UERJ 2025 1ª Exame de Qualificação: Prova de Matemática Resolvida

🧩 Exercício 28 UERJ 2025Fácil

Das dez avaliações aplicadas em um curso, um aluno, por motivos de saúde, faltou à nona e à décima. O professor decidiu então substituir a ausência de cada nota pela moda $x$ das oito primeiras avaliações, conforme registrado a seguir.

AVALIAÇÕES	1ª	2ª	3ª	4ª	5ª	6ª	7ª	8ª	9ª	10ª
Notas	4,0	5,0	8,0	6,0	6,0	7,0	9,0	6,0	$x$	$x$

A média aritmética final desse aluno foi:

Resolução

A questão envolve dois conceitos estatísticos: moda e média aritmética.

Primeiro, precisamos determinar a moda das oito primeiras avaliações. Em seguida, utilizaremos esse valor para calcular a média das dez notas.

1. Determinando a moda

A moda é o valor que aparece com maior frequência em um conjunto de dados.

As oito primeiras notas são:

$$4,\ 5,\ 8,\ 6,\ 6,\ 7,\ 9,\ 6$$

Observe a frequência de cada nota:

Nota	4	5	6	7	8	9
Frequência	1	1	3	1	1	1

A nota 6 aparece três vezes, sendo o valor de maior frequência.

Portanto:

$$\boxed{x=6}$$

2. Determinando as dez notas

Como as duas ausências serão substituídas pela moda, as notas finais serão:

$$4,\ 5,\ 8,\ 6,\ 6,\ 7,\ 9,\ 6,\ 6,\ 6$$

3. Calculando a média aritmética

A média aritmética é obtida pela soma de todos os valores dividida pela quantidade de avaliações.

Assim:

$$M=\frac{4+5+8+6+6+7+9+6+6+6}{10}$$

Somando os valores:

$$M=\frac{63}{10}$$

Logo:

$$\boxed{M=6,3}$$

Conclusão

A média aritmética final do aluno é igual a 6,3.

$$\boxed{\text{Alternativa B}}$$

Conceito importante:

• Moda: valor que aparece com maior frequência em um conjunto de dados.
• Média aritmética: soma de todos os valores dividida pela quantidade de elementos.

🧩 Exercício 29 UERJ 2025Médio

Na compra de um eletrodoméstico, uma pessoa pagou o total de R$ 1.000,00 da seguinte forma: uma entrada de 10% desse valor total e o restante em cinco parcelas mensais. As cinco parcelas formaram uma progressão aritmética crescente de razão igual a R$ 40,00.

O valor, em reais, da última parcela paga foi:

Resolução

A questão envolve porcentagem e progressão aritmética (PA). Precisamos determinar o valor da quinta e última parcela.

1. Calculando o valor da entrada

O valor total da compra foi de R$ 1.000,00, sendo que a entrada correspondeu a 10% desse valor.

$$E=1000\cdot\frac{10}{100}$$$$\boxed{E=100}$$

Portanto, o valor restante, que será dividido em cinco parcelas, é:

$$1000-100=900$$

2. Representando as parcelas por uma PA

As cinco parcelas formam uma progressão aritmética crescente de razão:

$$r=40$$

Representando os valores das parcelas:

$$(a_1,\ a_1+40,\ a_1+80,\ a_1+120,\ a_1+160)$$

A soma dessas cinco parcelas deve ser igual a R$ 900,00.

3. Utilizando a fórmula da soma dos termos da PA

A soma dos termos de uma progressão aritmética é dada por:

$$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$$

Como temos cinco parcelas:

$$900=\frac{5(a_1+a_5)}{2}$$

Sabemos que a quinta parcela é:

$$a_5=a_1+4\cdot40$$$$a_5=a_1+160$$

Substituindo na fórmula da soma:

$$900=\frac{5(a_1+a_1+160)}{2}$$$$1800=5(2a_1+160)$$$$360=2a_1+160$$$$2a_1=200$$$$\boxed{a_1=100}$$

4. Determinando a última parcela

Agora que conhecemos a primeira parcela, podemos calcular a quinta:

$$a_5=a_1+(5-1)r$$

Substituindo:

$$a_5=100+4\cdot40$$$$a_5=100+160$$

Portanto:

$$\boxed{a_5=260}$$

Conclusão

O valor da última parcela paga foi de R$ 260,00.

$$\boxed{\text{Alternativa C}}$$

Conceito importante: em uma PA, a soma dos termos pode ser calculada pela média entre o primeiro e o último termo, multiplicada pela quantidade de termos:

$$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$$

🧩 Exercício 30 UERJ 2025Médio

Observe a seguir a imagem de uma pirâmide quadrangular regular e a planificação de sua superfície total. Na planificação, o ponto A representa um vértice de uma face lateral e o ponto B o centro da base, sendo $AB=16$ cm.

Se a aresta da base dessa pirâmide mede 12 cm, seu volume, em cm³, é igual a:

Resolução

A questão envolve geometria espacial, planificação de uma pirâmide quadrangular regular e aplicação do teorema de Pitágoras.

Precisamos determinar a altura da pirâmide para calcular seu volume.

1. Identificando as medidas da base

A base da pirâmide é um quadrado de lado 12 cm.

Como $B$ representa o centro da base, a distância entre o centro e o ponto médio de qualquer lado é metade da aresta:

$$\frac{12}{2}=6\text{ cm}$$

Na planificação, o segmento $AB$ corresponde à soma da altura de uma face lateral com essa distância de 6 cm.

Chamando a altura da face lateral de $g$, temos:

$$AB=g+6$$

Como $AB=16$ cm:

$$16=g+6$$

Portanto:

$$\boxed{g=10\text{ cm}}$$

2. Determinando a altura da pirâmide

Em uma pirâmide quadrangular regular, a altura parte do vértice superior e chega ao centro da base.

A altura da face lateral, a altura da pirâmide e o segmento que liga o centro da base ao ponto médio de um de seus lados formam um triângulo retângulo.

Assim, temos:

• Hipotenusa: $g=10$ cm;
• Um cateto: $6$ cm;
• Outro cateto: altura $h$ da pirâmide.

Aplicando o teorema de Pitágoras:

$$g^2=h^2+6^2$$

Substituindo:

$$10^2=h^2+36$$$$100=h^2+36$$$$h^2=64$$

Logo:

$$\boxed{h=8\text{ cm}}$$

3. Calculando o volume da pirâmide

O volume de uma pirâmide é dado por:

$$V=\frac{A_b\cdot h}{3}$$

Como a base é um quadrado de lado 12 cm:

$$A_b=12^2=144\text{ cm}^2$$

Substituindo a área da base e a altura:

$$V=\frac{144\cdot8}{3}$$$$V=48\cdot8$$

Portanto:

$$\boxed{V=384\text{ cm}^3}$$

Conclusão

O volume da pirâmide quadrangular regular é igual a 384 cm³.

$$\boxed{\text{Alternativa A}}$$

Conceito importante: em uma pirâmide quadrangular regular, a altura, a altura da face lateral e a distância do centro da base ao ponto médio de um lado formam um triângulo retângulo. Essa relação permite determinar a altura da pirâmide pelo teorema de Pitágoras.

🧩 Exercício 31 UERJ 2025Médio

A figura a seguir ilustra o deslocamento de uma partícula pelo percurso FGHI, partindo de F, sobre os arcos e sobre a reta, conforme a indicação abaixo.

O comprimento total do percurso FGHI, feito pela partícula, é igual a:

Resolução

O percurso FGHI é composto por três partes:

• Arco FG;
• Segmento GH;
• Arco HI.

Para determinar o comprimento total, calcularemos cada uma dessas partes separadamente.

1. Calculando o comprimento do arco FG

Sabemos que o arco EFG possui centro em C e raio:

$$CE=2r$$

Como as retas DE e HG são perpendiculares, o ângulo entre CE e CG mede:

$$\angle ECG=90^\circ$$

O enunciado informa que:

$$\angle ECF=60^\circ$$

Portanto, o ângulo central correspondente ao arco FG é:

$$\angle FCG=90^\circ-60^\circ$$$$\boxed{\angle FCG=30^\circ}$$

O comprimento de um arco de circunferência é calculado por:

$$L=\frac{\alpha}{360^\circ}\cdot 2\pi R$$

Para o arco FG, temos $\alpha=30^\circ$ e $R=2r$:

$$L_{FG}=\frac{30}{360}\cdot 2\pi(2r)$$

Simplificando:

$$\boxed{L_{FG}=\frac{\pi r}{3}}$$

2. Calculando o comprimento do segmento GH

Como o arco DIH possui centro em C e raio $CD=r$, o ponto H pertence à circunferência de raio $r$.

Assim:

$$CH=CD=r$$

Também sabemos que:

$$CG=CE=2r$$

Como G, H e C estão alinhados, podemos calcular GH pela diferença:

$$GH=CG-CH$$

Substituindo:

$$GH=2r-r$$

Logo:

$$\boxed{GH=r}$$

3. Calculando o comprimento do arco HI

O ângulo entre CD e CI é:

$$\angle DCI=30^\circ$$

Como CD é horizontal e CH é perpendicular a essa direção, temos:

$$\angle HCI=90^\circ-30^\circ$$

Portanto:

$$\boxed{\angle HCI=60^\circ}$$

O arco HI pertence à circunferência de raio $r$.

Aplicando novamente a fórmula do comprimento de arco:

$$L_{HI}=\frac{60}{360}\cdot2\pi r$$

Simplificando:

$$\boxed{L_{HI}=\frac{\pi r}{3}}$$

4. Determinando o comprimento total do percurso

O comprimento total é a soma dos dois arcos com o segmento retilíneo:

$$L=L_{FG}+GH+L_{HI}$$

Substituindo os resultados:

$$L=\frac{\pi r}{3}+r+\frac{\pi r}{3}$$

Agrupando os termos:

$$L=\frac{2\pi r}{3}+r$$

Conclusão

O comprimento total do percurso realizado pela partícula é:

$$\boxed{L=\frac{2\pi r}{3}+r}$$

Portanto:

$$\boxed{\text{Alternativa A}}$$

Conceito importante: o comprimento de um arco de circunferência depende do raio e do ângulo central. Quando o ângulo está em graus, utilizamos:

$$\boxed{L=\frac{\alpha}{360^\circ}\cdot2\pi R}$$

Em um percurso formado por arcos e segmentos de reta, calculamos cada trecho separadamente e somamos seus comprimentos.

🧩 Exercício 32 UERJ 2025Médio

A função quadrática $f$, definida por:

$$f(x)=-\frac{3}{2}x^2+6x+4$$

sendo $x$ um número real, é representada graficamente pela seguinte parábola.

Na parábola, o ponto $P$, que representa a interseção com o eixo das ordenadas, e o ponto $Q$ formam o segmento $PQ$, paralelo ao eixo das abscissas.

A distância entre os pontos $P$ e $Q$ mede:

Resolução

A questão envolve interpretação do gráfico de uma função quadrática e determinação da distância entre dois pontos de mesma ordenada.

1. Determinando as coordenadas do ponto P

O ponto $P$ representa a interseção da parábola com o eixo das ordenadas.

Todo ponto pertencente ao eixo $y$ possui abscissa igual a zero:

$$x_P=0$$

Substituindo na função:

$$f(0)=-\frac{3}{2}(0)^2+6(0)+4$$$$f(0)=4$$

Portanto, as coordenadas de $P$ são:

$$\boxed{P=(0,4)}$$

2. Determinando a abscissa do ponto Q

Como o segmento $PQ$ é paralelo ao eixo das abscissas, os pontos $P$ e $Q$ possuem a mesma ordenada.

Assim:

$$y_Q=y_P=4$$

Para encontrar a abscissa de $Q$, igualamos a função a 4:

$$-\frac{3}{2}x^2+6x+4=4$$

Simplificando:

$$-\frac{3}{2}x^2+6x=0$$

Colocando $x$ em evidência:

$$x\left(-\frac{3}{2}x+6\right)=0$$

Pelo princípio do produto nulo, temos duas possibilidades:

$$x=0$$

ou

$$-\frac{3}{2}x+6=0$$

Resolvendo a segunda equação:

$$\frac{3}{2}x=6$$$$x=6\cdot\frac{2}{3}$$$$x=4$$

A solução $x=0$ corresponde ao próprio ponto $P$. Portanto, o outro ponto de interseção é:

$$\boxed{Q=(4,4)}$$

3. Calculando a distância entre P e Q

Como os dois pontos possuem a mesma ordenada, a distância entre eles corresponde à diferença entre suas abscissas:

$$PQ=|x_Q-x_P|$$

Substituindo:

$$PQ=|4-0|$$

Logo:

$$\boxed{PQ=4}$$

Conclusão

A distância entre os pontos $P$ e $Q$ é igual a 4 unidades.

$$\boxed{\text{Alternativa B}}$$

Conceito importante: quando dois pontos possuem a mesma ordenada, a distância horizontal entre eles é dada pelo módulo da diferença entre suas abscissas:

$$d=|x_2-x_1|$$

🧩 Exercício 33 UERJ 2025Fácil

Em uma confeitaria recém-inaugurada, o preço de custo de uma barra de chocolate é de R$ 2,00 e o preço de venda, de cada barra, é de $x$ reais, sendo $x$ um número inteiro. Estima-se que $(20-x)$ barras serão vendidas por dia.

De acordo com essa estimativa, o lucro diário da venda dessas barras de chocolate, com o preço unitário de $x$ reais, será igual a:

Resolução

A questão envolve a construção de uma função quadrática a partir de uma situação cotidiana. Para determinar o lucro diário, precisamos calcular o lucro obtido por barra e multiplicá-lo pela quantidade vendida.

1. Determinando o lucro por barra

O preço de venda de cada barra é $x$ reais, enquanto o custo de produção é R$ 2,00.

O lucro por unidade corresponde à diferença entre o preço de venda e o custo:

$$L_u=x-2$$

2. Determinando a quantidade vendida

De acordo com a estimativa apresentada no enunciado, a quantidade de barras vendidas por dia é:

$$Q=20-x$$

3. Construindo a função do lucro diário

O lucro total é obtido multiplicando o lucro por unidade pela quantidade de barras vendidas:

$$L(x)=L_u\cdot Q$$

Substituindo as expressões encontradas:

$$L(x)=(x-2)(20-x)$$

Aplicando a propriedade distributiva:

$$L(x)=20x-x^2-40+2x$$

Agrupando os termos semelhantes:

$$L(x)=-x^2+22x-40$$

Conclusão

A função que representa o lucro diário da confeitaria é:

$$\boxed{L(x)=-x^2+22x-40}$$

Portanto:

$$\boxed{\text{Alternativa D}}$$

Conceito importante: o lucro é calculado pela diferença entre o preço de venda e o custo, multiplicada pela quantidade vendida:

$$\boxed{\text{Lucro}=(\text{Venda unitária}-\text{Custo unitário})\cdot\text{Quantidade}}$$

🧩 Exercício 34 UERJ 2025Médio

Para construir um alvo de dardos como o da figura 1, foram traçados dois círculos de centro D, um de raio $r$ e outro de raio $2r$, conforme ilustra a figura 2. Duas regiões são observadas no alvo: I, definida pelo círculo menor; II, a da coroa circular.

Considere que um dardo lançado por uma pessoa sempre atinge o alvo em qualquer ponto das regiões I ou II, sendo a probabilidade de acertar cada região diretamente proporcional à sua respectiva área.

Assim, ao lançar um dardo, a probabilidade de essa pessoa acertar a região II é igual a:

Resolução

A questão envolve probabilidade geométrica. Como a probabilidade de acertar cada região é diretamente proporcional à sua área, precisamos calcular a área da coroa circular e compará-la com a área total do alvo.

1. Calculando a área do círculo maior

O círculo maior possui raio $2r$.

A área de um círculo é dada por:

$$A=\pi R^2$$

Substituindo o raio:

$$A_{\text{maior}}=\pi(2r)^2$$$$\boxed{A_{\text{maior}}=4\pi r^2}$$

2. Calculando a área do círculo menor

O círculo menor possui raio $r$. Portanto:

$$A_{\text{menor}}=\pi r^2$$

Essa é a área da região I.

3. Calculando a área da coroa circular

A região II corresponde à área do círculo maior menos a área do círculo menor.

Assim:

$$A_{\text{II}}=A_{\text{maior}}-A_{\text{menor}}$$

Substituindo:

$$A_{\text{II}}=4\pi r^2-\pi r^2$$

Logo:

$$\boxed{A_{\text{II}}=3\pi r^2}$$

4. Calculando a probabilidade

A probabilidade de acertar a região II é a razão entre a área dessa região e a área total do alvo.

$$P(\text{II})= \frac{A_{\text{II}}}{A_{\text{maior}}}$$

Substituindo as áreas:

$$P(\text{II})= \frac{3\pi r^2}{4\pi r^2}$$

Simplificando:

$$\boxed{P(\text{II})=\frac{3}{4}}$$

Conclusão

A probabilidade de o dardo atingir a coroa circular é igual a:

$$\boxed{\text{Alternativa C}}$$

Conceito importante: em problemas de probabilidade geométrica, quando todos os pontos de uma região possuem a mesma possibilidade de serem atingidos, a probabilidade de acertar uma parte dessa região é dada pela razão entre a área favorável e a área total:

$$\boxed{P=\frac{\text{Área favorável}}{\text{Área total}}}$$