IME 2026

🧩 Exercício 1 IME 2026Médio

Sejam $n$ e $m$ números naturais. Sabe-se que $n$ vale $5621$ na base numérica $m$ e $1208$ na base numérica $m+5$. O valor de $n$ é:

1. Transformando os números para a base decimal

Um número escrito em uma base diferente da decimal pode ser desenvolvido como uma soma de potências dessa base.

Como $n=5621_m$, temos:

$$n=5m^3+6m^2+2m+1$$

Por outro lado, como $n=1208_{m+5}$:

$$n=(m+5)^3+2(m+5)^2+8$$

Como as duas expressões representam o mesmo número, podemos igualá-las:

$$5m^3+6m^2+2m+1 = (m+5)^3+2(m+5)^2+8$$

2. Determinando o valor de $m$

Desenvolvendo os produtos notáveis:

$$\begin{aligned} 5m^3+6m^2+2m+1 ={}&m^3+15m^2+75m+125\\ &+2m^2+20m+50+8 \end{aligned}$$

Simplificando:

$$5m^3+6m^2+2m+1 = m^3+17m^2+95m+183$$

Passando todos os termos para o primeiro membro:

$$4m^3-11m^2-93m-182=0$$

Como $m$ é uma base numérica e o algarismo $6$ aparece em $5621_m$, devemos ter $m>6$.

Testando $m=7$:

$$4(7)^3-11(7)^2-93(7)-182=0$$

Portanto,

$$\boxed{m=7}$$

3. Calculando $n$

Substituindo $m=7$ na representação $5621_m$:

$$n=5\cdot7^3+6\cdot7^2+2\cdot7+1$$$$n=5\cdot343+6\cdot49+14+1$$$$n=1715+294+14+1$$$$\boxed{n=2024}$$

Podemos conferir pela outra representação:

$$1208_{12}=1\cdot12^3+2\cdot12^2+8$$$$=1728+288+8=2024$$

Conclusão

A alternativa correta é C) 2024.

🧩 Exercício 2 IME 2026Médio

Considere os conjuntos

$$X=\{x_1,x_2,x_3,x_4,x_5\} \qquad\text{e}\qquad Y=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}.$$

Quantas funções injetivas $f:X\to Y$ existem, tais que, para dois elementos previamente fixados $x_i$ e $x_j$ de $X$,

$$|f(x_i)-f(x_j)|\neq1?$$

1. Escolhendo as imagens dos elementos fixados

Como a função é injetiva, os elementos $x_i$ e $x_j$ devem possuir imagens distintas.

Para $f(x_i)$, temos 8 possibilidades.

Para $f(x_j)$, também teríamos 7 possibilidades, caso não houvesse a restrição. Assim, inicialmente, existem:

$$8\cdot7=56$$

pares ordenados de imagens distintas.

2. Excluindo os pares cuja diferença é 1

A condição exige que:

$$|f(x_i)-f(x_j)|\neq1$$

Os pares de números de $Y$ cuja diferença absoluta é 1 são:

$$(1,2),(2,3),(3,4),\ldots,(7,8)$$

Existem 7 pares desse tipo.

Como a ordem das imagens importa, cada par pode ocorrer de duas maneiras. Portanto, devemos excluir:

$$7\cdot2=14$$

possibilidades.

Logo, o número de pares ordenados permitidos é:

$$56-14=42$$

3. Escolhendo as imagens dos três elementos restantes

Depois de definir as imagens de $x_i$ e $x_j$, restam 6 elementos disponíveis em $Y$.

Como a função deve ser injetiva, os três elementos restantes devem receber imagens distintas:

• 6 possibilidades para o primeiro;
• 5 para o segundo;
• 4 para o terceiro.

Assim, temos:

$$6\cdot5\cdot4=120$$

maneiras de completar a função.

4. Calculando o total

Pelo princípio multiplicativo:

$$42\cdot120=5040$$

Portanto,

$$\boxed{5040}$$

Conclusão

A alternativa correta é B) 5040.

🧩 Exercício 3 IME 2026Médio

O polinômio $P(x)$, de grau 3 e coeficientes reais, satisfaz a identidade

$$P(x)-P(x-1)=x^2$$

para todo $x\in\mathbb{R}$ e, além disso, $P(0)=5$.

O valor de $P(10)$ é:

1. Utilizando a identidade

Temos:

$$P(x)-P(x-1)=x^2$$

Substituindo sucessivamente $x=1,2,\ldots,10$, obtemos:

$$\begin{aligned} P(1)-P(0)&=1^2\\ P(2)-P(1)&=2^2\\ P(3)-P(2)&=3^2\\ &\vdots\\ P(10)-P(9)&=10^2 \end{aligned}$$

2. Somando as igualdades

Ao somar todas as equações, os termos intermediários se cancelam:

$$\begin{aligned} &P(1)-P(0)+P(2)-P(1)+\cdots\\ &\qquad +P(10)-P(9)\\ &=1^2+2^2+\cdots+10^2 \end{aligned}$$

Resta:

$$P(10)-P(0)=\sum_{k=1}^{10}k^2$$

Como $P(0)=5$:

$$P(10)-5=\sum_{k=1}^{10}k^2$$

3. Calculando a soma dos quadrados

Utilizamos a fórmula:

$$\sum_{k=1}^{n}k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$

Para $n=10$:

$$\sum_{k=1}^{10}k^2 = \frac{10\cdot11\cdot21}{6}$$$$=385$$

Portanto:

$$P(10)-5=385$$$$P(10)=390$$

Conclusão

A alternativa correta é C) 390.

🧩 Exercício 4 IME 2026Médio

Sejam $m\in\mathbb{Z}$ e

$$\begin{vmatrix} x^m & x^{m+2} & x^{m+4}\\ y^m & y^{m+2} & y^{m+4}\\ z^m & z^{m+2} & z^{m+4} \end{vmatrix} = \left(\frac{1}{y^2}-\frac{1}{x^2}\right) \left(\frac{1}{z^2}-\frac{1}{y^2}\right) \left(\frac{1}{x^2}-\frac{1}{z^2}\right),$$

para quaisquer $x,y,z\in\mathbb{R}^*$.

O valor de $m$ é:

1. Colocando fatores em evidência

Na primeira linha do determinante, podemos colocar $x^m$ em evidência; na segunda, $y^m$; e na terceira, $z^m$.

Assim,

$$\begin{vmatrix} x^m & x^{m+2} & x^{m+4}\\ y^m & y^{m+2} & y^{m+4}\\ z^m & z^{m+2} & z^{m+4} \end{vmatrix} = (xyz)^m \begin{vmatrix} 1 & x^2 & x^4\\ 1 & y^2 & y^4\\ 1 & z^2 & z^4 \end{vmatrix}$$

2. Calculando o determinante

O determinante

$$\begin{vmatrix} 1 & x^2 & x^4\\ 1 & y^2 & y^4\\ 1 & z^2 & z^4 \end{vmatrix}$$

é um determinante de Vandermonde. Seu valor é:

$$(y^2-x^2)(z^2-x^2)(z^2-y^2)$$

Logo, o lado esquerdo da identidade é:

$$(xyz)^m (y^2-x^2)(z^2-x^2)(z^2-y^2)$$

3. Reescrevendo o lado direito

Vamos transformar cada diferença de frações:

$$\frac{1}{y^2}-\frac{1}{x^2} = \frac{x^2-y^2}{x^2y^2}$$$$\frac{1}{z^2}-\frac{1}{y^2} = \frac{y^2-z^2}{y^2z^2}$$$$\frac{1}{x^2}-\frac{1}{z^2} = \frac{z^2-x^2}{x^2z^2}$$

Multiplicando:

$$\frac{(x^2-y^2)(y^2-z^2)(z^2-x^2)} {x^4y^4z^4}$$

Observe que os sinais se ajustam para que o numerador seja exatamente:

$$(y^2-x^2)(z^2-x^2)(z^2-y^2)$$

Portanto, o lado direito fica:

$$\frac{(y^2-x^2)(z^2-x^2)(z^2-y^2)} {x^4y^4z^4}$$

4. Comparando os dois lados

A identidade fica:

$$\begin{aligned} &(xyz)^m (y^2-x^2)(z^2-x^2)(z^2-y^2)\\ &= \frac{(y^2-x^2)(z^2-x^2)(z^2-y^2)} {x^4y^4z^4} \end{aligned}$$

Escolhendo valores não nulos e distintos para $x,y,z$, podemos cancelar o fator comum:

$$(xyz)^m=\frac{1}{x^4y^4z^4}$$

Ou seja,

$$(xyz)^m=(xyz)^{-4}$$

Como a igualdade deve valer para quaisquer $x,y,z\in\mathbb{R}^*$, concluímos que:

$$\boxed{m=-4}$$

Conclusão

A alternativa correta é B) $-4$.

🧩 Exercício 5 IME 2026Difícil

Sabendo que $i^2=-1$, seja

$$z=\frac{1-2i}{4-3i}.$$

Para cada número natural $n$, defina

$$S_n=\sum_{k=1}^{n}(\overline z)^k,$$

em que $\overline z$ representa o conjugado de $z$.

O menor valor de $n$ para o qual vale a desigualdade

$$\left| S_n-\frac{\overline z-|z|^2}{|1-z|^2} \right|<\frac{1}{2027}$$

é:

1. Simplificando o número complexo

Vamos racionalizar o denominador de $z$:

$$z=\frac{1-2i}{4-3i} \cdot\frac{4+3i}{4+3i}$$$$z=\frac{4+3i-8i-6i^2}{16+9}$$

Como $i^2=-1$:

$$z=\frac{10-5i}{25} =\frac{2-i}{5}$$

Portanto,

$$\overline z=\frac{2+i}{5}$$

e

$$|z|=\frac{\sqrt{2^2+(-1)^2}}{5} =\frac{1}{\sqrt5}.$$

2. Interpretando a expressão

Observe que:

$$|1-z|^2=(1-z)(1-\overline z)$$

Assim,

$$\begin{aligned} \frac{\overline z-|z|^2}{|1-z|^2} &=\frac{\overline z-z\overline z} {(1-z)(1-\overline z)}\\[4pt] &=\frac{\overline z(1-z)} {(1-z)(1-\overline z)}\\[4pt] &=\frac{\overline z}{1-\overline z}. \end{aligned}$$

Logo, a desigualdade pode ser escrita como:

$$\left| S_n-\frac{\overline z}{1-\overline z} \right|<\frac{1}{2027}.$$

3. Utilizando a soma de uma progressão geométrica

Como $|\overline z|=1/\sqrt5<1$, podemos escrever:

$$\frac{\overline z}{1-\overline z} = \sum_{k=1}^{\infty}(\overline z)^k.$$

Portanto, a diferença entre a soma infinita e a soma parcial é:

$$\begin{aligned} \frac{\overline z}{1-\overline z}-S_n &=\frac{(\overline z)^{n+1}}{1-\overline z}. \end{aligned}$$

Tomando o módulo:

$$\left| S_n-\frac{\overline z}{1-\overline z} \right| = \frac{|\overline z|^{n+1}}{|1-\overline z|}.$$

4. Calculando os módulos

Já sabemos que:

$$|\overline z|=\frac1{\sqrt5}.$$

Além disso,

$$1-\overline z =1-\frac{2+i}{5} =\frac{3-i}{5}.$$

Consequentemente,

$$|1-\overline z| =\frac{\sqrt{3^2+(-1)^2}}5 =\frac{\sqrt{10}}5.$$

Substituindo:

$$\frac{(1/\sqrt5)^{n+1}}{\sqrt{10}/5} <\frac1{2027}.$$

Simplificando:

$$\frac{\sqrt{5/2}}{5^{(n+1)/2}} <\frac1{2027}.$$

Equivalentemente,

$$5^{(n+1)/2}>2027\sqrt{\frac52}.$$

5. Encontrando o menor valor de $n$

Como

$$2027\sqrt{\frac52}\approx3204{,}6,$$

vamos comparar com potências de 5:

$$5^5=3125<3204{,}6$$

mas

$$5^{11/2}=5^5\sqrt5\approx6987>3204{,}6.$$

Portanto, o menor expoente inteiro que satisfaz a desigualdade é:

$$\frac{n+1}{2}=\frac{11}{2}.$$

Assim,

$$n+1=11 \quad\Longrightarrow\quad \boxed{n=10}.$$

Conclusão

A alternativa correta é D) $10$.

🧩 Exercício 6 IME 2026Difícil

Sabendo que $i^2=-1$, seja $S$ a região do plano de Argand-Gauss definida por

$$S=\{z\in\mathbb{C}\mid |z+1-i|+|z-3-4i|\leq 7\}.$$

Qual é a área do retângulo circunscrito à região $S$ que tem um dos lados paralelo à reta que passa pelos pontos $1-i$ e $-2+3i$?

1. Identificando a elipse

A expressão

$$|z+1-i|+|z-3-4i|\leq 7$$

representa uma elipse, pois a soma das distâncias de um ponto a dois pontos fixos é constante.

Os focos são:

$$F_1=(-1,1),\qquad F_2=(3,4).$$

A distância entre os focos é:

$$F_1F_2=\sqrt{(3+1)^2+(4-1)^2} =\sqrt{16+9}=5.$$

Logo, a distância do centro a cada foco é:

$$c=\frac52.$$

Como a soma das distâncias aos focos é $7$, temos:

$$2a=7 \quad\Longrightarrow\quad a=\frac72.$$

2. Calculando o semieixo menor

Para uma elipse, vale a relação:

$$a^2=b^2+c^2.$$

Assim,

$$\begin{aligned} b^2 &=a^2-c^2\\ &=\left(\frac72\right)^2-\left(\frac52\right)^2\\ &=\frac{49-25}{4}\\ &=6. \end{aligned}$$

Portanto,

$$\boxed{b=\sqrt6}.$$

3. Identificando a orientação da elipse

O vetor que liga os focos é:

$$\overrightarrow{F_1F_2}=(4,3).$$

A reta que determina a direção do eixo maior tem, portanto, vetor diretor $(4,3)$.

Agora, a reta mencionada no enunciado passa por:

$$P=(1,-1),\qquad Q=(-2,3).$$

Seu vetor diretor é:

$$\overrightarrow{PQ}=(-3,4).$$

Calculando o produto escalar:

$$(4,3)\cdot(-3,4) =4(-3)+3(4)=0.$$

Como o produto escalar é nulo, essas direções são perpendiculares.

Conclusão: o lado do retângulo paralelo à reta $PQ$ está na direção do eixo menor da elipse.

4. Calculando as dimensões do retângulo

A largura da elipse na direção do eixo menor é:

$$2b=2\sqrt6.$$

Na direção perpendicular, que coincide com o eixo maior, seu comprimento é:

$$2a=7.$$

Portanto, o retângulo circunscrito tem dimensões $2\sqrt6$ e $7$.

5. Calculando a área

$$\begin{aligned} A&=7\cdot 2\sqrt6\\ &=\boxed{14\sqrt6}. \end{aligned}$$

Conclusão

A alternativa correta é D) $14\sqrt6$.

🧩 Exercício 7 IME 2026Médio

Sejam $r_1$ e $r_2$ as raízes da equação $a_1x^2+b_1x+c_1=0$, $r_2$ e $r_3$ as raízes da equação $a_2x^2+b_2x+c_2=0$ e $r_3$ e $r_1$ as raízes da equação $a_3x^2+b_3x+c_3=0$, com $r_1,r_2,r_3\in\mathbb{R}^*$ e $a_1a_2a_3\ne0$.

Calcule:

$$\left[ \prod_{i=1}^{3} \left(\frac{a_i-b_i+c_i}{a_i}\right) \right]^{1/2}.$$

1. Aplicando as relações de Girard

Para uma equação do segundo grau cujas raízes são $r_1$ e $r_2$, temos:

$$\frac{b_1}{a_1}=-(r_1+r_2), \qquad \frac{c_1}{a_1}=r_1r_2.$$

Assim,

$$\begin{aligned} \frac{a_1-b_1+c_1}{a_1} &=1-\frac{b_1}{a_1}+\frac{c_1}{a_1}\\ &=1+r_1+r_2+r_1r_2\\ &=(1+r_1)(1+r_2). \end{aligned}$$

Aplicando o mesmo raciocínio às outras duas equações:

$$\frac{a_2-b_2+c_2}{a_2} =(1+r_2)(1+r_3)$$

e

$$\frac{a_3-b_3+c_3}{a_3} =(1+r_3)(1+r_1).$$

2. Multiplicando os fatores

Substituindo na expressão original:

$$\begin{aligned} &\left[ \prod_{i=1}^{3} \left(\frac{a_i-b_i+c_i}{a_i}\right) \right]^{1/2}\\[4pt] &=\sqrt{ (1+r_1)(1+r_2) (1+r_2)(1+r_3) (1+r_3)(1+r_1) }\\[4pt] &=\sqrt{ \left[(1+r_1)(1+r_2)(1+r_3)\right]^2 }. \end{aligned}$$

Como a raiz quadrada principal de um quadrado é o módulo:

$$\boxed{ \left|(1+r_1)(1+r_2)(1+r_3)\right| }$$

Conclusão

Se o produto $(1+r_1)(1+r_2)(1+r_3)$ for não negativo, o resultado será a alternativa C.

Entretanto, como o enunciado não garante essa condição, a resposta rigorosa é:

$$\boxed{\left|(1+r_1)(1+r_2)(1+r_3)\right|}$$

Portanto, a alternativa C corresponde ao resultado sem o módulo apenas se houver uma condição adicional que garanta que o produto seja não negativo.

🧩 Exercício 8 IME 2026Médio

Seja a equação

$$9^x-4\cdot5^{x-\frac12} = 5^{x+\frac12}-2\cdot3^{2x-1}.$$

O seu conjunto solução contém:

1. Reescrevendo as potências

Observe que:

$$9^x=3^{2x}$$

e

$$3^{2x-1}=\frac{9^x}{3}.$$

Além disso,

$$5^{x+\frac12}=5\cdot5^{x-\frac12}.$$

Substituindo essas expressões na equação original:

$$9^x-4\cdot5^{x-\frac12} = 5\cdot5^{x-\frac12} -\frac23\,9^x.$$

2. Agrupando os termos semelhantes

Passando os termos com $9^x$ para o primeiro membro e os termos com base 5 para o segundo:

$$9^x+\frac23\,9^x = 5\cdot5^{x-\frac12} +4\cdot5^{x-\frac12}.$$

Logo,

$$\frac53\,9^x=9\cdot5^{x-\frac12}.$$

Multiplicando ambos os lados por $\frac35$:

$$9^x=\frac{27}{5}\cdot5^{x-\frac12}.$$

3. Isolando a potência

Dividindo os dois lados por $5^{x-\frac12}$:

$$\frac{9^x}{5^{x-\frac12}}=\frac{27}{5}.$$

Usando as propriedades das potências:

$$\left(\frac95\right)^x\sqrt5=\frac{27}{5}.$$

Portanto,

$$\left(\frac95\right)^x =\frac{27}{5\sqrt5}.$$

Observe que:

$$\frac{27}{5\sqrt5} =\frac{3^3}{5^{3/2}} =\left(\frac{3}{\sqrt5}\right)^3$$

e

$$\frac95=\left(\frac3{\sqrt5}\right)^2.$$

Assim, a equação fica:

$$\left(\frac3{\sqrt5}\right)^{2x} = \left(\frac3{\sqrt5}\right)^3.$$

Como a base $\frac3{\sqrt5}$ é positiva e diferente de 1, podemos igualar os expoentes:

$$2x=3 \quad\Longrightarrow\quad \boxed{x=\frac32}.$$

4. Conjunto solução

A equação possui uma única solução real:

$$S=\left\{\frac32\right\}.$$

Como $\frac32>0$, o conjunto solução contém um número real positivo e nenhum outro elemento.

Conclusão

A alternativa correta é B.

🧩 Exercício 9 IME 2026Médio

Seja $n$ o número de polinômios de grau 4 que têm coeficientes inteiros, coeficiente do termo de maior grau igual a 1 e cujas raízes também são raízes do polinômio

$$P(x)=x^{12}-1.$$

O resto da divisão de $n$ por 5 é:

1. Fatorando o polinômio

Queremos contar os polinômios mónicos de grau 4, com coeficientes inteiros, cujas raízes estão entre as raízes de $x^{12}-1$.

Fatorando $P(x)$ em polinômios irredutíveis sobre os racionais, temos:

$$\begin{aligned} x^{12}-1 &=(x^6-1)(x^6+1)\\ &=(x-1)(x+1)(x^2+x+1)\\ &\quad\cdot(x^2-x+1)(x^2+1)\\ &\quad\cdot(x^4-x^2+1). \end{aligned}$$

Os fatores possuem graus:

$$1,\;1,\;2,\;2,\;2,\;4.$$

Como os polinômios procurados têm coeficientes inteiros e são mónicos, seus fatores irredutíveis devem ser escolhidos entre os fatores acima, podendo haver repetições.

2. Contando os polinômios de grau 4

Vamos analisar as possibilidades para obter um polinômio de grau 4.

Caso 1: escolher diretamente o fator de grau 4.

Existe apenas um fator de grau 4:

$$x^4-x^2+1.$$

Portanto, temos:

$$N_1=1.$$

Caso 2: escolher dois fatores de grau 2.

Existem três fatores quadráticos distintos. Podemos escolher dois deles ou repetir um fator.

O número de escolhas, permitindo repetição, é

$$N_2=\binom{3+2-1}{2} =\binom{4}{2}=6.$$

Caso 3: escolher um fator de grau 2 e completar com fatores de grau 1.

Podemos escolher o fator quadrático de 3 maneiras.

Os fatores lineares são $(x-1)$ e $(x+1)$. Para completar o grau 4, precisamos escolher dois fatores lineares, permitindo repetições.

As possibilidades são:

$$(x-1)^2,\quad (x-1)(x+1),\quad (x+1)^2.$$

Assim,

$$N_3=3\cdot3=9.$$

Caso 4: escolher somente fatores de grau 1.

Os polinômios possíveis são da forma

$$(x-1)^a(x+1)^b,$$

em que $a$ e $b$ são inteiros não negativos, com

$$a+b=4.$$

As soluções são:

$$(0,4),\ (1,3),\ (2,2),\ (3,1),\ (4,0).$$

Logo,

$$N_4=5.$$

3. Calculando o total

Somando todas as possibilidades:

$$\begin{aligned} n&=N_1+N_2+N_3+N_4\\ &=1+6+9+5\\ &=21. \end{aligned}$$

O resto da divisão de $21$ por $5$ é:

$$21=5\cdot4+1.$$

Portanto,

$$\boxed{1}$$

Conclusão

A alternativa correta é B) 1.

🧩 Exercício 10 IME 2026Médio

Pedro propõe a Maria o seguinte desafio. Existem 10 caixas fechadas, sendo que duas delas contêm uma moeda cada e as demais estão vazias. Pedro sabe onde estão as moedas, mas Maria não.

Maria escolhe duas caixas ao acaso. Pedro sabe onde estão as caixas vazias e remove seis das oito caixas restantes, que ele sabe estarem vazias.

Ele então oferece a Maria três opções:

1. Continuar com as duas caixas originalmente escolhidas;
2. Trocar uma das caixas escolhidas por uma das duas caixas que sobraram;
3. Trocar as duas caixas escolhidas pelas duas caixas que sobraram.

Seja $P(i)$ a probabilidade de Maria ganhar o prêmio ao escolher a opção $i$. Temos que

$$P(1)+P(2)+P(3)=\frac{a}{b},$$

onde $\frac{a}{b}$ é uma fração irredutível.

O valor de $a+b$ é:

1. Probabilidade de ganhar sem trocar as caixas

Maria escolhe duas caixas entre as dez disponíveis. O número total de escolhas possíveis é

$$\binom{10}{2}=45.$$

Para ganhar sem trocar, ela precisa escolher exatamente as duas caixas que contêm moedas. Existe apenas uma escolha favorável.

Logo,

$$P(1)=\frac{1}{45}.$$

2. Probabilidade de ganhar trocando uma caixa

Para ganhar trocando apenas uma caixa, Maria precisa ter escolhido inicialmente uma caixa com moeda e uma caixa vazia.

O número de maneiras de isso acontecer é

$$\binom{2}{1}\binom{8}{1}=16.$$

Assim, a probabilidade desse caso é

$$\frac{16}{45}.$$

Nessa situação, entre as duas caixas que sobraram após a remoção das seis caixas vazias, há uma moeda e uma caixa vazia.

Para ganhar, Maria precisa:

• Trocar a caixa vazia que possui, com probabilidade $\frac{1}{2}$;
• Escolher a caixa com moeda entre as duas restantes, também com probabilidade $\frac{1}{2}$.

Portanto,

$$\begin{aligned} P(2) &=\frac{16}{45}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\\ &=\frac{4}{45}. \end{aligned}$$

3. Probabilidade de ganhar trocando as duas caixas

Se Maria não escolheu nenhuma moeda inicialmente, as duas moedas estão entre as oito caixas restantes.

Pedro remove seis caixas vazias. Consequentemente, as duas caixas que sobram são justamente as que contêm as moedas.

O número de maneiras de Maria escolher duas caixas vazias inicialmente é

$$\binom{8}{2}=28.$$

Portanto,

$$P(3)=\frac{28}{45}.$$

4. Soma das probabilidades

Somando os resultados obtidos:

$$\begin{aligned} P(1)+P(2)+P(3) &=\frac{1}{45}+\frac{4}{45}+\frac{28}{45}\\ &=\frac{33}{45}\\ &=\frac{11}{15}. \end{aligned}$$

Como a fração é irredutível, temos

$$a=11 \qquad\text{e}\qquad b=15.$$

Logo,

$$a+b=11+15=\boxed{26}.$$

Conclusão

A alternativa correta é B) 26.

🧩 Exercício 11 IME 2026Médio

Seja o polígono formado pelos vértices $(x,y)$ que satisfazem as equações

$$y=\frac{2025}{x} \qquad\text{e}\qquad y^2=-x^2+10145,$$

com $x,y\in\mathbb{R}^*$. Em relação ao polígono, é correto afirmar que:

1. Interpretando as equações

Temos:

$$y=\frac{2025}{x}$$

e

$$y^2=-x^2+10145.$$

Multiplicando a primeira equação por $x$, obtemos:

$$xy=2025.$$

A segunda equação pode ser escrita como:

$$x^2+y^2=10145.$$

Assim, procuramos os pontos que satisfazem simultaneamente:

$$\begin{cases} xy=2025,\\ x^2+y^2=10145. \end{cases}$$

2. Determinando os vértices

Usando a identidade

$$(x+y)^2=x^2+y^2+2xy,$$

temos:

$$\begin{aligned} (x+y)^2&=10145+2\cdot2025\\ &=14195. \end{aligned}$$

Logo,

$$x+y=\pm\sqrt{14195}.$$

Analogamente,

$$\begin{aligned} (x-y)^2&=x^2+y^2-2xy\\ &=10145-4050\\ &=6095. \end{aligned}$$

Portanto,

$$x-y=\pm\sqrt{6095}.$$

Essas combinações determinam quatro pontos distintos. Como as equações permanecem verdadeiras quando trocamos simultaneamente $(x,y)$ por $(-x,-y)$, os vértices aparecem em pares de pontos opostos.

3. Analisando as alternativas

Alternativa A: suas duas diagonais passam pela origem.

Os quatro pontos podem ser agrupados em dois pares de vértices opostos:

$$(x,y)\quad\text{e}\quad(-x,-y).$$

O ponto médio de cada par é

$$\left( \frac{x-x}{2}, \frac{y-y}{2} \right)=(0,0).$$

Portanto, as duas diagonais passam pela origem. A afirmação é verdadeira.

Alternativa B: seus ângulos internos somam 180 graus.

O polígono possui quatro vértices, logo a soma dos ângulos internos é

$$(4-2)\cdot180^\circ=360^\circ.$$

A afirmação é falsa.

Alternativa C: seu círculo circunscrito tem raio inferior a 100.

Como os vértices satisfazem

$$x^2+y^2=10145,$$

a distância de cada vértice à origem é

$$R=\sqrt{10145}.$$

Como

$$100^2=10000<10145,$$

temos

$$R>100.$$

A afirmação é falsa.

Alternativa D: ele possui um total de 5 diagonais.

Um quadrilátero possui

$$\frac{4(4-3)}{2}=2$$

diagonais. A afirmação é falsa.

Alternativa E: ele não existe, pois há apenas dois pontos distintos.

As equações admitem quatro pontos distintos, que formam um quadrilátero. A afirmação é falsa.

Conclusão

A única afirmação verdadeira é:

$$\boxed{\text{A}}$$

Resposta: alternativa A.

🧩 Exercício 12 IME 2026Médio

Considere a equação

$$|\operatorname{sen}(x)-\cos(x)| + \sqrt{2+\operatorname{tg}^2(x)+\operatorname{cotg}^2(x)} = \sqrt{3},$$

com

$$x\in(0,6\pi) \quad\text{e}\quad x\neq\frac{m\pi}{2},\;m\in\mathbb{Z}.$$

O número de soluções dessa equação é:

1. Analisando o radical

Como o seno e o cosseno são diferentes de zero no domínio indicado, podemos escrever:

$$\begin{aligned} 2+\operatorname{tg}^2(x)+\operatorname{cotg}^2(x) &=2+\frac{\operatorname{sen}^2(x)}{\cos^2(x)} +\frac{\cos^2(x)}{\operatorname{sen}^2(x)}\\[4pt] &=\frac{2\operatorname{sen}^2(x)\cos^2(x) +\operatorname{sen}^4(x)+\cos^4(x)} {\operatorname{sen}^2(x)\cos^2(x)}. \end{aligned}$$

Usando

$$\operatorname{sen}^2(x)+\cos^2(x)=1,$$

temos

$$\begin{aligned} 2+\operatorname{tg}^2(x)+\operatorname{cotg}^2(x) &=\frac{(\operatorname{sen}^2(x)+\cos^2(x))^2} {\operatorname{sen}^2(x)\cos^2(x)}\\[4pt] &=\frac{1}{\operatorname{sen}^2(x)\cos^2(x)}. \end{aligned}$$

Portanto,

$$\sqrt{2+\operatorname{tg}^2(x)+\operatorname{cotg}^2(x)} = \frac{1}{|\operatorname{sen}(x)\cos(x)|}.$$

2. Encontrando uma contradição

Pela identidade

$$2|\operatorname{sen}(x)\cos(x)| = |\operatorname{sen}(2x)| \leq 1,$$

obtemos

$$|\operatorname{sen}(x)\cos(x)|\leq\frac12.$$

Consequentemente,

$$\frac{1}{|\operatorname{sen}(x)\cos(x)|}\geq 2.$$

Além disso,

$$|\operatorname{sen}(x)-\cos(x)|\geq 0.$$

Assim, o lado esquerdo da equação é sempre maior ou igual a 2:

$$|\operatorname{sen}(x)-\cos(x)| + \sqrt{2+\operatorname{tg}^2(x)+\operatorname{cotg}^2(x)} \geq 2.$$

Mas o lado direito é

$$\sqrt{3}<2.$$

Logo, a igualdade é impossível.

Conclusão

A equação não possui soluções reais no domínio indicado. Portanto, o número de soluções é

$$\boxed{0}.$$

A alternativa correta é A) 0.

🧩 Exercício 13 IME 2026Médio

Considere a equação

$$\log_{\frac12\cos4x+\frac12} \left(\frac12\operatorname{sen}4x\right)=1.$$

O número de valores de $x$, pertencentes ao intervalo $[0,\pi]$, que satisfazem essa equação é:

1. Condição para o logaritmo

Usando a propriedade

$$\log_a b=1\iff b=a,$$

desde que $a>0$, $a\neq1$ e $b>0$, temos

$$\frac12\operatorname{sen}4x = \frac12\cos4x+\frac12.$$

Multiplicando por 2:

$$\operatorname{sen}4x=1+\cos4x.$$

2. Resolvendo a equação trigonométrica

Reorganizando:

$$\operatorname{sen}4x-\cos4x=1.$$

Utilizando a identidade

$$\operatorname{sen}\theta-\cos\theta = \sqrt2\operatorname{sen}\left(\theta-\frac{\pi}{4}\right),$$

obtemos

$$\sqrt2\operatorname{sen}\left(4x-\frac{\pi}{4}\right)=1.$$

Logo,

$$\operatorname{sen}\left(4x-\frac{\pi}{4}\right) =\frac{\sqrt2}{2}.$$

Assim,

$$4x-\frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4}+2k\pi$$

ou

$$4x-\frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}+2k\pi.$$

Portanto,

$$4x=\frac{\pi}{2}+2k\pi$$

ou

$$4x=\pi+2k\pi.$$

Como $x\in[0,\pi]$, temos $4x\in[0,4\pi]$. Os candidatos são

$$4x\in \left\{ \frac{\pi}{2},\pi, \frac{5\pi}{2},3\pi \right\}.$$

3. Verificando o domínio

O argumento do logaritmo deve ser positivo:

$$\frac12\operatorname{sen}4x>0.$$

Portanto, precisamos que

$$\operatorname{sen}4x>0.$$

Os candidatos $4x=\pi$ e $4x=3\pi$ não servem, pois nesses casos o argumento é zero.

Restam:

$$4x=\frac{\pi}{2} \quad\text{ou}\quad 4x=\frac{5\pi}{2}.$$

Dividindo por 4:

$$x=\frac{\pi}{8} \quad\text{ou}\quad x=\frac{5\pi}{8}.$$

Para ambos os valores, a base do logaritmo é $\frac12$, que é positiva e diferente de 1, e o argumento é positivo. Logo, ambos são soluções válidas.

Conclusão

A equação possui 2 soluções no intervalo dado.

Alternativa correta: B) 2.

🧩 Exercício 14 IME 2026Médio

Seja $C_1$ o círculo inscrito em um quadrado $ABCD$ de lado $2$, e seja $O$ o centro de $C_1$. Considere uma reta $L$ passando pelo vértice $A$ do quadrado.

Um círculo variável, de centro $M$, é tangente externamente ao círculo $C_1$ e também é tangente à reta $L$, de forma que $M$ e $O$ estejam no mesmo semiplano definido pela reta $L$.

O lugar geométrico do ponto $M$ é:

1. Relação entre as distâncias

Seja $r$ o raio do círculo variável de centro $M$.

Como esse círculo é tangente à reta $L$, a distância de $M$ à reta é igual ao seu raio:

$$d(M,L)=r.$$

Além disso, como o círculo variável é tangente externamente ao círculo $C_1$, cujo raio é $1$, temos:

$$MO=r+1.$$

Portanto,

$$MO=d(M,L)+1.$$

2. Construindo a diretriz

Considere a reta $L'$, paralela a $L$, situada no lado oposto ao ponto $M$ em relação a $L$, a uma distância igual a $1$.

Como $M$ e $O$ estão no mesmo semiplano definido por $L$, a distância de $M$ até $L'$ é:

$$d(M,L')=d(M,L)+1.$$

Assim,

$$MO=d(M,L').$$

3. Identificando o lugar geométrico

A parábola é o lugar geométrico dos pontos que possuem a mesma distância de um ponto fixo, chamado foco, e de uma reta fixa, chamada diretriz.

Neste caso:

• O foco é o ponto $O$;
• A diretriz é a reta $L'$.

Logo, o lugar geométrico do ponto $M$ é uma parábola de foco $O$ e diretriz $L'$.

Conclusão

A alternativa correta é C) uma parábola com foco em O.

🧩 Exercício 15 IME 2026Médio

Em uma esfera de raio $R$ inscreve-se um prisma regular reto de base hexagonal. Sabendo-se que $a$ é a área lateral desse prisma, o valor máximo de $a$, em função de $R$, é:

1. Relacionando as dimensões do prisma com o raio da esfera

Seja $x$ o lado do hexágono regular da base e $h$ a altura do prisma.

Como o hexágono é regular, seu raio circunscrito é igual ao lado:

$$r_c=x.$$

O centro da esfera, o centro da base e um vértice do hexágono formam um triângulo retângulo. Assim,

$$x^2+\left(\frac h2\right)^2=R^2.$$

Isolando $h$:

$$\frac{h^2}{4}=R^2-x^2$$$$h=2\sqrt{R^2-x^2}.$$

2. Escrevendo a área lateral

A área lateral de um prisma reto é o perímetro da base multiplicado pela altura.

Como o perímetro do hexágono é $6x$, temos:

$$A_L=6xh.$$

Substituindo a expressão da altura:

$$A_L=12x\sqrt{R^2-x^2}.$$

3. Encontrando o valor máximo

Para facilitar, vamos maximizar o quadrado da área:

$$A_L^2=144x^2(R^2-x^2).$$

Fazendo $t=x^2$, obtemos:

$$A_L^2=144t(R^2-t).$$

Completando o quadrado:

$$\begin{aligned} A_L^2 &=144(R^2t-t^2)\\ &=144\left[ \frac{R^4}{4} -\left(t-\frac{R^2}{2}\right)^2 \right]. \end{aligned}$$

Como um quadrado é sempre não negativo, a expressão é máxima quando

$$t=\frac{R^2}{2}.$$

Logo,

$$x^2=\frac{R^2}{2}.$$

Substituindo na área lateral:

$$\begin{aligned} A_L &=12\sqrt{\frac{R^2}{2}} \sqrt{R^2-\frac{R^2}{2}}\\[4pt] &=12\cdot\frac{R}{\sqrt2} \cdot\frac{R}{\sqrt2}\\[4pt] &=6R^2. \end{aligned}$$

Conclusão

O valor máximo da área lateral é

$$\boxed{6R^2}.$$

Alternativa correta: C) $6R^2$.