Questões do IME 2010/2011 Resolvidas

Nesta página, você encontra questões do IME 2010/2011 resolvidas passo a passo, com problemas de Matemática que exploram diferentes níveis de raciocínio e técnicas de resolução. A seleção reúne questões de álgebra, geometria, trigonometria, funções, limites, progressões, matrizes, teoria dos conjuntos e análise de expressões matemáticas.

As questões do vestibular do IME são conhecidas por exigir mais do que a aplicação direta de fórmulas. Muitas delas envolvem a identificação de propriedades, manipulação algébrica, interpretação geométrica e escolha de estratégias eficientes para chegar ao resultado.

Aqui, cada questão é acompanhada de uma resolução detalhada, mostrando as etapas do raciocínio e as propriedades matemáticas utilizadas. O objetivo é permitir que você não apenas confira a resposta, mas também entenda como resolver questões difíceis de Matemática do IME.

Esta coleção pode ser utilizada para:

• estudar para o vestibular do IME;
• praticar questões de Matemática do IME;
• revisar conteúdos de Matemática;
• treinar problemas de nível avançado;
• conferir questões do IME resolvidas;
• identificar diferentes estratégias de resolução.

Se você está se preparando para o IME, procure primeiro resolver cada problema sozinho e utilize a solução somente depois para verificar seu raciocínio. A prática com questões de provas anteriores é uma das melhores formas de conhecer o nível de dificuldade e os tipos de problemas encontrados no vestibular.

Dica: tente resolver cada questão antes de abrir a solução. Em problemas de nível IME, muitas vezes o principal desafio não está no cálculo, mas em perceber qual propriedade ou estratégia deve ser utilizada.

🧩 Exercício 1 IME 2010/2011Médio

Seja o triângulo retângulo $ABC$, cujos catetos medem $3$ cm e $4$ cm. Os diâmetros dos três semicírculos construídos sobre os lados do triângulo coincidem com as medidas dos lados de $ABC$.

A soma das áreas hachuradas, em $\text{cm}^2$, é:

Como o triângulo $ABC$ é retângulo e seus catetos medem $3$ cm e $4$ cm, pelo Teorema de Pitágoras, sua hipotenusa mede

$$AB=\sqrt{3^2+4^2}=5\text{ cm}.$$

Portanto, os três semicírculos possuem diâmetros $3$, $4$ e $5$.

A área de um semicírculo de diâmetro $d$ é

$$A_{\text{semi}} = \frac{1}{2}\pi\left(\frac{d}{2}\right)^2 = \frac{\pi d^2}{8}.$$

Assim, a soma das áreas dos dois semicírculos construídos sobre os catetos é

$$A_3+A_4 = \frac{\pi 3^2}{8} + \frac{\pi 4^2}{8}.$$

Logo,

$$A_3+A_4 = \frac{9\pi}{8} + \frac{16\pi}{8} = \frac{25\pi}{8}.$$

Por outro lado, a área do semicírculo construído sobre a hipotenusa é

$$A_5 = \frac{\pi5^2}{8} = \frac{25\pi}{8}.$$

Portanto,

$$\boxed{A_3+A_4=A_5}.$$

Agora vamos observar a decomposição das regiões.

Os dois semicírculos menores podem ser divididos em:

• as regiões que ficam dentro do semicírculo maior;
• as duas regiões hachuradas.

Já o semicírculo maior pode ser dividido em:

• essas mesmas regiões internas;
• a área do triângulo $ABC$.

Como as áreas totais dos dois conjuntos de semicírculos são iguais, as partes comuns se cancelam. Consequentemente, a soma das áreas hachuradas é exatamente igual à área do triângulo.

A área do triângulo retângulo é

$$A_{\triangle ABC} = \frac{3\cdot4}{2}.$$

Portanto,

$$A_{\triangle ABC}=6\text{ cm}^2.$$

Logo, a soma das áreas hachuradas é

$$\boxed{6\text{ cm}^2}.$$

Assim, a alternativa correta é a A.

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🧩 Exercício 2 IME 2010/2011Médio

Determine o valor de $x$ que satisfaz a equação

$$\operatorname{sen}\left(\operatorname{arccot}(1+x)\right) = \cos\left(\operatorname{arctg}(x)\right).$$

Sejam os ângulos $\theta_1$ e $\theta_2$ definidos por

$$\cot\theta_1=1+x$$

e

$$\operatorname{tg}\theta_2=x.$$

Pela definição da cotangente,

$$\cot\theta_1 = \frac{\cos\theta_1}{\operatorname{sen}\theta_1}.$$

Como

$$\cot\theta_1=1+x,$$

temos

$$\cos\theta_1 = (1+x)\operatorname{sen}\theta_1.$$

Utilizando a identidade fundamental

$$\operatorname{sen}^2\theta_1+\cos^2\theta_1=1,$$

obtemos

$$\operatorname{sen}^2\theta_1 + (1+x)^2\operatorname{sen}^2\theta_1 = 1.$$

Colocando $\operatorname{sen}^2\theta_1$ em evidência:

$$\operatorname{sen}^2\theta_1 \left[ 1+(1+x)^2 \right] = 1.$$

Logo,

$$\operatorname{sen}^2\theta_1 = \frac{1}{1+(1+x)^2}.$$

Como $\operatorname{sen}\theta_1>0$,

$$\operatorname{sen}\theta_1 = \frac{1} {\sqrt{1+(1+x)^2}}.$$

Agora analisamos $\theta_2$.

Como

$$\operatorname{tg}\theta_2=x,$$

temos

$$\frac{\operatorname{sen}\theta_2} {\cos\theta_2} = x.$$

Portanto,

$$\operatorname{sen}\theta_2 = x\cos\theta_2.$$

Novamente, pela identidade fundamental,

$$\operatorname{sen}^2\theta_2+\cos^2\theta_2=1.$$

Substituindo $\operatorname{sen}\theta_2=x\cos\theta_2$:

$$x^2\cos^2\theta_2+\cos^2\theta_2=1.$$

Assim,

$$\cos^2\theta_2(1+x^2)=1.$$

Como $\cos\theta_2>0$,

$$\cos\theta_2 = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}.$$

Voltando à equação original,

$$\operatorname{sen}\left(\operatorname{arccot}(1+x)\right) = \cos\left(\operatorname{arctg}(x)\right),$$

temos

$$\frac{1} {\sqrt{1+(1+x)^2}} = \frac{1} {\sqrt{1+x^2}}.$$

Como os dois lados são positivos, podemos elevar ambos ao quadrado:

$$\frac{1}{1+(1+x)^2} = \frac{1}{1+x^2}.$$

Consequentemente,

$$1+(1+x)^2=1+x^2.$$

Cancelando $1$ dos dois lados:

$$(1+x)^2=x^2.$$

Desenvolvendo:

$$1+2x+x^2=x^2.$$

Logo,

$$1+2x=0.$$

Portanto,

$$\boxed{x=-\frac12}.$$

Assim, a alternativa correta é

$$\boxed{\text{C}}.$$

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🧩 Exercício 3 IME 2010/2011Médio

A base de uma pirâmide é um retângulo de área $S$. Sabe-se que duas de suas faces laterais são perpendiculares ao plano da base. As outras duas faces formam ângulos de $30^\circ$ e $60^\circ$ com a base.

O volume da pirâmide é:

Sejam $a$ e $b$ os lados do retângulo da base. Como a área da base é $S$,

$$ab=S.$$

Como duas faces laterais são perpendiculares ao plano da base, a projeção ortogonal do vértice da pirâmide sobre o plano da base coincide com um vértice do retângulo.

Denotemos por $h$ a altura da pirâmide.

Considere agora as duas faces laterais restantes. Elas formam ângulos de $30^\circ$ e $60^\circ$ com o plano da base.

Ao traçarmos a altura da pirâmide e a distância correspondente no plano da base, obtemos triângulos retângulos.

Para a face que forma ângulo de $30^\circ$ com a base, temos

$$\tan30^\circ=\frac{h}{b}.$$

Como

$$\tan30^\circ=\frac{1}{\sqrt3},$$

segue que

$$\frac{1}{\sqrt3}=\frac{h}{b},$$

portanto,

$$b=\sqrt3h.$$

Para a outra face, que forma ângulo de $60^\circ$ com a base:

$$\tan60^\circ=\frac{h}{a}.$$

Como

$$\tan60^\circ=\sqrt3,$$

temos

$$\sqrt3=\frac{h}{a},$$

logo,

$$a=\frac{h}{\sqrt3}.$$

Assim, os lados da base satisfazem

$$ab = \left(\frac{h}{\sqrt3}\right)(\sqrt3h).$$

Portanto,

$$ab=h^2.$$

Mas sabemos que

$$ab=S.$$

Consequentemente,

$$h^2=S.$$

Como a altura é positiva,

$$h=\sqrt S.$$

Finalmente, o volume de uma pirâmide é

$$V=\frac13 A_{\text{base}}h.$$

Como

$$A_{\text{base}}=S$$

e

$$h=\sqrt S,$$

obtemos

$$V = \frac13S\sqrt S.$$

Portanto,

$$\boxed{ V=\frac{S\sqrt S}{3} }.$$

Assim, a alternativa correta é a A.

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🧩 Exercício 4 IME 2010/2011Médio

Sejam $x_1,x_2,\ldots,x_n$ os primeiros termos de uma progressão aritmética. O primeiro termo e a razão dessa progressão são os números $x_1$ e $r$, respectivamente.

Considere o determinante

$$\Delta= \begin{vmatrix} x_1 & x_1 & x_1 & \cdots & x_1\\ x_1 & x_2 & x_2 & \cdots & x_2\\ x_1 & x_2 & x_3 & \cdots & x_3\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ x_1 & x_2 & x_3 & \cdots & x_n \end{vmatrix}.$$

O valor de $\Delta$ é:

Como $x_1,x_2,\ldots,x_n$ são termos de uma progressão aritmética de razão $r$, temos

$$x_i-x_{i-1}=r$$

para $i\geq2$.

Considere o determinante

$$\Delta= \begin{vmatrix} x_1 & x_1 & x_1 & \cdots & x_1\\ x_1 & x_2 & x_2 & \cdots & x_2\\ x_1 & x_2 & x_3 & \cdots & x_3\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ x_1 & x_2 & x_3 & \cdots & x_n \end{vmatrix}.$$

Vamos realizar operações elementares entre as linhas.

Subtraímos a linha n-1 da linha n:

$$L_n\leftarrow L_n-L_{n-1}.$$

Depois, subtraímos a linha n-2 da linha n-1:

$$L_{n-1}\leftarrow L_{n-1}-L_{n-2},$$

e assim sucessivamente, até

$$L_2\leftarrow L_2-L_1.$$

Como essas operações substituem uma linha pela diferença entre ela e outra linha, o determinante não é alterado.

Observe agora o que acontece com as linhas.

Na segunda linha:

$$(x_1,x_2,x_2,\ldots,x_2) - (x_1,x_1,x_1,\ldots,x_1),$$

resultando em

$$(0,r,r,\ldots,r).$$

Na terceira linha:

$$(x_1,x_2,x_3,\ldots,x_3) - (x_1,x_2,x_2,\ldots,x_2),$$

resultando em

$$(0,0,r,\ldots,r).$$

Continuando o mesmo procedimento, obtemos

$$\Delta= \begin{vmatrix} x_1 & x_1 & x_1 & \cdots & x_1\\ 0 & r & r & \cdots & r\\ 0 & 0 & r & \cdots & r\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & r \end{vmatrix}.$$

A matriz obtida é triangular superior.

Portanto, seu determinante é o produto dos elementos da diagonal principal:

$$\Delta = x_1\cdot r\cdot r\cdots r.$$

Na diagonal existem $n-1$ elementos iguais a $r$. Assim,

$$\boxed{\Delta=x_1r^{n-1}}.$$

Portanto, a alternativa correta é a E.

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🧩 Exercício 5 IME 2010/2011Médio

Uma reta, com coeficiente angular $a_1$, passa pelo ponto $(0,-1)$. Uma outra reta, com coeficiente angular $a_2$, passa pelo ponto $(0,1)$. Sabe-se que

$$a_1^2+a_2^2=2.$$

O lugar geométrico percorrido pelo ponto de interseção das duas retas é:

As equações das duas retas podem ser escritas diretamente a partir dos pontos pelos quais passam.

A primeira reta possui coeficiente angular $a_1$ e passa por $(0,-1)$. Portanto,

$$y=a_1x-1.$$

A segunda reta possui coeficiente angular $a_2$ e passa por $(0,1)$. Assim,

$$y=a_2x+1.$$

Seja $(x,y)$ o ponto de interseção das duas retas.

Como esse ponto pertence às duas retas, temos

$$a_1x-1=a_2x+1.$$

Logo,

$$(a_1-a_2)x=2,$$

de onde

$$x=\frac{2}{a_1-a_2}.$$

Agora podemos determinar $y$ utilizando, por exemplo, a primeira reta:

$$y=a_1x-1.$$

Substituindo $x$:

$$y= a_1\frac{2}{a_1-a_2}-1.$$

Colocando tudo sobre o mesmo denominador:

$$y= \frac{2a_1-(a_1-a_2)} {a_1-a_2}.$$

Portanto,

$$y= \frac{a_1+a_2}{a_1-a_2}.$$

Temos então

$$x=\frac{2}{a_1-a_2}$$

e

$$y=\frac{a_1+a_2}{a_1-a_2}.$$

Agora vamos eliminar $a_1$ e $a_2$ para encontrar o lugar geométrico.

Definimos

$$d=a_1-a_2$$

e

$$s=a_1+a_2.$$

Das expressões anteriores,

$$x=\frac{2}{d}$$

e

$$y=\frac{s}{d}.$$

Assim,

$$d=\frac{2}{x}$$

e

$$s=\frac{2y}{x}.$$

Por outro lado,

$$a_1^2+a_2^2=2.$$

Como

$$(a_1+a_2)^2+(a_1-a_2)^2 = 2(a_1^2+a_2^2),$$

temos

$$s^2+d^2=4.$$

Substituindo $s=\frac{2y}{x}$ e $d=\frac{2}{x}$:

$$\left(\frac{2y}{x}\right)^2 + \left(\frac{2}{x}\right)^2 = 4.$$

Logo,

$$\frac{4y^2}{x^2} + \frac{4}{x^2} = 4.$$

Multiplicando por $\frac{x^2}{4}$:

$$y^2+1=x^2.$$

Portanto,

$$\boxed{x^2-y^2=1}.$$

Essa é a equação de uma hipérbole com centro na origem.

A forma padrão é

$$\frac{x^2}{1^2} - \frac{y^2}{1^2} =1.$$

Logo,

$$a=1 \qquad\text{e}\qquad b=1.$$

Para uma hipérbole da forma

$$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} =1,$$

a excentricidade é

$$e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}.$$

Neste caso,

$$e=\sqrt{1+1}=\sqrt2.$$

As diretrizes de uma hipérbole horizontal são dadas por

$$x=\pm\frac{a}{e}.$$

Como $a=1$ e $e=\sqrt2$,

$$x=\pm\frac{1}{\sqrt2}.$$

Racionalizando:

$$x=\pm\frac{\sqrt2}{2}.$$

Portanto, o lugar geométrico é uma hipérbole de centro $(0,0)$ e diretrizes

$$\boxed{x=\pm\frac{\sqrt2}{2}}.$$

Assim, a alternativa correta é a (C).

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🧩 Exercício 6 IME 2010/2011Médio

O valor de $y$ real positivo na equação

$$(5y)^{\log_x5}-(7y)^{\log_x7}=0,$$

onde $x$ é um número real maior que $1$, é:

Da equação dada,

$$(5y)^{\log_x5}=(7y)^{\log_x7}.$$

Como $x>1$ e $y>0$, ambos os lados são positivos. Portanto, podemos aplicar o logaritmo natural aos dois membros:

$$\ln\left((5y)^{\log_x5}\right) = \ln\left((7y)^{\log_x7}\right).$$

Utilizando

$$\ln(a^b)=b\ln a,$$

obtemos

$$\log_x5\cdot\ln(5y) = \log_x7\cdot\ln(7y).$$

Agora utilizamos a mudança de base:

$$\log_x5=\frac{\ln5}{\ln x}$$

e

$$\log_x7=\frac{\ln7}{\ln x}.$$

Assim,

$$\frac{\ln5}{\ln x}\ln(5y) = \frac{\ln7}{\ln x}\ln(7y).$$

Como $x>1$, temos $\ln x\neq0$. Podemos multiplicar por $\ln x$:

$$\ln5\ln(5y) = \ln7\ln(7y).$$

Usando

$$\ln(5y)=\ln5+\ln y$$

e

$$\ln(7y)=\ln7+\ln y,$$

temos

$$\ln5(\ln5+\ln y) = \ln7(\ln7+\ln y).$$

Desenvolvendo:

$$(\ln5)^2+\ln5\ln y = (\ln7)^2+\ln7\ln y.$$

Agrupando os termos que contêm $\ln y$:

$$\ln5\ln y-\ln7\ln y = (\ln7)^2-(\ln5)^2.$$

Colocando $\ln y$ em evidência:

$$(\ln5-\ln7)\ln y = (\ln7)^2-(\ln5)^2.$$

No segundo membro, usamos diferença de quadrados:

$$(\ln7)^2-(\ln5)^2 = (\ln7-\ln5)(\ln7+\ln5).$$

Como

$$\ln5-\ln7=-(\ln7-\ln5),$$

segue que

$$\ln y = -(\ln7+\ln5).$$

Pela propriedade do logaritmo do produto,

$$\ln7+\ln5=\ln35.$$

Logo,

$$\ln y=-\ln35.$$

Como

$$-\ln35=\ln\left(\frac1{35}\right),$$

temos

$$\ln y=\ln\left(\frac1{35}\right).$$

Portanto,

$$\boxed{y=\frac1{35}}.$$

Assim, a alternativa correta é a (D).

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🧩 Exercício 8 IME 2010/2011Médio

O valor de

$$\cos\frac{2\pi}{7} + \cos\frac{4\pi}{7} + \cos\frac{6\pi}{7} + \frac{1}{2}$$

é:

Considere as sete raízes sétimas da unidade no plano complexo. Elas estão igualmente distribuídas sobre a circunferência unitária.

A soma dessas raízes é zero:

$$1+ e^{\frac{2\pi i}{7}} + e^{\frac{4\pi i}{7}} + e^{\frac{6\pi i}{7}} + e^{\frac{8\pi i}{7}} + e^{\frac{10\pi i}{7}} + e^{\frac{12\pi i}{7}} =0.$$

Como

$$e^{i\theta}=\cos\theta+i\operatorname{sen}\theta,$$

podemos considerar as partes reais da igualdade.

Assim,

$$1+ \cos\frac{2\pi}{7} + \cos\frac{4\pi}{7} + \cos\frac{6\pi}{7} + \cos\frac{8\pi}{7} + \cos\frac{10\pi}{7} + \cos\frac{12\pi}{7} =0.$$

Agora utilizamos as simetrias:

$$\cos\frac{8\pi}{7} = -\cos\frac{\pi}{7},$$$$\cos\frac{10\pi}{7} = -\cos\frac{3\pi}{7},$$

e

$$\cos\frac{12\pi}{7} = -\cos\frac{5\pi}{7}.$$

Entretanto, uma maneira mais direta é agrupar os termos simétricos em relação ao eixo real:

$$\cos\frac{8\pi}{7}=\cos\frac{6\pi}{7},$$$$\cos\frac{10\pi}{7}=\cos\frac{4\pi}{7},$$

e

$$\cos\frac{12\pi}{7}=\cos\frac{2\pi}{7}.$$

Portanto,

$$1+ 2\left( \cos\frac{2\pi}{7} + \cos\frac{4\pi}{7} + \cos\frac{6\pi}{7} \right) =0.$$

Logo,

$$\cos\frac{2\pi}{7} + \cos\frac{4\pi}{7} + \cos\frac{6\pi}{7} = -\frac12.$$

Substituindo na expressão do enunciado:

$$-\frac12+\frac12=0.$$

Portanto,

$$\boxed{0}.$$

Assim, a alternativa correta é a (C).

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🧩 Exercício 9 IME 2010/2011Médio

Sejam $x$ e $y$ números reais. Assinale a alternativa correta.

Vamos analisar as alternativas.

Alternativa (A)

A afirmação é

$$|x|+|y| \leq \sqrt{2}|x^2+y^2|.$$

Ela não é verdadeira para todos os números reais.

Por exemplo, tomando

$$x=\frac12, \qquad y=0,$$

temos

$$|x|+|y|=\frac12$$

enquanto

$$\sqrt2|x^2+y^2| = \sqrt2\cdot\frac14 = \frac{\sqrt2}{4}.$$

Como

$$\frac12>\frac{\sqrt2}{4},$$

a desigualdade não é satisfeita.

Portanto, (A) é falsa.

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Alternativa (B)

A desigualdade

$$|x+y|\leq|x|+|y|$$

é conhecida como desigualdade triangular.

Ela é válida para quaisquer números reais $x$ e $y$.

Portanto, não existem números reais que violem essa desigualdade.

Assim, (B) é falsa.

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Alternativa (C)

A afirmação é

$$|x|+|y| \leq \sqrt2\sqrt{|x^2|+|y^2|}.$$

Como

$$|x^2|=x^2$$

e

$$|y^2|=y^2,$$

podemos escrever

$$|x|+|y| \leq \sqrt2\sqrt{x^2+y^2}.$$

Agora elevamos ambos os lados ao quadrado. Como os dois membros são não negativos,

$$(|x|+|y|)^2 \leq 2(x^2+y^2).$$

Desenvolvendo o primeiro membro:

$$x^2+2|xy|+y^2 \leq 2x^2+2y^2.$$

Portanto,

$$2|xy| \leq x^2+y^2.$$

Mas isso é exatamente consequência da desigualdade

$$(x-|y|)^2\geq0.$$

De fato,

$$x^2-2|xy|+y^2\geq0,$$

logo,

$$2|xy|\leq x^2+y^2.$$

Portanto,

$$\boxed{ |x|+|y| \leq \sqrt2\sqrt{x^2+y^2} }.$$

Assim, a alternativa (C) é verdadeira.

Também podemos reconhecer essa desigualdade diretamente como um caso da desigualdade de Cauchy-Schwarz:

$$(|x|+|y|)^2 \leq (1^2+1^2)(x^2+y^2).$$

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Alternativa (D)

A afirmação é

$$|x-y|\leq|x+y|.$$

Ela não é verdadeira para todos os números reais.

Tomando

$$x=1 \qquad\text{e}\qquad y=-1,$$

temos

$$|x-y| = |1-(-1)| = 2$$

enquanto

$$|x+y| = |1+(-1)| = 0.$$

Assim,

$$2\leq0$$

é falso.

Portanto, (D) é falsa.

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Alternativa (E)

A alternativa afirma que não existem $x$ e $y$ que não satisfaçam

$$|x|+|y| \leq \sqrt3|x^2+y^2|.$$

Entretanto, basta tomar

$$x=\frac12, \qquad y=0.$$

Nesse caso,

$$|x|+|y| = \frac12$$

e

$$\sqrt3|x^2+y^2| = \frac{\sqrt3}{4}.$$

Como

$$\frac12>\frac{\sqrt3}{4},$$

a desigualdade não é satisfeita.

Logo, existe pelo menos um par $(x,y)$ que não satisfaz a desigualdade.

Portanto, (E) é falsa.

Concluímos que a única alternativa correta é

$$\boxed{\text{(C)}}.$$

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🧩 Exercício 10 IME 2010/2011Médio

Em relação à teoria dos conjuntos, considere as seguintes afirmativas relacionadas aos conjuntos $A$, $B$ e $C$:

I. Se $A\in B$ e $B\subseteq C$ então $A\in C$.

II. Se $A\subseteq B$ e $B\in C$ então $A\in C$.

III. Se $A\subseteq B$ e $B\in C$ então $A\subseteq C$.

Estão corretas:

Vamos analisar cada afirmativa.

Afirmativa I

Temos

$$A\in B$$

e

$$B\subseteq C.$$

A relação $B\subseteq C$ significa que todo elemento de $B$ também é elemento de $C$.

Como $A\in B$, segue que

$$A\in C.$$

Portanto, a afirmativa I é verdadeira.

Afirmativa II

Temos

$$A\subseteq B$$

e

$$B\in C.$$

Não podemos concluir que $A\in C$.

De fato, tome

$$A=\{1\}, \qquad B=\{1,2\}, \qquad C=\{\{1,2\}\}.$$

Nesse caso,

$$A\subseteq B$$

e

$$B\in C,$$

mas

$$A\notin C.$$

Portanto, a afirmativa II é falsa.

Afirmativa III

Temos

$$A\subseteq B$$

e

$$B\in C.$$

Novamente, a relação $B\in C$ significa que $B$ é um elemento de $C$, e não que $B$ está contido em $C$.

Usando o mesmo exemplo,

$$A=\{1\}, \qquad B=\{1,2\}, \qquad C=\{\{1,2\}\},$$

temos

$$A\subseteq B$$

e

$$B\in C,$$

mas

$$A\not\subseteq C.$$

Portanto, a afirmativa III é falsa.

Assim, somente a afirmativa I é verdadeira.

Logo, a alternativa correta é

$$\boxed{\text{(B)}}.$$

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🧩 Exercício 11 IME 2010/2011Médio

Seja $p(x)$ uma função polinomial satisfazendo a relação

$$p(x)p\left(\frac{1}{x}\right) = p(x)+p\left(\frac{1}{x}\right).$$

Sabendo que

$$p(3)=28,$$

o valor de $p(4)$ é:

A relação dada é

$$p(x)p\left(\frac{1}{x}\right) = p(x)+p\left(\frac{1}{x}\right).$$

Podemos reorganizá-la:

$$p(x)p\left(\frac{1}{x}\right) -p(x) -p\left(\frac{1}{x}\right) =0.$$

Somando $1$ aos dois lados:

$$\left[p(x)-1\right] \left[ p\left(\frac{1}{x}\right)-1 \right] =1.$$

Portanto,

$$p\left(\frac{1}{x}\right)-1 = \frac{1}{p(x)-1}.$$

Agora observe que $p(x)$ é um polinômio.

Se $p(x)$ tivesse grau positivo, então, quando $x\to\infty$,

$$p(x)\to\infty$$

em módulo. Consequentemente,

$$p\left(\frac1x\right) \to p(0)$$

quando $x\to\infty$.

A relação

$$[p(x)-1] \left[ p\left(\frac1x\right)-1 \right] =1$$

mostra então que o segundo fator deve tender a zero. Portanto,

$$p(0)=1.$$

Assim, podemos escrever

$$p(x)=1+xq(x),$$

onde $q(x)$ é um polinômio.

Substituindo $x$ por $\frac1x$:

$$p\left(\frac1x\right) = 1+\frac{1}{x}q\left(\frac1x\right).$$

Da relação anterior,

$$[p(x)-1] \left[ p\left(\frac1x\right)-1 \right] =1,$$

obtemos

$$xq(x)\cdot \frac{1}{x}q\left(\frac1x\right) =1.$$

Logo,

$$q(x)q\left(\frac1x\right)=1.$$

Como $q(x)$ é polinômio, isso só pode ocorrer se $q(x)$ for um monômio com coeficiente $\pm1$.

De fato, escrevendo

$$q(x)=ax^n,$$

temos

$$q\left(\frac1x\right)=\frac{a}{x^n}.$$

Assim,

$$q(x)q\left(\frac1x\right) = ax^n\frac{a}{x^n} = a^2.$$

Como esse produto deve ser igual a $1$,

$$a^2=1.$$

Logo,

$$a=\pm1.$$

Portanto,

$$p(x)=1\pm x^{n+1}.$$

Agora utilizamos a informação

$$p(3)=28.$$

Se

$$p(x)=1-x^{n+1},$$

teríamos

$$p(3)=1-3^{n+1}<0,$$

o que é impossível.

Logo,

$$p(x)=1+x^{n+1}.$$

Como

$$p(3)=28,$$

temos

$$1+3^{n+1}=28.$$

Portanto,

$$3^{n+1}=27=3^3,$$

de modo que

$$n+1=3.$$

Assim,

$$\boxed{p(x)=1+x^3}.$$

Finalmente,

$$p(4)=1+4^3.$$

Como

$$4^3=64,$$

segue que

$$p(4)=65.$$

Portanto,

$$\boxed{p(4)=65}.$$

A alternativa correta é a (E).

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🧩 Exercício 12 IME 2010/2011Médio

Uma progressão aritmética $\{a_n\}$, onde $n\in\mathbb{N}^*$, tem

$$a_1>0$$

e

$$3a_8=5a_{13}.$$

Se $S_n$ é a soma dos $n$ primeiros termos desta progressão, o valor de $n$ para que $S_n$ seja máxima é:

Seja $r$ a razão da progressão aritmética.

O termo geral de uma progressão aritmética é

$$a_n=a_1+(n-1)r.$$

Assim,

$$a_8=a_1+7r$$

e

$$a_{13}=a_1+12r.$$

Pelo enunciado,

$$3a_8=5a_{13}.$$

Substituindo as expressões dos termos:

$$3(a_1+7r)=5(a_1+12r).$$

Desenvolvendo:

$$3a_1+21r=5a_1+60r.$$

Logo,

$$-2a_1=39r,$$

portanto,

$$r=-\frac{2a_1}{39}.$$

Como $a_1>0$, concluímos que

$$r<0.$$

Agora utilizamos a fórmula da soma dos $n$ primeiros termos:

$$S_n=\frac{n}{2} \left[2a_1+(n-1)r\right].$$

Substituindo

$$r=-\frac{2a_1}{39},$$

obtemos

$$S_n = \frac{n}{2} \left[ 2a_1 - \frac{2a_1(n-1)}{39} \right].$$

Colocando $2a_1$ em evidência:

$$S_n = na_1 \left[ 1-\frac{n-1}{39} \right].$$

Simplificando:

$$S_n = na_1 \frac{40-n}{39}.$$

Portanto,

$$S_n = \frac{a_1}{39}n(40-n).$$

Como $a_1>0$, o fator

$$\frac{a_1}{39}$$

é positivo. Assim, maximizar $S_n$ equivale a maximizar

$$n(40-n).$$

Desenvolvendo:

$$n(40-n)=40n-n^2.$$

Completando o quadrado:

$$40n-n^2 = 400-(n-20)^2.$$

Como

$$(n-20)^2\geq0,$$

temos

$$400-(n-20)^2\leq400,$$

com igualdade quando

$$n=20.$$

Portanto, $S_n$ é máxima para

$$\boxed{n=20}.$$

Assim, a alternativa correta é a (D).

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🧩 Exercício 14 IME 2010/2011Médio

Considere o sistema de equações lineares representado abaixo:

$$\begin{pmatrix} 1&3&0&2&1&0\\ 0&2&0&3&0&0\\ 1&5&0&0&0&0\\ 3&1&2&0&0&0\\ 4&0&0&0&0&0\\ 2&0&0&1&0&2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a\\ b\\ c\\ d\\ e\\ f \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 13\\ 11\\ 7\\ 9\\ 8\\ 13 \end{pmatrix}.$$

Os valores de $a$ e $d$ são, respectivamente:

Não é necessário resolver todas as incógnitas. Podemos utilizar apenas as equações que envolvem $a$, $b$ e $d$.

A quinta linha do sistema fornece diretamente:

$$4a=8.$$

Logo,

$$\boxed{a=2}.$$

Agora utilizamos a terceira linha:

$$a+5b=7.$$

Substituindo $a=2$:

$$2+5b=7.$$

Assim,

$$5b=5$$

e, portanto,

$$\boxed{b=1}.$$

Finalmente, utilizamos a segunda linha:

$$2b+3d=11.$$

Como $b=1$:

$$2(1)+3d=11.$$

Logo,

$$3d=9,$$

de onde

$$\boxed{d=3}.$$

Portanto, os valores procurados são

$$\boxed{a=2,\qquad d=3}.$$

Assim, a alternativa correta é a (B).

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🧩 Exercício 15 IME 2010/2011Médio

Seja

$$f(x)=a\operatorname{sen}x+b\sqrt[3]{x}+4,$$

onde $a$ e $b$ são números reais diferentes de zero. Sabendo que

$$f\left(\log_{10}(\log_3 10)\right)=5,$$

o valor de

$$f\left(\log_{10}(\log_{10}3)\right)$$

é:

Vamos analisar primeiro os dois argumentos das funções.

Defina

$$t=\log_{10}(\log_3 10).$$

Como

$$\log_3 10=\frac{1}{\log_{10}3},$$

temos

$$t = \log_{10} \left( \frac{1}{\log_{10}3} \right).$$

Utilizando

$$\log_{10}\frac{1}{u} = -\log_{10}u,$$

obtemos

$$t = -\log_{10}(\log_{10}3).$$

Portanto,

$$\boxed{ \log_{10}(\log_{10}3)=-t }.$$

O enunciado fornece

$$f(t)=5.$$

Como

$$f(x)=a\operatorname{sen}x+b\sqrt[3]{x}+4,$$

temos

$$a\operatorname{sen}t+b\sqrt[3]{t}+4=5.$$

Logo,

$$a\operatorname{sen}t+b\sqrt[3]{t}=1.$$

Agora calculamos $f(-t)$:

$$f(-t) = a\operatorname{sen}(-t) + b\sqrt[3]{-t} + 4.$$

Tanto a função seno quanto a função raiz cúbica são ímpares. Portanto,

$$\operatorname{sen}(-t)=-\operatorname{sen}t$$

e

$$\sqrt[3]{-t}=-\sqrt[3]{t}.$$

Assim,

$$f(-t) = -a\operatorname{sen}t -b\sqrt[3]{t} +4.$$

Mas já sabemos que

$$a\operatorname{sen}t+b\sqrt[3]{t}=1.$$

Consequentemente,

$$f(-t)=-1+4.$$

Portanto,

$$\boxed{f(-t)=3}.$$

Como

$$-t=\log_{10}(\log_{10}3),$$

concluímos que

$$\boxed{ f\left(\log_{10}(\log_{10}3)\right)=3 }.$$

Assim, a alternativa correta é a (B).