UERJ 2025 2ª Exame de Qualificação: Prova de Matemática Resolvida

🧩 Exercício 28 UERJ 2025Fácil

No gráfico a seguir, está indicada a comparação entre os números de acidentes de trânsito, ocorridos durante o mês de março, nas avenidas A, B, C e D.

Em abril foi feito outro gráfico, na mesma escala, e observou-se que o número de acidentes, de março para abril, reduziu pela metade em duas dessas avenidas, sem se alterar nas duas outras.

O gráfico que representa a comparação entre os números de acidentes, nessas avenidas, em abril é:

Resolução

A questão exige interpretar o gráfico original e identificar quais avenidas tiveram redução de 50% no número de acidentes.

1. Identificando os valores de março

Observando o gráfico, temos:

Avenida	Acidentes em março
A	4
B	2
C	2
D	1

2. Calculando as possíveis reduções

Uma redução pela metade significa dividir o valor original por 2.

Assim, temos:

• Avenida A: de 4 para 2;
• Avenida B: de 2 para 1;
• Avenida C: de 2 para 1;
• Avenida D: de 1 para 0,5.

Entretanto, o enunciado estabelece que exatamente duas avenidas sofreram redução, enquanto as outras duas mantiveram seus valores.

3. Analisando as alternativas

Na alternativa C, os valores apresentados são:

Avenida	Acidentes em março	Acidentes em abril
A	4	2
B	2	2
C	2	1
D	1	1

Observe que:

• A avenida A teve redução de 4 para 2;
• A avenida C teve redução de 2 para 1;
• As avenidas B e D permaneceram inalteradas.

Portanto, exatamente duas avenidas tiveram seus números de acidentes reduzidos pela metade.

Conclusão

O gráfico que representa corretamente a situação descrita é:

$$\boxed{\text{Alternativa C}}$$

Conceito importante: reduzir um valor pela metade equivale a multiplicá-lo por $0,5$ ou dividi-lo por 2.

🧩 Exercício 29 UERJ 2025Médio

Um fabricante reduziu a embalagem de seus sucos, mantendo o preço de venda, que era de R$ 10,00 por unidade. Na tabela estão apresentadas informações do custo do produto para o fabricante, antes e depois da redução.

O aumento percentual do lucro do fabricante, por unidade, em relação ao custo foi igual a:

Resolução

A questão envolve cálculo de lucro e comparação percentual entre o lucro e o custo de produção, antes e depois da redução da embalagem.

O preço de venda permaneceu constante em R$ 10,00 por unidade.

1. Calculando o custo e o lucro antes da redução

Antes da redução, os custos eram:

• Embalagem: R$ 2,50;
• Conteúdo: R$ 2,50.

Portanto, o custo total era:

$$C_1=2,50+2,50$$$$C_1=5,00$$

O lucro corresponde à diferença entre o preço de venda e o custo:

$$L_1=10-5$$$$\boxed{L_1=5,00}$$

Calculando o lucro em relação ao custo:

$$P_1=\frac{5}{5}\cdot100$$$$\boxed{P_1=100\%}$$

2. Calculando o custo e o lucro depois da redução

Após a redução, os custos passaram a ser:

• Embalagem: R$ 2,00;
• Conteúdo: R$ 2,00.

O novo custo total é:

$$C_2=2,00+2,00$$$$C_2=4,00$$

Como o preço de venda continua sendo R$ 10,00, o novo lucro é:

$$L_2=10-4$$$$\boxed{L_2=6,00}$$

Calculando o lucro em relação ao novo custo:

$$P_2=\frac{6}{4}\cdot100$$$$\boxed{P_2=150\%}$$

3. Determinando o aumento percentual

Antes da redução, o lucro correspondia a 100% do custo. Depois da redução, passou a corresponder a 150% do custo.

Assim, o aumento percentual foi:

$$150\%-100\%=50\%$$

Portanto:

$$\boxed{50\%}$$

Conclusão

O aumento percentual do lucro em relação ao custo foi de 50%.

$$\boxed{\text{Alternativa D}}$$

Conceito importante: o lucro percentual em relação ao custo é calculado pela razão entre o lucro e o custo, multiplicada por 100:

$$P=\frac{\text{Lucro}}{\text{Custo}}\cdot100$$

🧩 Exercício 30 Médio

Considere o triângulo retângulo ABC, representado a seguir.

A razão $\dfrac{\overline{AC}}{\overline{DC}}$ é igual a:

Resolução

A questão combina duas propriedades importantes da geometria plana:

• Teorema da bissetriz interna;
• Relações trigonométricas no triângulo retângulo.

Vamos utilizar essas propriedades para determinar a razão entre os segmentos AC e DC.

1. Aplicando o teorema da bissetriz interna

Como AD é a bissetriz do ângulo A, ela divide o lado oposto BC em segmentos proporcionais aos lados adjacentes.

Portanto:

$$\frac{\overline{BD}}{\overline{DC}}=\frac{\overline{AB}}{\overline{AC}}$$

Como o triângulo ABC é retângulo em C e possui um ângulo de 30° em B, trata-se de um triângulo retângulo especial de 30°, 60° e 90°.

Nesse tipo de triângulo, o lado oposto ao ângulo de 30° corresponde à metade da hipotenusa.

Assim:

$$\overline{AC}=\frac{\overline{AB}}{2}$$

Logo:

$$\frac{\overline{AB}}{\overline{AC}}=2$$

Substituindo na relação da bissetriz:

$$\frac{\overline{BD}}{\overline{DC}}=2$$

Como $\overline{BD}=20$ cm:

$$\frac{20}{\overline{DC}}=2$$

Portanto:

$$\boxed{\overline{DC}=10\text{ cm}}$$

2. Determinando o comprimento de $\overline{AC}$

Sabemos que:

$$\overline{BD}=20\text{ cm}$$

e:

$$\overline{DC}=10\text{ cm}$$

Como $D$ pertence ao segmento $\overline{BC}$:

$$\overline{BC}=\overline{BD}+\overline{DC}$$$$\overline{BC}=20+10$$$$\boxed{\overline{BC}=30\text{ cm}}$$

Agora, utilizamos a razão trigonométrica da tangente no ângulo de 30°:

$$\tan 30^\circ=\frac{\overline{AC}}{\overline{BC}}$$

Sabendo que:

$$\tan 30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{3}$$

Temos:

$$\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{\overline{AC}}{30}$$

Isolando $\overline{AC}$:

$$\overline{AC}=30\cdot\frac{\sqrt{3}}{3}$$$$\boxed{\overline{AC}=10\sqrt{3}\text{ cm}}$$

3. Calculando a razão solicitada

A questão pede:

$$\frac{\overline{AC}}{\overline{DC}}$$

Substituindo os valores encontrados:

$$\frac{\overline{AC}}{\overline{DC}}=\frac{10\sqrt{3}}{10}$$

Simplificando:

$$\boxed{\frac{\overline{AC}}{\overline{DC}}=\sqrt{3}}$$

Conclusão

A razão entre os segmentos $\overline{AC}$ e $\overline{DC}$ é:

$$\boxed{\text{Alternativa A}}$$

Conceitos importantes:

O teorema da bissetriz interna estabelece que a bissetriz de um ângulo interno de um triângulo divide o lado oposto em segmentos proporcionais aos lados adjacentes:

$$\frac{\overline{BD}}{\overline{DC}}=\frac{\overline{AB}}{\overline{AC}}$$

Além disso, em um triângulo retângulo com ângulo de 30°, o cateto oposto a esse ângulo mede metade da hipotenusa.

🧩 Exercício 31 Médio

Um professor de educação física realiza regularmente a medição da altura de seus alunos. Na turma A, que tem 25 alunos, quando um aluno saiu e outro entrou, o professor fez nova medição. Ao final, observou que:

• A altura dos alunos que não saíram não mudou;
• A altura do aluno que entrou era 1,82 m;
• A nova média das alturas dos alunos aumentou em 1 cm.

A altura, em metros, do aluno que saiu dessa turma é:

Resolução

A questão envolve média aritmética e comparação entre duas situações: antes e depois da substituição de um aluno.

O número de alunos permanece igual a 25, pois um aluno saiu e outro entrou.

1. Interpretando o aumento da média

Sabemos que a média aritmética é calculada pela soma dos valores dividida pela quantidade de elementos:

$$M=\frac{S}{n}$$

Como a turma continua com 25 alunos e a média aumentou 1 cm, ou seja, 0,01 m, a soma das alturas aumentou:

$$\Delta S=25\cdot0,01$$$$\boxed{\Delta S=0,25\text{ m}}$$

Isso significa que a altura do aluno que entrou supera a altura do aluno que saiu em 0,25 m.

2. Determinando a altura do aluno que saiu

Seja $x$ a altura do aluno que saiu.

A altura do aluno que entrou é 1,82 m.

A diferença entre essas alturas corresponde ao aumento total da soma:

$$1,82-x=0,25$$

Isolando $x$:

$$x=1,82-0,25$$

Portanto:

$$\boxed{x=1,57\text{ m}}$$

Conclusão

A altura do aluno que saiu da turma era de 1,57 m.

$$\boxed{\text{Alternativa D}}$$

Conceito importante: quando a quantidade de elementos de um conjunto permanece constante, a variação da soma dos valores é igual à variação da média multiplicada pela quantidade de elementos:

$$\boxed{\Delta S=n\cdot\Delta M}$$

🧩 Exercício 32 UERJ 2025Médio

Observe os gráficos das funções reais $f$ e $g$, definidas por $f(x)=2^x$ e $g(x)=\left(\frac{1}{8}\right)^{x-1}$,sendo $x\in\mathbb{R}$.

Sendo $A(x_0,y_0)$ o ponto de interseção desses gráficos, $(x_0,y_0)$ é:

Resolução

Para encontrar o ponto de interseção entre dois gráficos, precisamos determinar os valores de $x$ para os quais as funções apresentam a mesma imagem.

Portanto, no ponto A:

$$f(x_0)=g(x_0)$$

1. Igualando as funções

Temos:

$$2^x=\left(\frac{1}{8}\right)^{x-1}$$

Para facilitar os cálculos, vamos escrever todas as potências na base 2.

Sabemos que:

$$8=2^3$$

Logo:

$$\frac{1}{8}=2^{-3}$$

Substituindo:

$$2^x=(2^{-3})^{x-1}$$

Aplicando a propriedade da potência de potência:

$$2^x=2^{-3(x-1)}$$

Desenvolvendo o expoente:

$$2^x=2^{-3x+3}$$

2. Determinando a abscissa do ponto A

Como as potências possuem a mesma base, podemos igualar seus expoentes:

$$x=-3x+3$$

Organizando a equação:

$$4x=3$$

Portanto:

$$\boxed{x_0=\frac{3}{4}}$$

3. Determinando a ordenada do ponto A

Agora, substituímos o valor encontrado em qualquer uma das funções.

Utilizando:

$$f(x)=2^x$$

Temos:

$$y_0=2^{\frac{3}{4}}$$

Pela propriedade dos expoentes fracionários:

$$a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$$

Assim:

$$y_0=\sqrt[4]{2^3}$$

Logo:

$$\boxed{y_0=\sqrt[4]{8}}$$

4. Identificando o ponto de interseção

As coordenadas encontradas são:

$$\boxed{A=\left(\frac{3}{4},\sqrt[4]{8}\right)}$$

Conclusão

O ponto de interseção dos gráficos é:

$$\boxed{\text{Alternativa A}}$$

Conceito importante: para encontrar a interseção de dois gráficos de funções, igualamos suas expressões. Quando as potências apresentam a mesma base, podemos igualar seus expoentes.

🧩 Exercício 33 UERJ 2025Médio

Uma pessoa tem no bolso, exatamente, sete notas de valores diferentes: 2, 5, 10, 20, 50, 100 e 200 reais, como mostra a imagem.

Essa pessoa retira do bolso, ao acaso, apenas três dessas notas.

O número total de retiradas diferentes em que as três notas somam valor maior que 50 reais é igual a:

Resolução

A questão envolve análise combinatória. Temos sete notas de valores diferentes e precisamos escolher três delas, de modo que a soma seja superior a R$ 50,00.

Como a ordem em que as notas são retiradas não altera o resultado, utilizaremos combinações.

1. Calculando o total de retiradas possíveis

Temos sete notas disponíveis e precisamos escolher três.

O número total de combinações é:

$$C_{7,3}=\frac{7!}{3!\cdot4!}$$

Simplificando:

$$C_{7,3}=\frac{7\cdot6\cdot5}{3\cdot2\cdot1}$$$$\boxed{C_{7,3}=35}$$

Portanto, existem 35 maneiras diferentes de retirar três notas.

2. Contando as retiradas que não atendem à condição

Para facilitar a contagem, vamos separar as possibilidades.

Observe que qualquer retirada que contenha a nota de R$ 100,00 ou a de R$ 200,00 necessariamente terá soma superior a R$ 50,00, mesmo que as outras duas notas sejam as menores disponíveis.

Retiradas que contêm a nota de R$ 100,00:

Fixando essa nota, precisamos escolher outras duas entre as seis restantes:

$$C_{6,2}=15$$

Retiradas que contêm a nota de R$ 200,00:

Da mesma maneira:

$$C_{6,2}=15$$

Entretanto, as retiradas que contêm simultaneamente as notas de R$ 100,00 e R$ 200,00 foram contadas duas vezes.

Nesse caso, precisamos escolher apenas uma das cinco notas restantes:

$$C_{5,1}=5$$

Aplicando o princípio da inclusão e exclusão:

$$15+15-5=25$$

Assim, existem 25 retiradas que contêm pelo menos uma das notas de R$ 100,00 ou R$ 200,00.

3. Analisando as retiradas restantes

Agora consideramos apenas as cinco notas menores:

$$2,\ 5,\ 10,\ 20,\ 50$$

O número de maneiras de escolher três dessas notas é:

$$C_{5,3}=10$$

Para que a soma seja superior a R$ 50,00, é necessário que a nota de R$ 50,00 esteja presente.

De fato, sem essa nota, a maior soma possível seria:

$$2+5+10=17$$

Fixando a nota de R$ 50,00, precisamos escolher duas entre as quatro restantes:

$$C_{4,2}=\frac{4!}{2!\cdot2!}$$$$\boxed{C_{4,2}=6}$$

Portanto, existem seis retiradas adicionais cuja soma supera R$ 50,00.

4. Determinando o total de retiradas favoráveis

Somamos as possibilidades encontradas:

$$25+6=31$$

Logo:

$$\boxed{31}$$

Conclusão

O número de retiradas diferentes em que as três notas somam mais de R$ 50,00 é:

$$\boxed{\text{Alternativa C}}$$

Conceito importante: quando a ordem dos elementos escolhidos não importa, utilizamos a combinação simples:

$$C_{n,p}=\frac{n!}{p!(n-p)!}$$

Também podemos utilizar o princípio da inclusão e exclusão para evitar contar possibilidades repetidas.

🧩 Exercício 34 Médio

No pião representado a seguir, $VAB$ é a seção meridiana de um cone circular reto, e a geratriz do cone mede 12 cm. Assim, $\overline{VA}=\overline{VB}=12$ cm e $\overline{AB}$ é o diâmetro da base do cone.

Ao ser lançado, esse pião cai sobre o plano horizontal e rola, sem deslizar, com a sua geratriz apoiada nesse plano. O pião dá apenas uma volta completa em torno do seu eixo, descrevendo o setor circular AVP de centro V e ângulo central de 120°.

A medida do diâmetro $\overline{AB}$, em centímetros, é igual a:

Resolução

A questão relaciona o movimento de um cone com o comprimento de um arco de circunferência.

A ideia fundamental é perceber que, ao completar uma volta em torno do próprio eixo, o cone percorre uma distância correspondente ao comprimento da circunferência de sua base.

1. Calculando o comprimento do arco AVP

O setor circular descrito pelo pião possui:

• Raio igual à geratriz do cone: $R=12$ cm;
• Ângulo central de $120^\circ$.

O comprimento de um arco de circunferência é dado por:

$$L=\frac{\alpha}{360^\circ}\cdot 2\pi R$$

Substituindo os valores:

$$L=\frac{120}{360}\cdot 2\pi\cdot12$$

Simplificando:

$$L=\frac{1}{3}\cdot24\pi$$

Portanto:

$$\boxed{L=8\pi\text{ cm}}$$

2. Relacionando o arco com a circunferência da base

Como o pião realiza uma volta completa em torno de seu eixo, sem deslizar, o comprimento percorrido corresponde ao comprimento de uma circunferência da base do cone.

Assim:

$$C_{\text{base}}=L$$

Sabemos que o comprimento da circunferência é:

$$C=2\pi r$$

Igualando:

$$2\pi r=8\pi$$

Dividindo ambos os lados por $2\pi$:

$$\boxed{r=4\text{ cm}}$$

3. Determinando o diâmetro da base

O diâmetro é o dobro do raio:

$$AB=2r$$

Substituindo:

$$AB=2\cdot4$$

Logo:

$$\boxed{AB=8\text{ cm}}$$

Conclusão

O diâmetro da base do cone mede 8 cm.

$$\boxed{\text{Alternativa B}}$$

Conceito importante: a planificação da superfície lateral de um cone corresponde a um setor circular cujo raio é a geratriz. O comprimento do arco desse setor é igual ao comprimento da circunferência da base:

$$\boxed{\frac{\alpha}{360^\circ}\cdot2\pi g=2\pi r}$$