UERJ 2026 1ª Exame de Qualificação: Prova de Matemática Resolvida

🧩 Exercício 28 UERJ 2026Fácil

Sabe-se que 1 radiano é a medida do ângulo central $\theta = A\hat{O}B$ de uma circunferência cujo arco $\overset{\frown}{AB}$ tem o mesmo comprimento do raio $OA$.

Admita que uma partícula percorra, em uma trajetória circular de raio $OA$ igual a 300 cm, um arco de circunferência $\overset{\frown}{AB}$ que mede 600 cm.

Nesse caso, a medida do ângulo central $A\hat{O}B$, em radianos, é igual a:

Resolução

A questão aborda a definição de radiano e sua relação com o comprimento do arco de uma circunferência.

1. Entendendo o radiano

Um radiano corresponde à medida de um ângulo central cujo arco possui comprimento igual ao raio da circunferência.

De maneira geral, a medida de um ângulo em radianos é calculada pela razão entre o comprimento do arco e o raio:

$$\theta = \frac{L}{r}$$

Em que:

• $\theta$ é o ângulo central, em radianos;
• $L$ é o comprimento do arco;
• $r$ é o raio da circunferência.

2. Identificando os dados

De acordo com o enunciado:

$$r = 300\text{ cm}$$$$L = 600\text{ cm}$$

3. Calculando o ângulo central

Aplicando a relação:

$$\theta = \frac{L}{r}$$

Substituindo os valores:

$$\theta = \frac{600}{300}$$

Portanto:

$$\boxed{\theta = 2\text{ rad}}$$

Conclusão

A medida do ângulo central é igual a 2 radianos.

$$\boxed{\text{Alternativa A}}$$

Conceito importante: sempre que forem conhecidos o comprimento do arco e o raio da circunferência, podemos determinar o ângulo em radianos pela relação:

$$\boxed{L = \theta \cdot r}$$

🧩 Exercício 29 UERJ 2026Fácil

Para determinado tipo de aplicação financeira, um banco oferece a taxa de juros de 12% ao ano. Do rendimento obtido nessa aplicação, é descontado apenas o percentual de imposto de renda, de acordo com a tabela a seguir.

Imposto de renda

Número de dias na aplicação	Desconto
Até 180	22,5%
De 181 a 360	20%
De 361 a 720	17,5%
Acima de 720	15%

Assim, se um cliente deixar o dinheiro aplicado nesse banco por 800 dias, seu rendimento em um ano, já descontado o imposto de renda, será igual a $12\%\times 0,85=10,2\%$.

Considere que esse banco passou a taxa de juros para 13,5% ao ano, mantendo as demais condições.

Com essa nova taxa, o rendimento anual para o dinheiro aplicado por 300 dias, já descontado o imposto de renda, será igual a:

Resolução

A questão envolve matemática financeira e cálculo de porcentagem. Precisamos determinar o rendimento anual líquido, ou seja, o rendimento após o desconto do imposto de renda.

1. Identificando a faixa de tributação

O dinheiro permanecerá aplicado durante 300 dias.

Consultando a tabela do enunciado:

$$181\leq 300\leq 360$$

Portanto, o desconto do imposto de renda será de 20%.

Isso significa que o cliente ficará com 80% do rendimento bruto.

2. Identificando a nova taxa de juros

A nova taxa oferecida pelo banco é:

$$i=13,5\%\text{ ao ano}$$

Como o imposto incide somente sobre o rendimento, devemos descontar 20% dessa taxa.

3. Calculando o rendimento líquido

Podemos calcular diretamente:

$$i_{\text{líquido}}=13,5\%\times(1-0,20)$$$$i_{\text{líquido}}=13,5\%\times0,80$$$$i_{\text{líquido}}=10,8\%$$

Conclusão

Após o desconto de 20% de imposto de renda sobre o rendimento bruto, a taxa anual líquida será de 10,8%.

$$\boxed{\text{Alternativa D}}$$

Dica: quando um desconto percentual incide sobre um rendimento, basta multiplicar o valor original pelo fator restante. Por exemplo, um desconto de 20% corresponde a multiplicar por 0,80.

🧩 Exercício 30 UERJ 2026Fácil

Em uma padaria, o custo total de produção dos pães é composto de três itens: 30% de mão de obra; 50% de matéria-prima; 20% de energia elétrica. Admita as seguintes elevações percentuais sobre o custo desses itens:

• 10% na mão de obra;
• 20% na matéria-prima;
• 10% na energia elétrica.

Com as elevações, o custo total de produção dos pães, nessa padaria, sofrerá aumento de:

Resolução

A questão aborda o aumento percentual de um custo composto por diferentes componentes. Como cada componente possui uma participação diferente no custo total, precisamos considerar o peso de cada um no cálculo.

1. Organizando os dados

O custo total de produção está dividido da seguinte maneira:

Componente	Participação no custo	Aumento
Mão de obra	30%	10%
Matéria-prima	50%	20%
Energia elétrica	20%	10%

2. Calculando a contribuição de cada aumento

Mão de obra:

A mão de obra representa 30% do custo total e sofreu aumento de 10%.

$$30\%\times 10\%=3\%$$

Matéria-prima:

A matéria-prima representa 50% do custo total e sofreu aumento de 20%.

$$50\%\times 20\%=10\%$$

Energia elétrica:

A energia elétrica representa 20% do custo total e sofreu aumento de 10%.

$$20\%\times 10\%=2\%$$

3. Determinando o aumento total

Somando as contribuições dos três componentes:

$$3\%+10\%+2\%=15\%$$

Portanto, o custo total de produção sofrerá um aumento de:

$$\boxed{15\%}$$

Conclusão

O aumento percentual total é de 15%.

$$\boxed{\text{Alternativa C}}$$

Conceito importante: quando diferentes componentes possuem participações distintas em um valor total, utilizamos uma média ponderada para calcular o aumento percentual.

$$I=0,30(10)+0,50(20)+0,20(10)$$$$\boxed{I=15\%}$$

🧩 Exercício 31 UERJ 2026Fácil

Para a fabricação de até 1000 embalagens, uma indústria tem o custo fixo inicial de R$ 400,00 somado ao custo de R$ 3,00 por unidade produzida, sendo cada embalagem vendida por R$ 6,00.

Sabe-se que o custo total de produção $C(x)$ e o valor total obtido com a venda das embalagens $V(x)$, sendo $x$ um número natural, podem ser modelados pelas funções:

$$C(x)=400+3x,\quad 0\leq x\leq 1000$$$$V(x)=6x,\quad 0\leq x\leq 1000$$

Para alcançar o lucro mínimo igual ao custo fixo inicial mais R$ 100,00, deve ser fabricada a seguinte quantidade de embalagens:

Resolução

A questão envolve funções afins e matemática financeira. Para determinar a quantidade de embalagens que deve ser produzida, precisamos encontrar o lucro da indústria.

1. Identificando as funções

O custo total de produção é:

$$C(x)=400+3x$$

A receita obtida com a venda das embalagens é:

$$V(x)=6x$$

O lucro corresponde à diferença entre a receita e o custo total:

$$L(x)=V(x)-C(x)$$

2. Construindo a função lucro

Substituindo as funções de receita e custo:

$$L(x)=6x-(400+3x)$$

Aplicando a propriedade distributiva:

$$L(x)=6x-400-3x$$

Simplificando:

$$\boxed{L(x)=3x-400}$$

3. Determinando o lucro desejado

O enunciado estabelece que o lucro mínimo deve ser igual ao custo fixo inicial acrescido de R$ 100,00.

Como o custo fixo inicial é R$ 400,00:

$$L_{\text{mínimo}}=400+100$$$$L_{\text{mínimo}}=500$$

Portanto, devemos encontrar a quantidade de embalagens necessária para obter um lucro de R$ 500,00.

4. Calculando a quantidade de embalagens

Igualando a função lucro ao valor desejado:

$$3x-400=500$$

Isolando a incógnita:

$$3x=500+400$$$$3x=900$$$$x=\frac{900}{3}$$

Logo:

$$\boxed{x=300}$$

Conclusão

Para alcançar o lucro mínimo de R$ 500,00, a indústria deverá fabricar 300 embalagens.

$$\boxed{\text{Alternativa C}}$$

Conceito importante: o lucro de uma empresa é calculado pela diferença entre a receita obtida com as vendas e o custo total de produção.

$$\boxed{L(x)=V(x)-C(x)}$$

🧩 Exercício 32 UERJ 2026Médio

Um conjunto $A$ é composto de 8 números inteiros. Sobre seus elementos, sabe-se que:

• A média dos dois menores é 64;
• A média dos três menores é 68;
• A média dos quatro menores é 72.

Admita que as médias mantenham o padrão acima, formando uma PA até a média dos 8 elementos do conjunto $A$.

O maior elemento do conjunto é:

Resolução

A questão envolve média aritmética e progressão aritmética (PA). O objetivo é descobrir o maior elemento de um conjunto a partir das médias dos seus menores elementos.

1. Identificando a progressão aritmética

O enunciado informa que as médias dos dois, três e quatro menores elementos são, respectivamente:

$$64,\quad 68,\quad 72$$

Observe que a diferença entre médias consecutivas é constante:

$$68-64=4$$$$72-68=4$$

Portanto, essas médias formam uma PA de razão:

$$r=4$$

Como o padrão continua até a média dos oito elementos, temos:

$$\boxed{64,\ 68,\ 72,\ 76,\ 80,\ 84,\ 88}$$

Esses valores representam as médias dos 2, 3, 4, 5, 6, 7 e 8 menores elementos, respectivamente.

2. Calculando as somas dos elementos

Lembre-se de que a média aritmética é dada pela soma dos elementos dividida pela quantidade de elementos:

$$M=\frac{S}{n}$$

Logo:

$$S=n\cdot M$$

Vamos calcular a soma dos elementos para cada quantidade:

Quantidade de elementos	Média	Soma
2	64	128
3	68	204
4	72	288
5	76	380
6	80	480
7	84	588
8	88	704

3. Determinando o maior elemento

Como os elementos estão organizados em ordem crescente, podemos encontrar cada novo elemento pela diferença entre duas somas consecutivas.

Por exemplo, o terceiro elemento é:

$$a_3=S_3-S_2$$$$a_3=204-128=76$$

Da mesma forma, o quarto elemento é:

$$a_4=288-204=84$$

Para encontrar o oitavo elemento, que é o maior do conjunto:

$$a_8=S_8-S_7$$

Substituindo os valores:

$$a_8=704-588$$

Portanto:

$$\boxed{a_8=116}$$

Conclusão

O maior elemento do conjunto é 116.

$$\boxed{\text{Alternativa B}}$$

Conceito importante: quando conhecemos as médias de conjuntos crescentes formados pelos menores elementos, podemos determinar a soma de cada conjunto multiplicando a média pela quantidade de elementos. A diferença entre duas somas consecutivas fornece o elemento acrescentado.

🧩 Exercício 33 UERJ 2026Fácil

Observe os quatro primeiros elementos de uma sequência de figuras formadas por quadradinhos.

Essas figuras seguem um mesmo padrão, ou seja, cada uma tem dois quadradinhos a mais do que a anterior.

O número total de quadradinhos necessários para formar as 17 primeiras figuras dessa sequência é:

Resolução

A questão envolve uma sequência de figuras que pode ser representada por uma progressão aritmética (PA). Precisamos determinar a quantidade total de quadradinhos utilizados na construção das 17 primeiras figuras.

1. Identificando o padrão da sequência

Contando os quadradinhos de cada figura, obtemos:

Figura	Quantidade de quadradinhos
1	1
2	3
3	5
4	7

Observe que cada figura possui dois quadradinhos a mais que a anterior.

Assim, temos a seguinte PA:

$$1,\ 3,\ 5,\ 7,\ 9,\ldots$$

O primeiro termo e a razão são:

$$a_1=1$$$$r=2$$

2. Determinando a quantidade de quadradinhos da 17ª figura

Para encontrar a quantidade de quadradinhos da última figura, utilizamos o termo geral da PA:

$$a_n=a_1+(n-1)r$$

Substituindo os valores:

$$a_{17}=1+(17-1)\cdot2$$$$a_{17}=1+32$$$$\boxed{a_{17}=33}$$

Portanto, a 17ª figura possui 33 quadradinhos.

3. Calculando o total das 17 primeiras figuras

A questão solicita a quantidade total de quadradinhos utilizados na construção de todas as 17 figuras.

Para isso, utilizamos a fórmula da soma dos termos de uma PA:

$$S_n=\frac{(a_1+a_n)\cdot n}{2}$$

Substituindo os valores encontrados:

$$S_{17}=\frac{(1+33)\cdot17}{2}$$$$S_{17}=\frac{34\cdot17}{2}$$

Simplificando:

$$S_{17}=17\cdot17$$

Logo:

$$\boxed{S_{17}=289}$$

Conclusão

O número total de quadradinhos necessários para formar as 17 primeiras figuras é 289.

$$\boxed{\text{Alternativa B}}$$

Conceito importante: quando uma sequência apresenta uma quantidade que aumenta sempre pelo mesmo valor, podemos representá-la por uma progressão aritmética. Para calcular a soma de seus termos, utilizamos:

$$\boxed{S_n=\frac{(a_1+a_n)\cdot n}{2}}$$

🧩 Exercício 34 UERJ 2026Fácil

Uma urna contém cinco bolas numeradas de 1 a 5, que serão sorteadas por duas crianças. Para formar um número de dois algarismos, cada criança retira ao acaso uma bola dessa urna. O algarismo das dezenas será a primeira bola retirada e o algarismo das unidades, a segunda.

Se o número formado for par, ganhará um picolé a primeira criança que retirar a bola da urna; se for ímpar, ganhará a segunda criança.

A probabilidade de a primeira criança ganhar o picolé é igual a:

Resolução

A questão envolve probabilidade em um sorteio sem reposição. Precisamos determinar a probabilidade de a primeira criança ganhar o picolé.

1. Identificando a condição para a vitória

O número formado possui dois algarismos:

• A primeira bola retirada representa o algarismo das dezenas.
• A segunda bola retirada representa o algarismo das unidades.

Um número é par quando seu último algarismo é par.

Portanto, para que a primeira criança ganhe, o segundo algarismo precisa ser par.

Entre as cinco bolas disponíveis:

$$\{1,2,3,4,5\}$$

As bolas com números pares são:

$$\{2,4\}$$

Assim, existem duas possibilidades favoráveis para o algarismo das unidades.

2. Calculando a probabilidade

Como duas bolas são retiradas sem reposição, podemos analisar diretamente a probabilidade de a segunda bola ser par.

Existem 5 bolas inicialmente, das quais 2 são pares.

A probabilidade de a primeira bola retirada ser par é:

$$P_1=\frac{2}{5}$$

Se a primeira bola for ímpar, ainda restarão duas bolas pares entre quatro bolas. Se for par, restará uma bola par entre quatro.

Assim, pela probabilidade total:

$$P(\text{segunda par})= \frac{2}{5}\cdot\frac{1}{4} + \frac{3}{5}\cdot\frac{2}{4}$$

Calculando:

$$P(\text{segunda par})= \frac{2}{20}+\frac{6}{20}$$$$P(\text{segunda par})=\frac{8}{20}$$

Simplificando:

$$P(\text{segunda par})=\frac{2}{5}$$

3. Convertendo para porcentagem

$$P=\frac{2}{5}\cdot100\%$$$$\boxed{P=40\%}$$

Conclusão

A primeira criança ganha quando o número formado é par, o que acontece quando a segunda bola retirada possui número par.

A probabilidade é de 40%.

$$\boxed{\text{Alternativa A}}$$

Conceito importante: a paridade de um número inteiro é determinada pelo seu último algarismo. Portanto, para saber se um número de dois algarismos é par, basta observar o algarismo das unidades.