A fórmula da distância é uma aplicação do Teorema de Pitágoras.
• A distância nunca é negativa:

$$d\geq0$$

• A distância é simétrica:

$$AB=BA$$

• A distância entre um ponto e a origem é:

$$d=\sqrt{x^2+y^2}$$

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📝 Exercícios

🧩 Exercício 1 Fácil

Na reta numérica, considere os pontos $A=3$ e $B=11$. Qual é a distância entre eles?

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🧩 Exercício 2 Fácil

Considere os pontos $A(1,2)$ e $B(1,8)$. Qual é a distância entre eles?

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🧩 Exercício 3 Fácil

Considere os pontos $A(2,3)$ e $B(7,3)$. Qual é a distância entre eles?

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🧩 Exercício 4 Médio

Considere os pontos $A(0,0)$ e $B(3,4)$. Qual é a distância entre eles?

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🧩 Exercício 5 Médio

Considere os pontos $A(1,2)$ e $B(4,6)$. Qual é a distância entre eles?

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🧩 Exercício 6 Médio

Considere os pontos $A(-2,1)$ e $B(4,9)$. Qual é a distância entre eles?

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🧩 Exercício 7 Médio

Qual fórmula representa a distância entre os pontos $A(x_1,y_1)$ e $B(x_2,y_2)$ no plano cartesiano?

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🧩 Exercício 8 Médio

Considere o ponto $A(6,8)$. Qual é a distância entre $A$ e a origem $O(0,0)$?

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🧩 Exercício 9 Médio

Dois pontos possuem coordenadas $A(-4,3)$ e $B(2,3)$. Qual é a distância entre eles?

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🧩 Exercício 10 Médio

Se dois pontos $A$ e $B$ são coincidentes, qual é a distância entre eles?