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Polinômios com complexos

🧩 Exercício 1 (ITA)Fácil

O número complexo 2+i2+i é raiz do polinômio

f(x)=x4+x3+px2+x+q,f(x)=x^4+x^3+px^2+x+q,

com p,q∈Rp,q\in\mathbb{R}.

Então, a alternativa que mais se aproxima da soma das raízes reais de ff é:

💡 Dica — clique para visualizar

Como os coeficientes de f(x)f(x) são reais e 2+i2+i é uma raiz, seu conjugado 2−i2-i também é raiz.

Use as relações de Girard para determinar as outras duas raízes e, então, encontre a soma das raízes reais.

Passo 1 — Encontrando outra raiz​

Como f(x)f(x) possui coeficientes reais e 2+i2+i é uma raiz, o conjugado também é raiz:

2−i.2-i.

Assim, duas das quatro raízes são:

2+ie2−i.2+i \qquad\text{e}\qquad 2-i.

A soma dessas duas raízes é:

(2+i)+(2−i)=4.(2+i)+(2-i)=4.

Passo 2 — Usando a soma das raízes​

Pela relação de Girard, para um polinômio

x4+x3+px2+x+q,x^4+x^3+px^2+x+q,

a soma de todas as raízes é:

−11=−1.-\frac{1}{1}=-1.

Sejam r1r_1 e r2r_2 as outras duas raízes.

Então:

(2+i)+(2−i)+r1+r2=−1.(2+i)+(2-i)+r_1+r_2=-1.

Logo:

4+r1+r2=−1.4+r_1+r_2=-1.

Portanto:

r1+r2=−5.r_1+r_2=-5.

Passo 3 — Identificando as raízes restantes​

Como o polinômio possui coeficientes reais, as raízes não reais aparecem em pares conjugados.

Já temos o par:

2+i,2−i.2+i,\quad 2-i.

As duas raízes restantes, portanto, devem ser reais ou também formar um par conjugado.

Para determinar a soma das raízes reais, analisamos o termo independente e o coeficiente de xx.

Observe que:

f(x)=(x−(2+i))(x−(2−i))(x−r1)(x−r2).f(x)=(x-(2+i))(x-(2-i))(x-r_1)(x-r_2).

Os dois primeiros fatores fornecem:

(x−(2+i))(x−(2−i))=(x−2)2+1=x2−4x+5.(x-(2+i))(x-(2-i)) =(x-2)^2+1 =x^2-4x+5.

Assim:

f(x)=(x2−4x+5)(x2−(r1+r2)x+r1r2).f(x)=(x^2-4x+5)(x^2-(r_1+r_2)x+r_1r_2).

Como já sabemos que:

r1+r2=−5,r_1+r_2=-5,

temos:

f(x)=(x2−4x+5)(x2+5x+r1r2).f(x)=(x^2-4x+5)(x^2+5x+r_1r_2).

Comparando o coeficiente de xx com o polinômio original:

5(−4)+r1r2(−4)=−?5(-4)+r_1r_2(-4)=-?

Mais diretamente, o coeficiente de xx é:

−4(r1r2)+5(r1+r2).-4(r_1r_2)+5(r_1+r_2).

Como o coeficiente de xx em f(x)f(x) é 11:

−4r1r2+5(−5)=1.-4r_1r_2+5(-5)=1.

Logo:

−4r1r2−25=1-4r_1r_2-25=1−4r1r2=26-4r_1r_2=26r1r2=−132.r_1r_2=-\frac{13}{2}.

Portanto, r1r_1 e r2r_2 são raízes de:

x2+5x−132=0.x^2+5x-\frac{13}{2}=0.

Seu discriminante é:

Δ=52−4(1)(−132)=25+26=51>0.\Delta=5^2-4(1)\left(-\frac{13}{2}\right) =25+26=51>0.

Logo, as duas raízes restantes são reais.

Assim, a soma das raízes reais é:

−5.\boxed{-5}.

Resultado​

A alternativa correta é:

e) −5.\boxed{\text{e) }-5}.
🧩 Exercício 2 (ITA)Médio

Sabe-se que o polinômio

p(x)=x5−ax3+ax2−1,p(x)=x^5-ax^3+ax^2-1,

com a∈Ra\in\mathbb{R}, admite a raiz −i-i.

Considere as seguintes afirmações sobre as raízes de pp:

I. Quatro das raízes são imaginárias puras.

II. Uma das raízes tem multiplicidade dois.

III. Apenas uma das raízes é real.

Destas, é(são) verdadeira(s) apenas:

💡 Dica — clique para visualizar

Como p(x)p(x) possui coeficientes reais e −i-i é uma raiz, seu conjugado ii também é raiz.

Assim, o polinômio é divisível por:

(x+i)(x−i)=x2+1.(x+i)(x-i)=x^2+1.

Use essa informação para determinar o valor de aa e fatorar completamente o polinômio.

Passo 1 — Utilizando a raiz −i-i​

Como −i-i é raiz de p(x)p(x) e os coeficientes são reais, o conjugado ii também é raiz.

Portanto:

(x+i)(x−i)=x2+1(x+i)(x-i)=x^2+1

é um fator de p(x)p(x).

Logo, o resto da divisão de p(x)p(x) por x2+1x^2+1 deve ser zero.

Podemos realizar a divisão:

x5−ax3+ax2−1x^5-ax^3+ax^2-1

por

x2+1.x^2+1.

O resto obtido é:

(a+1)x−(a+1).(a+1)x-(a+1).

Para que x2+1x^2+1 seja realmente um fator, precisamos que o resto seja identicamente nulo:

(a+1)x−(a+1)=0.(a+1)x-(a+1)=0.

Portanto:

a+1=0a+1=0

e assim:

a=−1.\boxed{a=-1}.

Passo 2 — Determinando o polinômio​

Substituindo a=−1a=-1 em p(x)p(x):

p(x)=x5+x3−x2−1.p(x)=x^5+x^3-x^2-1.

Vamos fatorá-lo.

Primeiramente, agrupando os termos:

p(x)=x3(x2+1)−(x2+1).p(x)=x^3(x^2+1)-(x^2+1).

Colocando (x2+1)(x^2+1) em evidência:

p(x)=(x2+1)(x3−1).p(x)=(x^2+1)(x^3-1).

Como:

x3−1=(x−1)(x2+x+1),x^3-1=(x-1)(x^2+x+1),

obtemos:

p(x)=(x2+1)(x−1)(x2+x+1).p(x)=(x^2+1)(x-1)(x^2+x+1).

Passo 3 — Determinando as raízes​

Temos:

p(x)=(x2+1)(x−1)(x2+x+1).p(x)=(x^2+1)(x-1)(x^2+x+1).

Do fator x2+1x^2+1:

x2+1=0x^2+1=0

resulta:

x=±i.x=\pm i.

Essas são raízes imaginárias puras.

Do fator x−1x-1:

x=1.x=1.

Essa é uma raiz real.

Por fim:

x2+x+1=0.x^2+x+1=0.

Pela fórmula de Bhaskara:

x=−1±1−42x=\frac{-1\pm\sqrt{1-4}}{2}x=−1±i32.x=\frac{-1\pm i\sqrt{3}}{2}.

Essas duas raízes são complexas, mas não são imaginárias puras, pois possuem parte real igual a −12-\frac12.

Passo 4 — Analisando as afirmações​

Afirmação I​

As raízes são:

1,i,−i,−1+i32,−1−i32.1,\quad i,\quad -i,\quad \frac{-1+i\sqrt3}{2},\quad \frac{-1-i\sqrt3}{2}.

Somente ii e −i-i são imaginárias puras.

Portanto, I é falsa.

Afirmação II​

A fatoração é:

p(x)=(x2+1)(x−1)(x2+x+1).p(x)=(x^2+1)(x-1)(x^2+x+1).

Todos os fatores são distintos e aparecem com multiplicidade 11.

Logo, nenhuma raiz possui multiplicidade 22.

Portanto, II é falsa.

Afirmação III​

Entre as cinco raízes, apenas:

x=1x=1

é real.

As outras quatro são complexas não reais.

Portanto, III é verdadeira.

Resultado​

Apenas a afirmação III é verdadeira.

Assim, a alternativa correta é:

C) III.\boxed{\text{C) III.}}