UERJ 2026 2ª Exame de Qualificação: Prova de Matemática Resolvida

🧩 Exercício 30 UERJ 2026Fácil

Uma herança foi dividida em exatamente duas partes: $x$, que é inversamente proporcional a 2, e $y$, que é inversamente proporcional a 3.

A parte $x$ é igual a uma fração da herança que equivale a:

Resolução

A questão aborda divisão em partes inversamente proporcionais.

1. Interpretando a proporcionalidade

O enunciado informa que:

• A parte $x$ é inversamente proporcional a 2.
• A parte $y$ é inversamente proporcional a 3.

Quando duas partes são inversamente proporcionais a determinados valores, elas são diretamente proporcionais aos inversos desses valores.

Assim:

$$x:y=\frac{1}{2}:\frac{1}{3}$$

2. Determinando a razão entre as partes

Para simplificar a razão, multiplicamos os dois termos por 6, que é o mínimo múltiplo comum entre 2 e 3:

$$x:y=3:2$$

Isso significa que podemos representar as partes por:

$$x=3k$$$$y=2k$$

3. Calculando a fração correspondente à parte x

A herança total corresponde à soma das duas partes:

$$H=x+y$$

Substituindo:

$$H=3k+2k$$$$H=5k$$

A fração da herança correspondente à parte $x$ será:

$$\frac{x}{H}=\frac{3k}{5k}$$

Simplificando:

$$\boxed{\frac{x}{H}=\frac{3}{5}}$$

Conclusão

A parte $x$ corresponde a três quintos da herança.

$$\boxed{\text{Alternativa A}}$$

Conceito importante: na divisão inversamente proporcional, quanto maior o número de referência, menor será a parte recebida. Por isso, a parte associada ao número 2 é maior que aquela associada ao número 3.

🧩 Exercício 31 UERJ 2026Médio

No triângulo equilátero $ABC$, $H$ corresponde ao ponto médio do lado $AC$. Desse modo, a área do triângulo $ABH$ é igual à metade da área de $ABC$.

Sendo $W$ o perímetro do triângulo $ABH$ e $Y$ o perímetro do triângulo $ABC$, uma relação correta entre $W$ e $Y$ é:

Resolução

A questão envolve propriedades do triângulo equilátero, cálculo de perímetros e aplicação do teorema de Pitágoras.

1. Identificando os lados do triângulo equilátero

Como o triângulo $ABC$ é equilátero, todos os seus lados possuem a mesma medida. Vamos representar essa medida por $a$.

Assim:

$$AB=BC=AC=a$$

O ponto $H$ é o ponto médio de $AC$. Portanto:

$$AH=HC=\frac{a}{2}$$

O perímetro do triângulo $ABC$ é:

$$Y=3a$$

2. Determinando a medida de BH

Como $ABC$ é equilátero, a mediana relativa ao lado $AC$ também é uma altura.

Consequentemente, o triângulo $ABH$ é retângulo em $H$.

Aplicando o teorema de Pitágoras:

$$BH^2+AH^2=AB^2$$

Substituindo os valores conhecidos:

$$BH^2+\left(\frac{a}{2}\right)^2=a^2$$$$BH^2=a^2-\frac{a^2}{4}$$$$BH^2=\frac{3a^2}{4}$$

Extraindo a raiz quadrada:

$$\boxed{BH=\frac{a\sqrt{3}}{2}}$$

3. Calculando o perímetro W

O perímetro do triângulo $ABH$ é a soma de seus três lados:

$$W=AB+AH+BH$$

Substituindo:

$$W=a+\frac{a}{2}+\frac{a\sqrt{3}}{2}$$

Colocando $a/2$ em evidência:

$$\boxed{W=\frac{a}{2}(3+\sqrt{3})}$$

4. Comparando os perímetros W e Y

Sabemos que o perímetro do triângulo maior é:

$$Y=3a$$

Dividindo por 2:

$$\frac{Y}{2}=\frac{3a}{2}$$

Como $\sqrt{3}>0$, temos:

$$\frac{a}{2}(3+\sqrt{3})>\frac{3a}{2}$$

Portanto:

$$W>\frac{Y}{2}$$

Além disso, como $\sqrt{3}<3$:

$$\frac{a}{2}(3+\sqrt{3})<3a$$

Logo:

$$W<Y$$

Conclusão

Reunindo as duas desigualdades:

$$\boxed{\frac{Y}{2}<W<Y}$$

A relação correta entre os perímetros é:

$$\boxed{\text{Alternativa C}}$$

Conceito importante: em um triângulo equilátero, a mediana relativa a qualquer lado também é altura e bissetriz. Essa propriedade permite dividir o triângulo em dois triângulos retângulos e aplicar o teorema de Pitágoras.

🧩 Exercício 32 UERJ 2026Fácil

No mapa mensal de um hospital, foi registrado o total de 800 cirurgias ortopédicas, sendo 440 em homens, conforme os gráficos abaixo.

No gráfico de cirurgias totais, as cirurgias de fêmur correspondem a 45% do total. No gráfico de cirurgias em homens, as cirurgias de fêmur correspondem a 40% do total realizado em homens.

De acordo com esses dados, o número total de cirurgias de fêmur realizadas em mulheres foi:

Resolução

A questão envolve interpretação de gráficos de setores e cálculo de porcentagens. Precisamos descobrir quantas cirurgias de fêmur foram realizadas em mulheres.

1. Determinando o total de cirurgias de fêmur

O hospital realizou 800 cirurgias ortopédicas, e o gráfico informa que 45% delas foram cirurgias de fêmur.

Calculando:

$$N_{\text{total}}=800\cdot\frac{45}{100}$$$$N_{\text{total}}=800\cdot0,45$$$$\boxed{N_{\text{total}}=360}$$

Portanto, foram realizadas 360 cirurgias de fêmur em homens e mulheres.

2. Determinando as cirurgias de fêmur em homens

O enunciado informa que foram realizadas 440 cirurgias em homens.

De acordo com o segundo gráfico, 40% dessas cirurgias foram de fêmur.

Assim:

$$N_{\text{homens}}=440\cdot\frac{40}{100}$$$$N_{\text{homens}}=440\cdot0,40$$$$\boxed{N_{\text{homens}}=176}$$

3. Calculando as cirurgias de fêmur em mulheres

Sabemos que o total de cirurgias de fêmur foi de 360, sendo 176 realizadas em homens.

Logo, a quantidade realizada em mulheres corresponde à diferença:

$$N_{\text{mulheres}}=N_{\text{total}}-N_{\text{homens}}$$

Substituindo:

$$N_{\text{mulheres}}=360-176$$

Portanto:

$$\boxed{N_{\text{mulheres}}=184}$$

Conclusão

O número de cirurgias de fêmur realizadas em mulheres foi igual a 184.

$$\boxed{\text{Alternativa C}}$$

Conceito importante: ao interpretar gráficos de setores, observe sempre a qual total cada porcentagem se refere. Neste problema, os 45% são calculados sobre as 800 cirurgias, enquanto os 40% são calculados apenas sobre as 440 cirurgias realizadas em homens.

🧩 Exercício 33 UERJ 2026Médio

A imagem a seguir ilustra um prisma triangular regular. Sua aresta da base mede $b$ e sua aresta lateral mede $h$.

Esse prisma é seccionado por um plano BCP, de modo que o volume da pirâmide ABCP seja exatamente $\dfrac{1}{9}$ do volume total do prisma.

Logo, a medida de $AP$ é igual a:

Resolução

A questão envolve o cálculo de volumes de prismas e pirâmides. A ideia principal é comparar os volumes dos dois sólidos utilizando a mesma área da base.

1. Calculando o volume do prisma

O volume de um prisma é dado pelo produto da área da base pela altura:

$$V_{\text{prisma}}=A_b\cdot h$$

Como a base é um triângulo equilátero de lado $b$, sua área é:

$$A_b=\frac{b^2\sqrt{3}}{4}$$

Portanto:

$$V_{\text{prisma}}=\frac{b^2\sqrt{3}}{4}\cdot h$$

2. Calculando o volume da pirâmide ABCP

A pirâmide ABCP possui como base o triângulo ABC, que corresponde a uma das bases do prisma.

Sua altura é o segmento $AP$, pois a aresta lateral $AD$ é perpendicular ao plano da base ABC.

O volume de uma pirâmide é calculado por:

$$V_{\text{pirâmide}}=\frac{A_b\cdot H}{3}$$

Nesse caso, $H=AP$. Logo:

$$V_{\text{pirâmide}}=\frac{A_b\cdot AP}{3}$$

3. Utilizando a relação entre os volumes

O enunciado informa que o volume da pirâmide corresponde a um nono do volume do prisma:

$$V_{\text{pirâmide}}=\frac{1}{9}V_{\text{prisma}}$$

Substituindo as expressões dos volumes:

$$\frac{A_b\cdot AP}{3} = \frac{1}{9}\cdot A_b\cdot h$$

Podemos simplificar a área da base, pois ela aparece nos dois lados da igualdade:

$$\frac{AP}{3}=\frac{h}{9}$$

Multiplicando ambos os lados por 3:

$$AP=\frac{3h}{9}$$

Portanto:

$$\boxed{AP=\frac{h}{3}}$$

Conclusão

A medida do segmento $AP$ corresponde a um terço da aresta lateral do prisma.

$$\boxed{\text{Alternativa B}}$$

Conceito importante: quando uma pirâmide e um prisma possuem a mesma área da base e alturas relacionadas, a comparação entre seus volumes pode ser feita diretamente pelas fórmulas:

$$V_{\text{prisma}}=A_bh$$$$V_{\text{pirâmide}}=\frac{A_bH}{3}$$

🧩 Exercício 34 UERJ 2026Médio

Um jogo consiste em lançar cinco vezes um dado cúbico, cujas faces são numeradas de 1 a 6, cada uma com a mesma probabilidade de ocorrer. Um jogador é considerado vencedor se obtiver pelo menos três resultados pares.

A probabilidade de um jogador vencer é:

Resolução

A questão envolve probabilidade de eventos independentes e contagem de possibilidades.

O jogador realiza cinco lançamentos e vence se obtiver pelo menos três resultados pares. Isso significa que precisamos considerar as seguintes situações:

• Exatamente 3 resultados pares;
• Exatamente 4 resultados pares;
• Exatamente 5 resultados pares.

1. Determinando a probabilidade de cada resultado

Um dado possui seis faces, sendo três pares ($2$, $4$ e $6$) e três ímpares ($1$, $3$ e $5$).

Portanto:

$$P(\text{par})=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$$$$P(\text{ímpar})=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$$

Como os lançamentos são independentes, a probabilidade de cada sequência pode ser calculada multiplicando as probabilidades dos resultados.

2. Calculando a probabilidade de obter exatamente 3 resultados pares

Em cinco lançamentos, precisamos escolher quais três posições apresentarão resultados pares.

O número de maneiras de fazer essa escolha é dado pela combinação:

$$C_{5,3}=\frac{5!}{3!\cdot2!}=10$$

Cada sequência com três resultados pares e dois ímpares possui probabilidade:

$$\left(\frac{1}{2}\right)^3 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{32}$$

Assim:

$$P(3\text{ pares})=10\cdot\frac{1}{32}$$$$\boxed{P(3\text{ pares})=\frac{10}{32}}$$

3. Calculando a probabilidade de obter exatamente 4 resultados pares

Escolhemos quatro das cinco posições para apresentar resultados pares:

$$C_{5,4}=\frac{5!}{4!\cdot1!}=5$$

Cada sequência possui probabilidade igual a $1/32$. Portanto:

$$P(4\text{ pares})=5\cdot\frac{1}{32}$$$$\boxed{P(4\text{ pares})=\frac{5}{32}}$$

4. Calculando a probabilidade de obter 5 resultados pares

Nesse caso, todos os cinco lançamentos devem apresentar resultados pares.

Existe apenas uma possibilidade de distribuição entre pares e ímpares:

$$C_{5,5}=1$$

Logo:

$$P(5\text{ pares})=1\cdot\frac{1}{32}$$$$\boxed{P(5\text{ pares})=\frac{1}{32}}$$

5. Determinando a probabilidade de vitória

Como as três situações são mutuamente exclusivas, podemos somar suas probabilidades:

$$P(\text{vitória})= \frac{10}{32}+\frac{5}{32}+\frac{1}{32}$$$$P(\text{vitória})=\frac{16}{32}$$

Simplificando:

$$\boxed{P(\text{vitória})=\frac{1}{2}}$$

Conclusão

A probabilidade de o jogador obter pelo menos três resultados pares em cinco lançamentos é:

$$\boxed{\text{Alternativa D}}$$

Conceito importante: quando um problema envolve uma quantidade fixa de tentativas independentes, com duas possibilidades de resultado, podemos utilizar a distribuição binomial:

$$P(X=k)=C_{n,k}\cdot p^k\cdot(1-p)^{n-k}$$

Em que $n$ representa o número de tentativas, $k$ a quantidade de sucessos e $p$ a probabilidade de sucesso em cada tentativa.

🧩 Exercício 35 UERJ 2026Médio

Considere a sequência $(a_n)=(2,3,1,-2,\ldots)$, $n\in\mathbb{N}^*$, com 70 termos, cuja fórmula de recorrência é:

$$a_n=a_{n-1}-a_{n-2}$$

O último termo dessa sequência é:

Resolução

A questão apresenta uma sequência definida por recorrência. Isso significa que cada termo é calculado a partir de termos anteriores.

A fórmula fornecida é:

$$a_n=a_{n-1}-a_{n-2}$$

Os dois primeiros termos são:

$$a_1=2 \qquad a_2=3$$

Precisamos determinar o 70º termo.

1. Calculando os primeiros termos

Aplicando a fórmula de recorrência:

Terceiro termo:

$$a_3=a_2-a_1=3-2=1$$

Quarto termo:

$$a_4=a_3-a_2=1-3=-2$$

Quinto termo:

$$a_5=a_4-a_3=-2-1=-3$$

Sexto termo:

$$a_6=a_5-a_4=-3-(-2)=-1$$

Sétimo termo:

$$a_7=a_6-a_5=-1-(-3)=2$$

Observe que o sétimo termo é igual ao primeiro. Portanto, a sequência começa a repetir seus valores.

2. Identificando o período

Os primeiros termos são:

$$2,\ 3,\ 1,\ -2,\ -3,\ -1,\ 2,\ 3,\ 1,\ -2,\ldots$$

Percebemos que os seis primeiros termos se repetem indefinidamente.

Assim, a sequência possui período 6.

3. Determinando o 70º termo

Como o período é 6, dividimos 70 por 6 para identificar a posição correspondente dentro do ciclo:

$$70=6\cdot11+4$$

O resto da divisão é 4. Portanto, o 70º termo corresponde ao quarto elemento do ciclo.

Como:

$$a_4=-2$$

Concluímos que:

$$\boxed{a_{70}=-2}$$

Conclusão

O último termo da sequência é igual a $-2$.

$$\boxed{\text{Alternativa D}}$$

Conceito importante: em sequências periódicas, podemos determinar termos muito distantes identificando o período e utilizando o resto da divisão do índice pelo comprimento do ciclo.