Polinômios

🧩 Exercício 1 Fácil

Um polinômio

$$p(x)=x^3+ax^2+bx+c$$

satisfaz as seguintes condições:

$$p(1)=0$$

e

$$p(-x)+p(x)=0,$$

qualquer que seja $x$ real.

O valor de $p(2)$ é:

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Calcule primeiro:

$$p(-x)+p(x).$$

Observe quais termos desaparecem e utilize o fato de que a igualdade deve valer para todo $x\in\mathbb{R}$.

Passo 1 — Calculando $p(-x)$

Temos:

$$p(x)=x^3+ax^2+bx+c.$$

Substituindo $x$ por $-x$:

$$p(-x)=(-x)^3+a(-x)^2+b(-x)+c.$$

Portanto:

$$p(-x)=-x^3+ax^2-bx+c.$$

---

Passo 2 — Utilizando a segunda condição

O problema afirma que:

$$p(-x)+p(x)=0.$$

Substituindo as expressões:

$$(-x^3+ax^2-bx+c) + (x^3+ax^2+bx+c) =0.$$

Agora agrupamos os termos semelhantes:

$$-x^3+x^3+ax^2+ax^2-bx+bx+c+c=0.$$

Os termos de grau ímpar se cancelam:

$$2ax^2+2c=0.$$

Logo:

$$2ax^2+2c=0.$$

Dividindo por $2$:

$$ax^2+c=0.$$

Como essa igualdade deve ser verdadeira para qualquer $x$ real, necessariamente:

$$\boxed{a=0}$$

e

$$\boxed{c=0}.$$

Assim, o polinômio fica:

$$p(x)=x^3+bx.$$

---

Passo 3 — Utilizando $p(1)=0$

Sabemos que:

$$p(1)=0.$$

Substituindo na expressão encontrada:

$$1^3+b(1)=0.$$

Então:

$$1+b=0.$$

Logo:

$$\boxed{b=-1}.$$

Portanto:

$$p(x)=x^3-x.$$

---

Passo 4 — Calculando $p(2)$

Agora basta substituir $x=2$:

$$p(2)=2^3-2.$$

Como:

$$2^3=8,$$

temos:

$$p(2)=8-2=6.$$

Portanto:

$$\boxed{p(2)=6}.$$

Resposta

A alternativa correta é:

$$\boxed{\text{e) }6}$$

🧩 Exercício 2 Médio

Indicando as raízes da equação

$$x^{100}-7x-1,25=0$$

por

$$x_1,x_2,x_3,\ldots,x_{100},$$

podemos afirmar que

$$\sum_{i=1}^{100}(x_i)^{100}$$

é igual a:

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Utilize as Somas de Newton.

Para a equação

$$x^{100}-7x-1,25=0,$$

observe que os coeficientes dos termos

$$x^{99},x^{98},\ldots,x^2$$

são todos nulos.

Isso permite obter uma relação bastante simples para a soma das potências das raízes.

Passo 1 — Identificando a equação

Considere o polinômio:

$$P(x)=x^{100}-7x-1,25.$$

Suas raízes são:

$$x_1,x_2,\ldots,x_{100}.$$

Queremos calcular:

$$S_{100} = x_1^{100}+x_2^{100}+\cdots+x_{100}^{100}.$$

Essa soma é uma Soma de Newton.

---

Passo 2 — Aplicando a relação de recorrência

Para um polinômio mônico

$$x^n+a_1x^{n-1}+a_2x^{n-2}+\cdots+a_n=0,$$

as Somas de Newton satisfazem, para $k\leq n$:

$$S_k+a_1S_{k-1}+a_2S_{k-2} +\cdots+a_{k-1}S_1 +k a_k=0.$$

No nosso caso:

$$x^{100}-7x-1,25=0.$$

Assim, os coeficientes são:

$$a_1=a_2=\cdots=a_{98}=0,$$$$a_{99}=-7$$

e

$$a_{100}=-1,25.$$

---

Passo 3 — Chegando a $S_{100}$

Para $k=100$, a relação de Newton é:

$$S_{100} +a_1S_{99} +a_2S_{98} +\cdots +a_{99}S_1 +100a_{100} =0.$$

Como todos os coeficientes de $a_1$ até $a_{98}$ são nulos, sobra:

$$S_{100}+a_{99}S_1+100a_{100}=0.$$

Substituindo:

$$S_{100}-7S_1+100(-1,25)=0.$$

Portanto:

$$S_{100}-7S_1-125=0.$$

---

Passo 4 — Calculando $S_1$

Pela soma das raízes:

$$S_1=x_1+x_2+\cdots+x_{100}.$$

Pela relação de Girard, a soma das raízes é o oposto do coeficiente de $x^{99}$.

Como esse coeficiente é zero:

$$\boxed{S_1=0}.$$

Substituindo:

$$S_{100}-7(0)-125=0.$$

Logo:

$$S_{100}=125.$$

Portanto:

$$\boxed{ \sum_{i=1}^{100}(x_i)^{100}=125 }.$$

🧩 Exercício 3 (Mack-SP)Médio

Dado o polinômio

$$p(x)=x^n-1,\qquad n\in\mathbb{N}^*,$$

cujas raízes são

$$1,\ a,\ b,\ c,\ldots,t.$$

Então,

$$(1-a)(1-b)(1-c)\cdots(1-t)$$

vale:

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Escreva o polinômio em sua forma fatorada, usando suas raízes.

Como $1$ é uma das raízes, coloque o fator $(x-1)$ em evidência.

Depois, compare com a fatoração de $x^n-1$ e faça $x=1$.

Passo 1 — Fatorando o polinômio pelas suas raízes

Como as raízes de

$$p(x)=x^n-1$$

são

$$1,\ a,\ b,\ c,\ldots,t,$$

podemos escrever:

$$x^n-1 = (x-1)(x-a)(x-b)(x-c)\cdots(x-t).$$

Por outro lado, sabemos que:

$$x^n-1=(x-1)(x^{n-1}+x^{n-2}+\cdots+x+1).$$

Portanto:

$$(x-1)(x-a)(x-b)\cdots(x-t) = (x-1)(x^{n-1}+x^{n-2}+\cdots+x+1).$$

---

Passo 2 — Removendo o fator $(x-1)$

Para $x\neq1$, podemos cancelar o fator $(x-1)$:

$$(x-a)(x-b)(x-c)\cdots(x-t) = x^{n-1}+x^{n-2}+\cdots+x+1.$$

Agora queremos calcular:

$$(1-a)(1-b)(1-c)\cdots(1-t).$$

Para isso, basta fazer:

$$x=1.$$

---

Passo 3 — Substituindo $x=1$

Temos:

$$(1-a)(1-b)(1-c)\cdots(1-t) = 1^{n-1}+1^{n-2}+\cdots+1+1.$$

Como existem $n$ parcelas iguais a $1$ no lado direito:

$$1^{n-1}+1^{n-2}+\cdots+1+1=n.$$

Assim:

$$\boxed{ (1-a)(1-b)(1-c)\cdots(1-t)=n }.$$

Portanto, o resultado vale qualquer que seja o grau do polinômio.

---

Resultado

A alternativa correta é:

$$\boxed{\text{e) }n,\text{ qualquer que seja o grau do polinômio.}}$$

🧩 Exercício 4 Médio

Dado

$$f(x)=x^4+x^3+x^2+x+1,$$

o resto da divisão de

$$f(x^5)$$

por $f(x)$ é:

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Observe a relação:

$$f(x)=x^4+x^3+x^2+x+1.$$

Multiplicando $f(x)$ por $(x-1)$, obtemos uma expressão muito simples.

Use essa relação para trabalhar com $x^5$ módulo $f(x)$.

Passo 1 — Encontrando uma relação útil

Temos:

$$f(x)=x^4+x^3+x^2+x+1.$$

Multiplicando por $(x-1)$:

$$(x-1)f(x) = (x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1).$$

Desenvolvendo:

$$(x-1)f(x) = x^5-1.$$

Portanto:

$$\boxed{x^5-1=(x-1)f(x)}.$$

Como estamos trabalhando módulo $f(x)$, isso significa que:

$$x^5\equiv1\pmod{f(x)}.$$

---

Passo 2 — Calculando $f(x^5)$

Temos:

$$f(x^5) = (x^5)^4+(x^5)^3+(x^5)^2+x^5+1.$$

Ou seja:

$$f(x^5) = x^{20}+x^{15}+x^{10}+x^5+1.$$

Como:

$$x^5\equiv1\pmod{f(x)},$$

podemos substituir cada potência de $x^5$ por $1$:

$$x^{10}=(x^5)^2\equiv1,$$$$x^{15}=(x^5)^3\equiv1,$$

e

$$x^{20}=(x^5)^4\equiv1.$$

Logo:

$$f(x^5) \equiv 1+1+1+1+1.$$

Portanto:

$$\boxed{f(x^5)\equiv5\pmod{f(x)}}.$$

Assim, o resto da divisão é:

$$\boxed{5}.$$

---

Resultado

A alternativa correta é:

$$\boxed{\text{e) }5}.$$

🧩 Exercício 5 (ITA-1962)Difícil

Se

$$x^3+px+q$$

é divisível por

$$x^2+ax+b$$

e por

$$x^2+rx+s,$$

demonstre que:

$$\boxed{b=-r(a+r)}.$$

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Escreva o polinômio cúbico na forma fatorada utilizando cada um dos divisores.

Observe que o coeficiente de $x^2$ é nulo no polinômio original.

Passo 1 — Escrevendo as duas fatorações

Como $x^3+px+q$ é divisível por $x^2+ax+b$, podemos escrever:

$$x^3+px+q=(x^2+ax+b)(x-a).$$

De forma análoga, como também é divisível por $x^2+rx+s$:

$$x^3+px+q=(x^2+rx+s)(x-r).$$

Portanto:

$$(x^2+ax+b)(x-a) = (x^2+rx+s)(x-r).$$

---

Passo 2 — Comparando os coeficientes

Desenvolvendo a primeira expressão:

$$(x^2+ax+b)(x-a) = x^3+(b-a^2)x-ab.$$

Assim:

$$\boxed{p=b-a^2}$$

e

$$\boxed{q=-ab}.$$

Agora, desenvolvendo a segunda:

$$(x^2+rx+s)(x-r) = x^3+(s-r^2)x-rs.$$

Logo:

$$\boxed{p=s-r^2}$$

e

$$\boxed{q=-rs}.$$

Como os valores de $p$ e $q$ são os mesmos nas duas expressões:

$$b-a^2=s-r^2$$

e

$$ab=rs.$$

---

Passo 3 — Eliminando $s$

Da primeira relação:

$$b-a^2=s-r^2.$$

Isolando $s$:

$$s=b-a^2+r^2.$$

Substituindo em

$$ab=rs,$$

temos:

$$ab=r(b-a^2+r^2).$$

Desenvolvendo:

$$ab=rb-ra^2+r^3.$$

Então:

$$ab-rb=-ra^2+r^3.$$

Colocando os fatores em evidência:

$$b(a-r)=-r(a^2-r^2).$$

Como

$$a^2-r^2=(a-r)(a+r),$$

segue que:

$$b(a-r)=-r(a-r)(a+r).$$

Cancelando o fator $(a-r)$:

$$\boxed{b=-r(a+r)}.$$

Portanto, a relação pedida está demonstrada.

🧩 Exercício 6 (ITA-1967)Médio

Um polinômio $P(x)$, dividido por $x-1$, dá resto $3$. O quociente desta divisão é então dividido por $x-2$, obtendo-se resto $2$. O resto da divisão de $P(x)$ por $(x-1)(x-2)$ será:

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Escreva as duas divisões na forma de uma igualdade e substitua uma na outra.

Passo 1 — Escrevendo a primeira divisão

Como $P(x)$, dividido por $x-1$, deixa resto $3$, podemos escrever:

$$P(x)=Q(x)(x-1)+3.$$

Aqui, $Q(x)$ é o quociente da divisão de $P(x)$ por $x-1$.

---

Passo 2 — Escrevendo a segunda divisão

O enunciado afirma que o quociente $Q(x)$, quando dividido por $x-2$, deixa resto $2$.

Portanto:

$$Q(x)=R(x)(x-2)+2.$$

---

Passo 3 — Substituindo uma expressão na outra

Substituindo

$$Q(x)=R(x)(x-2)+2$$

na primeira igualdade:

$$P(x)=[R(x)(x-2)+2](x-1)+3.$$

Distribuindo:

$$P(x)=R(x)(x-2)(x-1)+2(x-1)+3.$$

Como

$$2(x-1)=2x-2,$$

temos:

$$P(x)=R(x)(x-1)(x-2)+2x-2+3.$$

Logo:

$$P(x)=R(x)(x-1)(x-2)+2x+1.$$

Assim, na divisão de $P(x)$ por $(x-1)(x-2)$, o primeiro termo representa o produto do divisor pelo quociente, enquanto o segundo termo é o resto.

Portanto:

$$\boxed{Resto=2x+1}.$$

Resultado

A alternativa correta é:

$$\boxed{\text{c) }2x+1}.$$

🧩 Exercício 7 (ITA-1967)Médio

Um polinômio $P(x)$ dá resto $-1$ quando dividido por $x+1$, resto $1$ quando dividido por $(x-1)$ e resto $1$ quando dividido por $(x+2)$.

Qual o resto da divisão de $P(x)$ por

$$(x+1)(x-1)(x-2)?$$

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Como o divisor possui grau $3$, o resto deve ter grau menor que $3$.

Portanto, escreva:

$$R(x)=ax^2+bx+c.$$

Depois, utilize o Teorema do Resto nos três valores fornecidos pelo enunciado.

Passo 1 — Determinando o grau do resto

O divisor é:

$$(x+1)(x-1)(x+2).$$

Como ele possui grau $3$, o resto da divisão deve possuir grau menor que $3$.

Assim, podemos escrever:

$$R(x)=ax^2+bx+c.$$

---

Passo 2 — Usando o Teorema do Resto

Sabemos que, se $P(x)$ deixa resto $k$ quando dividido por $(x-r)$, então:

$$P(r)=k.$$

Como o resto $R(x)$ é o mesmo quando fazemos a divisão pelo divisor completo, podemos utilizar os valores fornecidos:

Para $x=-1$

Como $P(x)$ deixa resto $-1$ quando dividido por $x+1$:

$$P(-1)=-1.$$

Logo:

$$R(-1)=-1.$$

Substituindo em $R(x)$:

$$a(-1)^2+b(-1)+c=-1.$$

Portanto:

$$a-b+c=-1.$$

---

Para $x=1$

Como $P(x)$ deixa resto $1$ quando dividido por $x-1$:

$$P(1)=1.$$

Logo:

$$R(1)=1.$$

Então:

$$a+b+c=1.$$

---

Para $x=-2$

Como $P(x)$ deixa resto $1$ quando dividido por $x+2$:

$$P(-2)=1.$$

Logo:

$$R(-2)=1.$$

Assim:

$$4a-2b+c=1.$$

---

Passo 3 — Resolvendo o sistema

Temos o sistema:

$$\begin{cases} a-b+c=-1\\ a+b+c=1\\ 4a-2b+c=1 \end{cases}$$

Subtraindo a primeira equação da segunda:

$$2b=2$$

e, portanto:

$$\boxed{b=1}.$$

Substituindo na segunda equação:

$$a+1+c=1.$$

Logo:

$$\boxed{a+c=0}.$$

Portanto:

$$c=-a.$$

Agora utilizamos a terceira equação:

$$4a-2(1)+c=1.$$

Como $c=-a$:

$$4a-2-a=1.$$

Então:

$$3a=3.$$

Logo:

$$\boxed{a=1}.$$

Consequentemente:

$$c=-1.$$

---

Passo 4 — Encontrando o resto

Temos:

$$a=1,\qquad b=1,\qquad c=-1.$$

Portanto:

$$R(x)=x^2+x-1.$$

Assim, o resto da divisão é:

$$\boxed{x^2+x-1}.$$

Resultado

A alternativa correta é:

$$\boxed{\text{a) }x^2+x-1}.$$

🧩 Exercício 8 (ITA-1968)Médio

Suponhamos que os polinômios $P(x)$, $Q(x)$, $p(x)$ e $q(x)$ satisfaçam as seguintes condições:

$$P(x)\cdot p(x)+Q(x)\cdot q(x)=1 \qquad \forall x\text{ complexo}$$$$P(p(1))=0,\qquad Q(0)=0$$

Assinale a opção correta:

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Utilize a igualdade

$$P(x)p(x)+Q(x)q(x)=1$$

escolhendo valores convenientes para $x$.

Em particular, experimente fazer $x=0$ e $x=p(1)$.

Passo 1 — Utilizando $Q(0)=0$

A igualdade

$$P(x)p(x)+Q(x)q(x)=1$$

é válida para todo $x$ complexo.

Tomando $x=0$:

$$P(0)p(0)+Q(0)q(0)=1.$$

Como:

$$Q(0)=0,$$

temos:

$$P(0)p(0)=1.$$

Logo:

$$\boxed{P(0)\neq0}$$

e

$$\boxed{p(0)\neq0}.$$

Portanto, as alternativas (a) e (e) são falsas.

---

Passo 2 — Utilizando $P(p(1))=0$

Agora vamos tomar:

$$x=p(1).$$

Substituindo na igualdade original:

$$P(p(1))p(p(1))+Q(p(1))q(p(1))=1.$$

Como:

$$P(p(1))=0,$$

o primeiro termo desaparece:

$$Q(p(1))q(p(1))=1.$$

Consequentemente:

$$\boxed{Q(p(1))\neq0}.$$

Portanto, a alternativa (c) é falsa.

---

Passo 3 — Verificando se $p(x)$ é divisível por $x-1$

Suponha que $p(x)$ seja divisível por $x-1$.

Pelo Teorema do Resto, isso significa que:

$$p(1)=0.$$

Mas o enunciado nos informa que:

$$P(p(1))=0.$$

Se $p(1)=0$, então:

$$P(0)=0.$$

Porém, no Passo 1 mostramos que:

$$P(0)p(0)=1,$$

portanto:

$$P(0)\neq0.$$

Temos, então, uma contradição.

Logo:

$$\boxed{p(1)\neq0}.$$

Pelo Teorema do Resto, se $p(x)$ fosse divisível por $x-1$, teríamos $p(1)=0$. Como isso não ocorre, concluímos que:

$$\boxed{p(x)\text{ não é divisível por }x-1}.$$

Portanto, a alternativa correta é a (d).

---

Resultado

A alternativa correta é:

$$\boxed{\text{d) }p(x)\text{ não é divisível por }x-1}.$$

🧩 Exercício 9 (ITA-1971)Médio

Dividindo o polinômio $P(x)=x^3+x^2+x+1$ pelo polinômio $Q(x)$, obtemos o quociente $S(x)=1+x$ e o resto $R(x)=x+1$.

O polinômio $Q(x)$ satisfaz:

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Utilize a algoritmo da divisão de polinômios:

$$P(x)=Q(x)S(x)+R(x).$$

Substitua os polinômios fornecidos pelo enunciado e determine $Q(x)$. Depois, verifique as alternativas.

Passo 1 — Utilizando a relação da divisão

Pela divisão de polinômios, sabemos que:

$$P(x)=Q(x)S(x)+R(x).$$

Substituindo os dados do problema:

$$x^3+x^2+x+1=Q(x)(x+1)+(x+1).$$

---

Passo 2 — Fatorando o polinômio $P(x)$

Observe que:

$$x^3+x^2+x+1$$

pode ser fatorado por agrupamento:

$$x^3+x^2+x+1=x^2(x+1)+(x+1).$$

Colocando $(x+1)$ em evidência:

$$x^3+x^2+x+1=(x+1)(x^2+1).$$

Assim, nossa igualdade fica:

$$(x+1)(x^2+1)=Q(x)(x+1)+(x+1).$$

Colocando $(x+1)$ em evidência no lado direito:

$$(x+1)(x^2+1)=(x+1)(Q(x)+1).$$

Portanto:

$$Q(x)+1=x^2+1.$$

Logo:

$$\boxed{Q(x)=x^2}.$$

---

Passo 3 — Verificando as alternativas

Agora que sabemos que:

$$Q(x)=x^2,$$

podemos verificar cada alternativa.

Alternativa (a)

$$Q(2)=2^2=4\neq0.$$

Portanto, (a) é falsa.

---

Alternativa (b)

$$Q(3)=3^2=9\neq0.$$

Portanto, (b) é falsa.

---

Alternativa (c)

$$Q(0)=0^2=0.$$

Portanto, $Q(0)$ é nulo e (c) é falsa.

---

Alternativa (d)

$$Q(1)=1^2=1\neq0.$$

Portanto, $Q(1)$ é não nulo.

Assim, (d) é verdadeira.

---

Resultado

A alternativa correta é:

$$\boxed{\text{d) }Q(1)\text{ é não nulo}}.$$

🧩 Exercício 10 (ITA-1971)Fácil

Qual é o resto da divisão do seguinte polinômio por $x-a$?

$$\begin{vmatrix} 1 & x & x^2 & x^3\\ 1 & a & a^2 & a^3\\ 1 & b & b^2 & b^3\\ 1 & c & c^2 & c^3 \end{vmatrix}$$

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Para determinar o resto da divisão de um polinômio por $x-a$, utilize o Teorema do Resto.

Se o polinômio for $P(x)$, então o resto da divisão por $x-a$ é:

$$P(a).$$

Portanto, basta substituir $x=a$ no determinante e observar o que acontece.

Passo 1 — Utilizando o Teorema do Resto

Seja:

$$P(x)= \begin{vmatrix} 1 & x & x^2 & x^3\\ 1 & a & a^2 & a^3\\ 1 & b & b^2 & b^3\\ 1 & c & c^2 & c^3 \end{vmatrix}.$$

Queremos encontrar o resto da divisão de $P(x)$ por $x-a$.

Pelo Teorema do Resto, esse resto é:

$$P(a).$$

---

Passo 2 — Substituindo $x=a$

Substituindo $x=a$ na primeira linha do determinante, obtemos:

$$P(a)= \begin{vmatrix} 1 & a & a^2 & a^3\\ 1 & a & a^2 & a^3\\ 1 & b & b^2 & b^3\\ 1 & c & c^2 & c^3 \end{vmatrix}.$$

Observe que a primeira e a segunda linhas são iguais.

---

Passo 3 — Determinante com duas linhas iguais

Um determinante que possui duas linhas iguais é sempre igual a zero.

Assim:

$$P(a)=0.$$

Portanto, o resto da divisão de $P(x)$ por $x-a$ é:

$$\boxed{0}.$$

---

Resultado

A alternativa correta é:

$$\boxed{\text{d) }0}.$$

🧩 Exercício 11 (ITA)Difícil

Seja

$$P(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+\cdots+a_{100}x^{100},$$

onde $a_{100}=1$, um polinômio divisível por $(x+9)^{100}$.

Nestas condições temos:

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Como $P(x)$ é um polinômio de grau $100$, com $a_{100}=1$, e é divisível por $(x+9)^{100}$, compare os coeficientes de $x^2$ na expansão de:

$$(x+9)^{100}.$$

Utilize o Teorema Binomial:

$$(x+a)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^ka^{n-k}.$$

Passo 1 — Identificando o polinômio

Sabemos que $P(x)$ é divisível por $(x+9)^{100}$.

Como $(x+9)^{100}$ possui grau $100$ e $P(x)$ também possui grau $100$, podemos escrever:

$$P(x)=C(x+9)^{100}$$

para alguma constante $C$.

Entretanto, sabemos que:

$$a_{100}=1.$$

O coeficiente de $x^{100}$ em $(x+9)^{100}$ é $1$. Portanto:

$$C=1.$$

Assim:

$$\boxed{P(x)=(x+9)^{100}}.$$

---

Passo 2 — Encontrando o coeficiente de $x^2$

Pelo Teorema Binomial:

$$(x+9)^{100} = \sum_{k=0}^{100} \binom{100}{k}x^k9^{100-k}.$$

O termo que contém $x^2$ corresponde a $k=2$.

Logo:

$$a_2=\binom{100}{2}9^{98}.$$

Como:

$$\binom{100}{2} = \frac{100!}{2!(100-2)!},$$

temos:

$$a_2= \frac{100!}{2!98!}9^{98}.$$

Portanto:

$$\boxed{a_2=50\times99\times9^{98}}.$$

---

Resultado

A alternativa correta é:

$$\boxed{\text{a) }a_2=50\times99\times9^{98}}.$$

🧩 Exercício 12 (ITA)Médio

Se $P(x)$ é um polinômio do 5º grau que satisfaz as condições:

$$1=P(1)=P(2)=P(3)=P(4)=P(5)$$

e

$$P(6)=0,$$

então temos:

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Considere o polinômio:

$$P(x)-1.$$

Como $P(1)=P(2)=P(3)=P(4)=P(5)=1$, o polinômio $P(x)-1$ possui as raízes $1,2,3,4$ e $5$.

Como $P(x)$ é do 5º grau, utilize a forma fatorada de $P(x)-1$ e determine a constante usando a condição $P(6)=0$.

Passo 1 — Construindo o polinômio $P(x)-1$

Como:

$$P(1)=P(2)=P(3)=P(4)=P(5)=1,$$

temos:

$$P(1)-1=P(2)-1=P(3)-1=P(4)-1=P(5)-1=0.$$

Portanto, $1,2,3,4$ e $5$ são raízes de $P(x)-1$.

Assim, podemos escrever:

$$P(x)-1=k(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5),$$

onde $k$ é uma constante.

Logo:

$$P(x)=1+k(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5).$$

---

Passo 2 — Utilizando a condição $P(6)=0$

Sabemos que:

$$P(6)=0.$$

Substituindo $x=6$:

$$0=1+k(6-1)(6-2)(6-3)(6-4)(6-5).$$

Então:

$$0=1+k(5)(4)(3)(2)(1).$$

Como:

$$5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1=120,$$

temos:

$$0=1+120k.$$

Logo:

$$k=-\frac{1}{120}.$$

---

Passo 3 — Calculando $P(0)$

Agora basta substituir $x=0$:

$$P(0)=1-\frac{1}{120}(0-1)(0-2)(0-3)(0-4)(0-5).$$

Calculando o produto:

$$(-1)(-2)(-3)(-4)(-5)=-120.$$

Portanto:

$$P(0)=1-\frac{1}{120}(-120).$$

Assim:

$$P(0)=1+1.$$

Logo:

$$\boxed{P(0)=2}.$$

---

Resultado

A alternativa correta é:

$$\boxed{\text{d) }P(0)=2}.$$

🧩 Exercício 13 (ITA)Médio

Considere a equação

$$a_0x^5+a_1x^4+a_2x^3+a_3x^2+a_4x+a_5=0.$$

Sobre as raízes dessa equação, assinale a alternativa correta:

💡 Dica — clique para visualizar

Lembre-se de que um polinômio de grau $5$ possui exatamente $5$ raízes no conjunto dos números complexos, contando as multiplicidades.

Por exemplo, se houver $4$ raízes distintas, as multiplicidades devem somar $5$.

Passo 1 — Analisando as multiplicidades

Pelo Teorema Fundamental da Álgebra, um polinômio de grau $5$ possui exatamente $5$ raízes complexas, contando suas multiplicidades.

Isso significa que a soma das multiplicidades de todas as raízes é igual a $5$.

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Passo 2 — Analisando a alternativa (d)

Suponha que a equação tenha exatamente $4$ raízes distintas.

Se cada uma delas tivesse multiplicidade $1$, teríamos apenas:

$$1+1+1+1=4$$

raízes, contando multiplicidades.

Mas o polinômio possui grau $5$, portanto precisamos de mais uma ocorrência.

Assim, necessariamente uma das quatro raízes deve possuir multiplicidade $2$.

A distribuição das multiplicidades será:

$$2+1+1+1=5.$$

Portanto:

$$\boxed{\text{se tiver apenas 4 raízes distintas, uma delas tem multiplicidade 2.}}$$

Logo, a alternativa (d) é verdadeira.

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Passo 3 — Verificando as demais alternativas

Alternativa (a)

A afirmação diz que a equação só admite uma raiz de multiplicidade $5$.

Isso não é necessariamente verdade. Um polinômio de grau $5$ pode possuir, por exemplo, cinco raízes distintas:

$$1+1+1+1+1=5.$$

Logo, (a) é falsa.

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Alternativa (b)

Se houver apenas duas raízes de multiplicidade $1$, ainda podemos ter diferentes distribuições das multiplicidades.

Por exemplo:

$$3+1+1=5.$$

Nesse caso, existem duas raízes de multiplicidade $1$, mas a outra possui multiplicidade $3$, e não $2$.

Logo, (b) é falsa.

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Alternativa (c)

Se houver uma raiz de multiplicidade $3$, restam duas raízes contando multiplicidades:

$$5-3=2.$$

Essas duas ocorrências podem corresponder a uma única raiz de multiplicidade $2$.

Por exemplo:

$$3+2=5.$$

Portanto, não é necessário que existam duas raízes de multiplicidade $1$.

Logo, (c) é falsa.

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Alternativa (e)

O fato de o polinômio possuir uma raiz real não implica que todas as suas raízes sejam reais.

Por exemplo, o polinômio

$$(x-1)(x^2+1)(x^2+4)$$

possui a raiz real $x=1$, mas também possui raízes complexas não reais.

Logo, (e) é falsa.

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Resultado

A única alternativa necessariamente verdadeira é:

$$\boxed{\text{d) se tiver apenas 4 raízes distintas, uma delas tem multiplicidade 2.}}$$

🧩 Exercício 14 (ITA)Fácil

Sabendo-se que o polinômio

$$P(x)=ax^3+bx^2+2x-2$$

é divisível por $(x+1)$ e por $(x-2)$, podemos afirmar que:

💡 Dica — clique para visualizar

Se $P(x)$ é divisível por $(x-r)$, então, pelo Teorema do Resto:

$$P(r)=0.$$

Como $P(x)$ é divisível por $(x+1)$ e $(x-2)$, calcule:

$$P(-1)=0$$

e

$$P(2)=0.$$

Isso fornecerá um sistema de duas equações para determinar $a$ e $b$.

Passo 1 — Utilizando a divisibilidade por $x+1$

Como $P(x)$ é divisível por $(x+1)$, pelo Teorema do Resto temos:

$$P(-1)=0.$$

Substituindo $x=-1$:

$$a(-1)^3+b(-1)^2+2(-1)-2=0.$$

Então:

$$-a+b-2-2=0.$$

Logo:

$$-a+b-4=0$$

e, portanto:

$$\boxed{b=a+4}.$$

---

Passo 2 — Utilizando a divisibilidade por $x-2$

Como $P(x)$ é divisível por $(x-2)$:

$$P(2)=0.$$

Substituindo $x=2$:

$$a(2)^3+b(2)^2+2(2)-2=0.$$

Assim:

$$8a+4b+4-2=0.$$

Portanto:

$$8a+4b+2=0.$$

Dividindo por $2$:

$$4a+2b+1=0.$$

---

Passo 3 — Resolvendo o sistema

Temos:

$$\begin{cases} b=a+4\\ 4a+2b+1=0 \end{cases}$$

Substituindo $b=a+4$ na segunda equação:

$$4a+2(a+4)+1=0.$$

Então:

$$4a+2a+8+1=0.$$

Logo:

$$6a+9=0.$$

Assim:

$$\boxed{a=-\frac{3}{2}}.$$

Agora determinamos $b$:

$$b=a+4.$$

Portanto:

$$b=-\frac{3}{2}+4$$$$b=\frac{5}{2}.$$

Logo:

$$\boxed{b=\frac{5}{2}}.$$

---

Passo 4 — Analisando os sinais

Obtivemos:

$$a=-\frac{3}{2} \qquad\text{e}\qquad b=\frac{5}{2}.$$

Assim, $a$ e $b$ possuem sinais opostos e ambos são racionais não inteiros.

Portanto:

$$\boxed{\text{a e b têm sinais opostos e são racionais não inteiros.}}$$

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Resultado

A alternativa correta é:

$$\boxed{\text{c) }a\text{ e }b\text{ têm sinais opostos e são racionais não inteiros.}}$$

🧩 Exercício 15 (ITA)Médio

Com base no gráfico da função polinomial $y=f(x)$ esboçado abaixo, responda qual é o resto da divisão de $f(x)$ por

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)(x-1).$$

💡 Dica — clique para visualizar

O divisor possui grau $2$. Portanto, o resto da divisão deve ser um polinômio de grau menor que $2$.

Assim, escreva:

$$R(x)=ax+b.$$

Pelo Teorema do Resto, como os fatores do divisor são $x-\frac{1}{2}$ e $x-1$, podemos utilizar os valores:

$$R\left(\frac{1}{2}\right)=f\left(\frac{1}{2}\right)$$

e

$$R(1)=f(1).$$

Observe esses dois valores diretamente no gráfico.

Passo 1 — Determinando o grau do resto

O divisor é:

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)(x-1).$$

Como ele possui grau $2$, o resto deve possuir grau menor que $2$.

Portanto, podemos escrever:

$$R(x)=ax+b.$$

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Passo 2 — Obtendo os valores no gráfico

Pelo gráfico, temos:

$$f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{8}$$

e

$$f(1)=0.$$

Como $f(x)$ e $R(x)$ possuem o mesmo valor nos zeros do divisor, pelo Teorema do Resto:

$$R\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{8}$$

e

$$R(1)=0.$$

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Passo 3 — Determinando $a$ e $b$

Como:

$$R(x)=ax+b,$$

temos, para $x=\frac{1}{2}$:

$$\frac{a}{2}+b=\frac{1}{8}.$$

Para $x=1$:

$$a+b=0.$$

Logo:

$$b=-a.$$

Substituindo na primeira equação:

$$\frac{a}{2}-a=\frac{1}{8}.$$

Assim:

$$-\frac{a}{2}=\frac{1}{8}.$$

Portanto:

$$a=-\frac{1}{4}.$$

Consequentemente:

$$b=\frac{1}{4}.$$

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Passo 4 — Encontrando o resto

Temos:

$$R(x)=-\frac{x}{4}+\frac{1}{4}.$$

Logo:

$$\boxed{R(x)=\frac{1-x}{4}}.$$

Resultado

O resto da divisão é:

$$\boxed{\frac{1-x}{4}}.$$