EFOMM 2025: Prova de Matemática Resolvida

Nesta página, você encontrará a prova de Matemática da EFOMM 2025, com as questões e suas respectivas resoluções passo a passo.

As questões são apresentadas com explicações detalhadas, permitindo acompanhar as estratégias e os conceitos matemáticos utilizados em cada problema.

Questões de Matemática da EFOMM 2025

Confira abaixo as questões da prova de Matemática da EFOMM 2025 e acompanhe a resolução de cada problema.

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🧩 Exercício 1 Médio

Durante uma aula de Matemática, o professor propôs um desafio aos alunos: construir uma matriz quadrada $A$ de ordem 4 a partir de diferentes progressões numéricas, com o objetivo de compreender melhor os conceitos de determinante e invertibilidade de matrizes.

Além disso, o professor ressaltou a importância de ferramentas matemáticas como o Teorema de Laplace, que permite o cálculo do determinante de matrizes de ordem superior a 2 por meio da expansão por cofatores. Essa técnica é especialmente útil quando outras abordagens (como transformações elementares) se tornam trabalhosas ou inviáveis. O teorema permite escolher uma linha ou coluna estratégica para facilitar os cálculos, tornando-o uma ferramenta poderosa no estudo da Álgebra Linear.

Para o exercício, os alunos devem montar a matriz $A$, obedecendo às seguintes regras:

• A 1ª linha da matriz deve ser uma progressão aritmética (PA) de razão 5, cujo primeiro termo é 2.
• A 2ª linha deve ser formada por uma progressão geométrica (PG) de razão 3, cujo primeiro termo é 1.
• A 3ª linha deve seguir uma progressão aritmética (PA) de razão 7, com termo inicial igual a 4.
• A 4ª linha deve conter uma progressão geométrica (PG) de razão 2, iniciando com o termo 3.

Com base nas informações acima, monte todos os elementos da matriz $A$, utilizando as propriedades das progressões indicadas. Usando o Teorema de Laplace, ou outro método de sua preferência, calcule o determinante com valor absoluto da matriz $A$.

1. Construir a matriz

A matriz possui 4 linhas e 4 colunas. Vamos determinar os termos de cada progressão.

Primeira linha: PA de razão 5, com primeiro termo 2.

$$2,\ 7,\ 12,\ 17$$

Segunda linha: PG de razão 3, com primeiro termo 1.

$$1,\ 3,\ 9,\ 27$$

Terceira linha: PA de razão 7, com primeiro termo 4.

$$4,\ 11,\ 18,\ 25$$

Quarta linha: PG de razão 2, com primeiro termo 3.

$$3,\ 6,\ 12,\ 24$$

Portanto, a matriz é

$$A= \begin{bmatrix} 2 & 7 & 12 & 17\\ 1 & 3 & 9 & 27\\ 4 & 11 & 18 & 25\\ 3 & 6 & 12 & 24 \end{bmatrix}.$$

2. Calcular o determinante

Aplicando operações elementares nas linhas que não alteram o determinante, podemos simplificar a matriz. Por exemplo:

$$L_2\leftarrow L_2-\frac12L_1$$$$L_3\leftarrow L_3-2L_1$$$$L_4\leftarrow L_4-\frac32L_1.$$

Após essas operações, a matriz fica

$$\begin{bmatrix} 2 & 7 & 12 & 17\\ 0 & -\frac12 & 3 & \frac{37}{2}\\ 0 & -3 & -6 & -9\\ 0 & -\frac92 & -6 & -\frac32 \end{bmatrix}.$$

Expandindo pela primeira coluna, obtemos

$$\det(A)= 2\begin{vmatrix} -\frac12 & 3 & \frac{37}{2}\\ -3 & -6 & -9\\ -\frac92 & -6 & -\frac32 \end{vmatrix}.$$

Calculando o determinante de ordem 3, encontramos

$$\det(A)=-72.$$

Como o enunciado solicita o valor absoluto do determinante,

$$|\det(A)|=|-72|=72.$$

Portanto,

$$\boxed{72}.$$

Resposta: (B).

🧩 Exercício 2 EFOMMMédio

Durante uma aula de Navegação na EFOMM, o professor apresenta aos alunos um desafio matemático baseado na precisão de medições com instrumentos náuticos. Um aluno usa um divisor para medir um segmento de 9 milhas náuticas representado em uma carta náutica. Ele decide fazer um exercício de precisão:

Divide esse segmento em 3 partes iguais e remove a parte central. Com os dois segmentos restantes, repete o mesmo processo, retirando novamente suas partes centrais; e esse processo se repete indefinidamente com os novos segmentos restantes.

Com base nesse processo, qual será a soma total das distâncias retiradas após infinitas repetições?

1. Calcular as distâncias retiradas em cada etapa

O segmento inicial mede 9 milhas náuticas. Na primeira etapa, ele é dividido em três partes iguais, e a parte central é removida. Portanto, a distância retirada é

$$a_1=\frac{9}{3}=3.$$

Restam dois segmentos de 3 milhas náuticas cada. Na segunda etapa, retiramos o terço central de cada um deles. A distância total retirada nessa etapa é

$$a_2=2\cdot\frac{3}{3}=2.$$

Na terceira etapa, existem quatro segmentos de 1 milha náutica cada. A distância retirada será

$$a_3=4\cdot\frac{1}{3}=\frac{4}{3}.$$

Assim, a sequência das distâncias retiradas é

$$3,\ 2,\ \frac{4}{3},\ \frac{8}{9},\ldots$$

2. Identificar a progressão geométrica

Observe que cada termo é obtido multiplicando o anterior por $\frac{2}{3}$. Portanto, temos uma progressão geométrica infinita com primeiro termo

$$a_1=3$$

e razão

$$q=\frac{2}{3}.$$

Como $|q|<1$, a soma infinita existe e é dada por

$$S=\frac{a_1}{1-q}.$$

Substituindo os valores:

$$S=\frac{3}{1-\frac{2}{3}}$$$$S=\frac{3}{\frac{1}{3}}=9.$$

Portanto, a soma total das distâncias retiradas após infinitas repetições é

$$\boxed{9\text{ milhas náuticas}}.$$

Resposta: (E).

🧩 Exercício 3 EFOMMMédio

A Escola de Formação de Oficiais da Marinha Mercante (EFOMM) decidiu modernizar sua frota de navios de instrução e colocou à venda o Navio Sirius, cujo valor à vista é de R$ 150.000.000,00. Uma empresa de transporte marítimo, a "Rotas Navegáveis", tem a opção de dar uma entrada de R$ 65.000.000,00 e parcelar o restante em sete prestações dispostas em uma progressão geométrica.

Ao fechar o negócio, a empresa foi informada de que a terceira parcela seria de R$ 9.600.000,00 e a quinta parcela seria de R$ 1.536.000,00.

Quanto a empresa "Rotas Navegáveis" terá de desembolsar no total para adquirir o Navio Sirius?

O valor total do navio à vista é de R$ 150.000.000,00, dos quais R$ 65.000.000,00 serão pagos como entrada. Portanto, o valor parcelado é

$$150.000.000-65.000.000=85.000.000.$$

As sete parcelas formam uma progressão geométrica (PG). Vamos determinar o primeiro termo e a razão dessa progressão.

1. Determinar a razão da PG

Sabemos que a terceira parcela é R$ 9.600.000,00 e a quinta é R$ 1.536.000,00.

Usando a fórmula do termo geral da PG, temos

$$a_3=a_1q^2$$

e

$$a_5=a_1q^4.$$

Dividindo a segunda igualdade pela primeira:

$$\frac{a_5}{a_3}=q^2.$$

Substituindo os valores:

$$q^2=\frac{1.536.000}{9.600.000}=0{,}16.$$

Como as parcelas são positivas, adotamos a razão positiva:

$$q=\sqrt{0{,}16}=0{,}4.$$

2. Determinar a primeira parcela

Sabemos que

$$a_3=a_1q^2.$$

Logo,

$$9.600.000=a_1\cdot0{,}16.$$

Assim,

$$a_1=\frac{9.600.000}{0{,}16}$$$$a_1=60.000.000.$$

3. Calcular a soma das sete parcelas

A soma dos termos de uma PG finita é dada por

$$S_7=a_1\frac{1-q^7}{1-q}.$$

Substituindo os valores:

$$S_7=60.000.000\cdot\frac{1-0{,}4^7}{1-0{,}4}.$$

Como

$$0{,}4^7=0{,}0016384,$$

temos

$$S_7=60.000.000\cdot\frac{0{,}9983616}{0{,}6}.$$

Portanto,

$$S_7=99.836.160.$$

4. Calcular o desembolso total

O desembolso total corresponde à entrada somada às sete parcelas:

$$T=65.000.000+99.836.160.$$$$T=164.836.160.$$

Logo, a empresa desembolsará

$$\boxed{\text{R\$ }164.836.160{,}00}.$$

Resposta: (E).

🧩 Exercício 4 EFOMMMédio

Durante uma missão de patrulhamento marítimo, dois navios da Marinha do Brasil — o Navio Garnier Sampaio e o Navio Bocaina — estão navegando em rotas definidas no espaço tridimensional, considerando latitude, longitude e altitude (devido a sensores atmosféricos a bordo).

A trajetória do Navio Garnier Sampaio está descrita por uma reta $r$, dada na forma vetorial:

$$r:\ X=(1,2,-1)+t(2,-1,4),\quad t\in\mathbb{R}.$$

O Navio Bocaina, por outro lado, reportou sua posição atual como sendo o ponto $P=(5,3,2)$.

Com base nas informações acima, responda:

Qual é a distância entre o Navio Bocaina (ponto $P$) e a rota do Navio Garnier Sampaio (reta $r$)?

A distância de um ponto a uma reta no espaço pode ser calculada pela fórmula

$$d=\frac{\|\overrightarrow{AP}\times\vec{v}\|}{\|\vec{v}\|},$$

em que $A$ é um ponto da reta, $P$ é o ponto externo, $\vec{v}$ é o vetor diretor da reta e $\times$ representa o produto vetorial.

1. Identificar os vetores

Da equação da reta,

$$r:\ X=(1,2,-1)+t(2,-1,4),$$

identificamos o ponto $A=(1,2,-1)$ e o vetor diretor

$$\vec{v}=(2,-1,4).$$

Como $P=(5,3,2)$, o vetor que liga $A$ a $P$ é

$$\overrightarrow{AP}=P-A.$$$$\overrightarrow{AP}=(5-1,3-2,2-(-1)).$$

Portanto,

$$\overrightarrow{AP}=(4,1,3).$$

2. Calcular o produto vetorial

Calculamos o produto vetorial entre $\overrightarrow{AP}$ e $\vec{v}$:

$$\overrightarrow{AP}\times\vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ 4 & 1 & 3\\ 2 & -1 & 4 \end{vmatrix}.$$

Desenvolvendo o determinante:

$$\overrightarrow{AP}\times\vec{v} = (1\cdot4-3\cdot(-1),\, 3\cdot2-4\cdot4,\, 4\cdot(-1)-1\cdot2).$$

Logo,

$$\overrightarrow{AP}\times\vec{v}=(7,-10,-6).$$

Seu módulo é

$$\|\overrightarrow{AP}\times\vec{v}\| =\sqrt{7^2+(-10)^2+(-6)^2}.$$$$\|\overrightarrow{AP}\times\vec{v}\| =\sqrt{49+100+36}=\sqrt{185}.$$

3. Calcular o módulo do vetor diretor

$$\|\vec{v}\|=\sqrt{2^2+(-1)^2+4^2}.$$$$\|\vec{v}\|=\sqrt{4+1+16}=\sqrt{21}.$$

4. Calcular a distância

Substituindo na fórmula:

$$d=\frac{\sqrt{185}}{\sqrt{21}}.$$

Racionalizando o denominador:

$$d=\frac{\sqrt{185}\sqrt{21}}{21} =\frac{\sqrt{3885}}{21}.$$

Portanto, a distância entre o Navio Bocaina e a rota do Navio Garnier Sampaio é

$$\boxed{\frac{\sqrt{3885}}{21}}.$$

Resposta: (D).

🧩 Exercício 5 EFOMMMédio

Em uma iniciativa da Marinha Mercante Brasileira para aprimorar a qualificação de seus tripulantes, uma pesquisa foi conduzida para investigar a quantidade de horas semanais que um grupo de nove funcionários dedicou a atividades de treinamento profissional em uma empresa de navegação parceira.

Os dados registrados foram os seguintes:

$$5,\ 6,\ 7,\ 9,\ 10,\ 10,\ 12,\ 12,\ 14,\ 15$$

Com base nesses dados, o cálculo do desvio padrão e do desvio médio populacionais das horas de treinamento será de aproximadamente:

Os dados são:

$$5,\ 6,\ 7,\ 9,\ 10,\ 10,\ 12,\ 12,\ 14,\ 15.$$

Como temos os dados de todo o grupo considerado, calcularemos o desvio médio e o desvio padrão populacionais.

1. Calcular a média aritmética

Somando os dez valores:

$$5+6+7+9+10+10+12+12+14+15=100.$$

Como são dez observações, a média é

$$\bar{x}=\frac{100}{10}=10.$$

2. Calcular o desvio médio populacional

O desvio médio é a média dos valores absolutos das diferenças entre cada observação e a média aritmética.

$$DM=\frac{\sum |x_i-\bar{x}|}{N}.$$

Como $\bar{x}=10$ e $N=10$, temos

$$DM=\frac{ 5+4+3+1+0+0+2+2+4+5 }{10}.$$

Logo,

$$DM=\frac{26}{10}=2{,}6.$$

3. Calcular o desvio padrão populacional

O desvio padrão populacional é a raiz quadrada da média dos quadrados dos desvios em relação à média.

$$\sigma=\sqrt{\frac{\sum(x_i-\bar{x})^2}{N}}.$$

Substituindo os valores:

$$\sigma= \sqrt{\frac{ 25+16+9+1+0+0+4+4+16+25 }{10}}.$$

Somando os quadrados:

$$\sigma=\sqrt{\frac{100}{10}} =\sqrt{10}.$$

Portanto,

$$\sigma\approx3{,}16.$$

Assim, o desvio padrão é aproximadamente $3{,}16$ e o desvio médio é $2{,}6$.

Resposta: (B).

🧩 Exercício 6 EFOMMMédio

Em uma missão de logística transatlântica, a equipe de engenharia do cargueiro Atlântis VI, da Marinha Mercante Brasileira, foi encarregada de simular o desempenho do navio em diferentes condições climáticas e de carga. O objetivo era prever o comportamento do sistema de propulsão do navio ao atravessar uma região turbulenta do oceano Atlântico, conhecida por seus redemoinhos e correntes contrárias.

Durante os testes, os engenheiros perceberam que a força de propulsão líquida, ou seja, a força efetiva que impulsiona o navio para frente, descontadas as forças de resistência da água, variava com o tempo de forma não linear. Eles modelaram essa variação utilizando uma função matemática que relacionava o tempo $x$, a carga embarcada e a resistência hidrodinâmica do casco. Após vários ajustes, chegaram à seguinte expressão:

$$\left(2x-\frac{3}{x^2}\right)^9$$

Essa expressão representa a variação da força de propulsão líquida em função do tempo $x$, medida em unidades padronizadas ao longo da travessia.

Sabendo que o termo independente de $x$ (aquele que não depende diretamente do tempo) é essencial para representar um valor constante da força, sem depender do tempo, os engenheiros solicitaram seu cálculo.

Com base nesse modelo, qual é o valor do termo independente de $x$ na expansão da expressão acima?

Para encontrar o termo independente de $x$ na expansão de

$$\left(2x-\frac{3}{x^2}\right)^9,$$

utilizaremos o teorema binomial.

1. Escrever o termo geral

Pelo teorema binomial, o termo geral da expansão de $(a+b)^n$ é

$$T_{k+1}=\binom{n}{k}a^{n-k}b^k.$$

Neste exercício,

$$a=2x,\qquad b=-\frac{3}{x^2},\qquad n=9.$$

Logo,

$$T_{k+1}=\binom{9}{k}(2x)^{9-k} \left(-\frac{3}{x^2}\right)^k.$$

2. Determinar o expoente de $x$

Simplificando as potências:

$$T_{k+1}=\binom{9}{k}2^{9-k}(-3)^k x^{9-k-2k}.$$

Portanto,

$$T_{k+1}=\binom{9}{k}2^{9-k}(-3)^k x^{9-3k}.$$

Para obter o termo independente de $x$, o expoente deve ser igual a zero:

$$9-3k=0.$$

Assim,

$$3k=9$$$$k=3.$$

3. Calcular o termo independente

Substituindo $k=3$ no termo geral:

$$T_4=\binom{9}{3}2^{9-3}(-3)^3.$$

Calculando o coeficiente binomial:

$$\binom{9}{3}=\frac{9!}{3!\,6!}=84.$$

Além disso,

$$2^6=64,\qquad (-3)^3=-27.$$

Logo,

$$T_4=84\cdot64\cdot(-27).$$$$T_4=-145152.$$

Portanto, o termo independente de $x$ é

$$\boxed{-145152}.$$

Resposta: (D).

🧩 Exercício 7 EFOMMMédio

Em um estudo recente do Centro de Instrução Almirante Graça Aranha (CIAGA) sobre os hábitos de leitura dos alunos do primeiro e segundo ano da EFOMM (Escola de Formação de Oficiais da Marinha Mercante), foram avaliados os tempos médios diários que eles dedicam à leitura em suas disciplinas. Os dados coletados em uma amostra desses alunos revelaram que a média dos tempos de leitura diária é de 36 minutos, enquanto a maior parte deles dedica exatamente 30 minutos diários à leitura, o que representa a moda dos dados.

O CIAGA considera que o conhecimento da mediana é crucial para entender a distribuição dos tempos de leitura, pois ela indica o valor central que divide o grupo ao meio, auxiliando na otimização dos planos de estudo. Com base nessas informações, estime o valor aproximado da mediana desse conjunto de dados de tempos de leitura, utilizando a relação empírica entre média, moda e mediana.

O enunciado informa que:

• Média: $\bar{x}=36$ minutos.
• Moda: $Mo=30$ minutos.

Para estimar a mediana, utilizamos a relação empírica entre média, moda e mediana:

$$Mo \approx 3Md-2\bar{x}$$

em que $Md$ representa a mediana.

1. Substituir os valores conhecidos

$$30=3Md-2\cdot36$$$$30=3Md-72$$

2. Isolar a mediana

Somando 72 aos dois lados:

$$102=3Md$$

Dividindo por 3:

$$Md=\frac{102}{3}=34$$

Portanto, a mediana aproximada dos tempos diários de leitura é

$$\boxed{34\text{ minutos}}.$$

Resposta: (D).

🧩 Exercício 8 EFOMMDifícil

Um balde em forma de tronco de cone, com altura de 1 m, raio do fundo de 0,3 m e raio do topo de 0,6 m, está sendo preenchido com água a uma taxa constante de 5 m³/min. A água mantém a forma do tronco de cone enquanto enche o balde. A que taxa, aproximadamente, a altura da água está aumentando no instante em que ela atinge 0,5 m de altura?

A água entra no balde a uma taxa constante de

$$\frac{dV}{dt}=5\text{ m}^3/\text{min}.$$

Queremos determinar a taxa de variação da altura da água, $\frac{dh}{dt}$, quando $h=0{,}5$ m.

1. Determinar o raio da superfície da água

Como o balde tem formato de tronco de cone, o raio aumenta linearmente com a altura.

Na base, o raio é $0{,}3$ m; no topo, é $0{,}6$ m. Assim, por semelhança de triângulos,

$$r=0{,}3+\frac{0{,}6-0{,}3}{1}h.$$

Portanto,

$$r=0{,}3+0{,}3h.$$

Quando $h=0{,}5$ m:

$$r=0{,}3+0{,}3\cdot0{,}5$$$$r=0{,}45\text{ m}.$$

2. Relacionar o volume com a altura

A taxa de variação do volume em relação à altura é a área da seção horizontal da água:

$$\frac{dV}{dh}=\pi r^2.$$

Pela regra da cadeia,

$$\frac{dV}{dt}=\frac{dV}{dh}\cdot\frac{dh}{dt}.$$

Logo,

$$5=\pi(0{,}45)^2\frac{dh}{dt}.$$

3. Calcular a taxa de variação da altura

Como

$$(0{,}45)^2=0{,}2025,$$

temos

$$5=0{,}2025\pi\frac{dh}{dt}.$$

Isolando a taxa desejada:

$$\frac{dh}{dt}=\frac{5}{0{,}2025\pi}.$$

Assim,

$$\frac{dh}{dt}\approx\frac{24{,}69}{\pi} \text{ m/min}.$$

Aproximando o valor numérico, obtemos

$$\boxed{\frac{25}{\pi}\text{ m/min}}.$$

Resposta: (C).

🧩 Exercício 9 EFOMMDifícil

Considere que você está participando de um desafio de lógica proposto pela EFOMM (Escola de Formação de Oficiais da Marinha Mercante), uma instituição de ensino superior militar do Brasil, responsável pela formação de Oficiais da Marinha Mercante. Para testar suas habilidades de raciocínio lógico e numérico, foi criada a sequência $S(n)$, definida pelas seguintes etapas:

• Liste todos os números pares de 2 até $n$.
• Elimine todos os múltiplos de 6 (exceto o 6), depois os múltiplos de 8 (exceto o 8) e os múltiplos de 10 (exceto o 10).
• Atribua a cada número sobrevivente, na ordem crescente, uma letra da sigla EFOMM, repetindo-a ciclicamente.

Por exemplo:

• $S(1)=2\rightarrow E$
• $S(2)=4\rightarrow F$
• $S(3)=6\rightarrow O$
• $S(4)=8\rightarrow M$
• $S(5)=10\rightarrow M$
• $S(6)=14\rightarrow E$

Qual é a letra, destacada nas opções abaixo, que está associada ao número 2026 dentro da sequência de sobreviventes?

Para descobrir a letra associada ao número 2026, precisamos determinar sua posição na sequência de números sobreviventes e, em seguida, identificar a letra correspondente na repetição cíclica de EFOMM.

1. Contar os números pares até 2026

A quantidade de números pares positivos de 2 até 2026 é

$$\frac{2026}{2}=1013.$$

Portanto, inicialmente temos 1013 números pares.

2. Contar os números eliminados

Escrevendo cada número par como $2k$, com $1\leq k\leq1013$, observamos que:

• Os múltiplos de 6 correspondem aos valores de $k$ divisíveis por 3.
• Os múltiplos de 8 correspondem aos valores de $k$ divisíveis por 4.
• Os múltiplos de 10 correspondem aos valores de $k$ divisíveis por 5.

Para contar os valores eliminados sem contar duas vezes os múltiplos comuns, utilizamos o princípio da inclusão-exclusão.

A quantidade de múltiplos de cada número é

$$\left\lfloor\frac{1013}{3}\right\rfloor=337,$$$$\left\lfloor\frac{1013}{4}\right\rfloor=253,$$$$\left\lfloor\frac{1013}{5}\right\rfloor=202.$$

Agora, subtraímos os múltiplos comuns aos pares:

$$\left\lfloor\frac{1013}{12}\right\rfloor=84,$$$$\left\lfloor\frac{1013}{15}\right\rfloor=67,$$$$\left\lfloor\frac{1013}{20}\right\rfloor=50.$$

Por fim, adicionamos novamente os múltiplos comuns aos três grupos:

$$\left\lfloor\frac{1013}{60}\right\rfloor=16.$$

Assim, a quantidade de valores que seriam eliminados é

$$337+253+202-84-67-50+16=407.$$

Entretanto, os números 6, 8 e 10 devem ser mantidos, conforme as regras do enunciado. Portanto, a quantidade efetivamente eliminada é

$$407-3=404.$$

3. Determinar a posição do número 2026

A quantidade de números sobreviventes até 2026 é

$$1013-404=609.$$

Como 2026 não é múltiplo de 6, 8 ou 10, ele permanece na sequência e ocupa a posição 609.

4. Identificar a letra correspondente

A sigla EFOMM possui cinco letras, que se repetem ciclicamente. Dividindo a posição 609 por 5:

$$609=5\cdot121+4.$$

O resto é 4, portanto a letra procurada é a quarta letra da sequência EFOMM:

$$\boxed{M}$$

Resposta: (D).

🧩 Exercício 10 EFOMMMédio

Um terreno triangular equilátero possui, em seu interior, uma árvore plantada. As distâncias perpendiculares dessa árvore até cada um dos três lados do terreno medem 3 m, 4 m e 5 m. Qual a área do terreno em metros quadrados?

1. Determinar a altura do triângulo

Sejam $h$ a altura do triângulo equilátero e $P$ o ponto onde a árvore está plantada.

Ligando $P$ aos três vértices do triângulo, podemos dividir o triângulo original em três triângulos menores. A soma das áreas desses triângulos corresponde à área total do terreno.

Se $l$ representa o lado do triângulo equilátero, as áreas dos três triângulos menores são

$$A_1=\frac{l\cdot3}{2}, \qquad A_2=\frac{l\cdot4}{2}, \qquad A_3=\frac{l\cdot5}{2}.$$

Somando essas áreas:

$$A=\frac{3l}{2}+\frac{4l}{2}+\frac{5l}{2}$$$$A=\frac{12l}{2}=6l.$$

Por outro lado, a área do triângulo equilátero também pode ser expressa por

$$A=\frac{l h}{2}.$$

Igualando as duas expressões:

$$\frac{lh}{2}=6l.$$

Como $l\neq0$, podemos simplificar por $l$:

$$h=12\text{ m}.$$

2. Determinar o lado do triângulo

A altura de um triângulo equilátero divide-o em dois triângulos retângulos, cujos catetos medem $h$ e $\frac{l}{2}$, e cuja hipotenusa mede $l$.

Pelo teorema de Pitágoras:

$$h^2+\left(\frac{l}{2}\right)^2=l^2.$$

Substituindo $h=12$:

$$144+\frac{l^2}{4}=l^2.$$$$144=\frac{3l^2}{4}.$$$$l^2=192.$$

Portanto,

$$l=8\sqrt{3}\text{ m}.$$

3. Calcular a área do terreno

A área do triângulo equilátero é

$$A=\frac{lh}{2}.$$

Substituindo os valores encontrados:

$$A=\frac{8\sqrt{3}\cdot12}{2}.$$

Logo,

$$\boxed{A=48\sqrt{3}\text{ m}^2}.$$

Resposta: (A).

🧩 Exercício 11 EFOMMMédio

Um navio está localizado no ponto $(2,\frac{1}{2})$ de um mapa cartesiano, com coordenadas em quilômetros. Nesse mapa, as rotas marítimas estão representadas pela curva definida pela equação

$$y^2-x^2+4x-8=0,$$

considerando todos os pontos reais que satisfazem essa equação. Qual é a distância mínima, em quilômetros, entre o navio e essa rota marítima?

1. Identificar a curva

A equação da rota marítima é

$$y^2-x^2+4x-8=0.$$

Completando o quadrado na variável $x$:

$$y^2-(x^2-4x)-8=0.$$

Como

$$x^2-4x=(x-2)^2-4,$$

obtemos

$$y^2-(x-2)^2+4-8=0.$$

Portanto,

$$y^2-(x-2)^2=4.$$

Essa equação representa uma hipérbole com centro no ponto $(2,0)$ e vértices em $(2,2)$ e $(2,-2)$.

2. Determinar o ponto da rota mais próximo do navio

O navio está no ponto

$$P=\left(2,\frac12\right).$$

Como sua coordenada horizontal é $x=2$, o vértice superior da hipérbole, $(2,2)$, está diretamente acima dele.

A distância entre esses dois pontos é

$$d=2-\frac12.$$

Logo,

$$d=\frac32=1{,}5\text{ km}.$$

Esse é o ponto mais próximo da rota: na parte superior da hipérbole, qualquer outro ponto possui coordenada $y$ maior que 2 e, portanto, está mais distante verticalmente e também apresenta deslocamento horizontal. A parte inferior da hipérbole está ainda mais distante do navio.

Assim, a distância mínima é

$$\boxed{1{,}5\text{ km}}.$$

Resposta: (C).

🧩 Exercício 12 EFOMMDifícil

Um engenheiro projetou um componente metálico na forma de um sólido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo $x$, da região delimitada pela curva

$$y=\sec(x),$$

pela reta horizontal $y=4$ e pelas retas verticais

$$x=\frac{\pi}{3} \qquad\text{e}\qquad x=\frac{5\pi}{12}.$$

Com base nessa construção, determine o volume do sólido gerado.

Como a região gira em torno do eixo $x$ e está delimitada por duas curvas, utilizaremos o método dos anéis.

O volume é dado por

$$V=\pi\int_a^b\left[R(x)^2-r(x)^2\right]\,dx,$$

em que $R(x)$ é o raio externo e $r(x)$ é o raio interno.

1. Identificar os raios

A curva inferior é $y=\sec(x)$ e a reta superior é $y=4$. Portanto,

$$R(x)=4 \qquad\text{e}\qquad r(x)=\sec(x).$$

Os limites de integração são

$$a=\frac{\pi}{3}, \qquad b=\frac{5\pi}{12}.$$

2. Montar a integral

Substituindo os raios na fórmula:

$$V=\pi\int_{\pi/3}^{5\pi/12} \left[16-\sec^2(x)\right]\,dx.$$

Separando os termos:

$$V=\pi\left[ 16x-\tan(x) \right]_{\pi/3}^{5\pi/12}.$$

3. Calcular os valores nos extremos

Substituindo os limites:

$$V=\pi\left[ 16\left(\frac{5\pi}{12}-\frac{\pi}{3}\right) -\left(\tan\frac{5\pi}{12}-\tan\frac{\pi}{3}\right) \right].$$

A diferença entre os limites é

$$\frac{5\pi}{12}-\frac{\pi}{3} =\frac{\pi}{12}.$$

Além disso,

$$\tan\frac{\pi}{3}=\sqrt{3}$$

e

$$\tan\frac{5\pi}{12}=2+\sqrt{3}.$$

Logo,

$$V=\pi\left[ 16\cdot\frac{\pi}{12} -\left((2+\sqrt{3})-\sqrt{3}\right) \right].$$

Simplificando:

$$V=\pi\left(\frac{4\pi}{3}-2\right).$$

Portanto,

$$\boxed{V=\frac{4\pi^2}{3}-2\pi}.$$

Resposta: (B).

🧩 Exercício 13 EFOMMMédio

Imagine que você está imerso em um desafio de lógica inspirado pela grandeza do maior campeão do Brasil: o Palmeiras. Com seus impressionantes 12 títulos brasileiros, o clube paulista é uma força incontestável na história do nosso futebol e também um dos melhores times da América do Sul. De fato, entre 2015 e 2025, ninguém triunfou mais nesse período do que essa "Nova Academia", empilhando títulos com uma consistência notável.

Sua tarefa é descobrir quantos anagramas diferentes podem ser formados a partir das letras da palavra "PALMEIRAS", mas com uma condição especial e rigorosa: nenhuma consoante pode aparecer consecutivamente.

Qual das alternativas abaixo representa o número correto de anagramas que atendem a essa condição?

A palavra PALMEIRAS possui 9 letras distintas, sendo:

• 5 consoantes: P, L, M, R, S;
• 4 vogais: A, E, I, A.

Observe que a letra A aparece duas vezes. Portanto, precisamos considerar essa repetição ao calcular os anagramas.

A condição exige que nenhuma consoante apareça consecutivamente. Vamos organizar primeiro as vogais e, depois, inserir as consoantes nos espaços disponíveis.

1. Organizar as vogais

As quatro vogais são A, A, E e I. O número de maneiras distintas de organizá-las é

$$\frac{4!}{2!}=12.$$

2. Determinar os espaços disponíveis para as consoantes

Ao organizar as quatro vogais, temos cinco espaços possíveis para inserir consoantes: um antes da primeira vogal, três entre as vogais e um depois da última.

Por exemplo:

$$\_\,V\,\_\,V\,\_\,V\,\_\,V\,\_$$

Para que nenhuma consoante fique consecutiva, cada espaço pode receber, no máximo, uma consoante.

Como existem cinco consoantes distintas e exatamente cinco espaços, cada espaço deverá receber uma consoante.

3. Organizar as consoantes

As cinco consoantes são distintas, podendo ser organizadas nos cinco espaços de

$$5!=120$$

maneiras.

4. Calcular o total de anagramas

Pelo princípio multiplicativo, o número total de anagramas é

$$N=\frac{4!}{2!}\cdot5!$$$$N=12\cdot120$$$$\boxed{N=1440}.$$

Resposta: (C).

🧩 Exercício 14 EFOMMDifícil

Uma empresa de telecomunicações pretende instalar um cabo entre uma estação E, localizada na margem oeste de um rio reto que possui 2 km de largura, e um ponto de destino D, situado na margem leste, 8 km rio abaixo em relação ao ponto da margem diretamente oposta a E. A instalação do cabo pode ser feita de duas maneiras: sob a água, atravessando o rio em linha reta até um ponto F, que pode ser escolhido livremente na margem leste, e, a partir desse ponto, por terra até o destino D, seguindo pela margem do rio.

Sabe-se que o custo de instalação do cabo subaquático é 60% superior ao custo por quilômetro em terra firme. A empresa deseja escolher o ponto F de forma a minimizar o custo total da instalação. Nessas condições, a distância, medida ao longo da margem leste, o ponto F deve ser posicionado em relação ao ponto de destino D, para que o custo total seja o menor possível? Suponha as margens do rio retilíneas e paralelas.

1. Definir a posição do ponto F

Seja $x$ a distância, ao longo da margem leste, entre o ponto diretamente oposto a E e o ponto F, na direção de D.

Como o destino D está a 8 km desse ponto, a distância terrestre entre F e D é

$$8-x.$$

A largura do rio é de 2 km. Pelo teorema de Pitágoras, o comprimento do cabo subaquático é

$$L(x)=\sqrt{x^2+2^2}$$

ou seja,

$$L(x)=\sqrt{x^2+4}.$$

2. Montar a função custo

Seja $c$ o custo por quilômetro de instalação em terra firme. O custo subaquático é 60% maior, isto é, $1{,}6c$ por quilômetro.

Assim, o custo total é

$$C(x)=1{,}6c\sqrt{x^2+4}+c(8-x).$$

Como (c) é positivo e constante, basta minimizar a função

$$f(x)=1{,}6\sqrt{x^2+4}+8-x.$$

3. Determinar o ponto de custo mínimo

Derivando a função:

$$f'(x)=\frac{1{,}6x}{\sqrt{x^2+4}}-1.$$

Para encontrar o mínimo, fazemos (f'(x)=0):

$$\frac{1{,}6x}{\sqrt{x^2+4}}=1.$$

Logo,

$$1{,}6x=\sqrt{x^2+4}.$$

Elevando os dois lados ao quadrado:

$$2{,}56x^2=x^2+4.$$$$1{,}56x^2=4.$$$$x^2=\frac{4}{1{,}56}=\frac{100}{39}.$$

Portanto,

$$x=\frac{10}{\sqrt{39}}\approx1{,}6\text{ km}.$$

4. Calcular a distância entre F e D

A distância terrestre entre F e D é

$$8-x\approx8-1{,}6=6{,}4\text{ km}.$$

Assim, o ponto F deve ficar aproximadamente a 6,4 km de D, ao longo da margem leste.

Resposta: (A).

🧩 Exercício 15 EFOMMMédio

Sejam $v$ e $t$ números complexos, em que $|v|=2$ e seu argumento é $\theta=75^\circ$, enquanto $t$ tem coordenadas no Plano de Argand-Gauss $(-4,0)$. Sabe-se que o número complexo $z$ satisfaz a equação

$$z\cdot v=t.$$

Com base nessas informações, calcule $z^5$ e assinale a alternativa correta.

1. Escrever os números complexos na forma trigonométrica

Sabemos que $|v|=2$ e que o argumento de $v$ é $75^\circ$. Portanto,

$$v=2(\cos75^\circ+i\operatorname{sen}75^\circ).$$

O número complexo $t$ possui coordenadas $(-4,0)$, logo

$$t=-4.$$

Como $z\cdot v=t$, temos

$$z=\frac{t}{v}=\frac{-4}{v}.$$

2. Determinar o módulo e o argumento de $z$

O módulo do quociente é o quociente dos módulos:

$$|z|=\frac{|t|}{|v|}=\frac{4}{2}=2.$$

O argumento do quociente é a diferença entre os argumentos:

$$\arg(z)=180^\circ-75^\circ=105^\circ.$$

Assim, podemos escrever

$$z=2(\cos105^\circ+i\operatorname{sen}105^\circ).$$

3. Calcular $z^5$ usando a fórmula de De Moivre

Pela fórmula de De Moivre,

$$z^5=2^5(\cos(5\cdot105^\circ)+i\operatorname{sen}(5\cdot105^\circ)).$$

Portanto,

$$z^5=32(\cos525^\circ+i\operatorname{sen}525^\circ).$$

Como $525^\circ=165^\circ+360^\circ$, temos

$$z^5=32(\cos165^\circ+i\operatorname{sen}165^\circ).$$

4. Escrever o resultado na forma algébrica

Utilizando os valores das razões trigonométricas:

$$\cos165^\circ=-\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$$

e

$$\operatorname{sen}165^\circ=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4},$$

obtemos

$$z^5=32\left(-\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} +i\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\right).$$

Simplificando:

$$z^5=8(-\sqrt{6}-\sqrt{2}) +8i(\sqrt{6}-\sqrt{2}).$$

Logo,

$$\boxed{z^5=8(-\sqrt{6}-\sqrt{2})+8i(\sqrt{6}-\sqrt{2})}.$$

Resposta: (E).

🧩 Exercício 16 EFOMMMédio

No processo de construção de embarcações, os estaleiros frequentemente projetam reservatórios com diferentes geometrias, buscando otimizar o espaço interno da embarcação e garantir estabilidade e eficiência.

Em um determinado projeto, foi especificado um reservatório no formato de prisma triangular reto, que será instalado no porão de uma embarcação de médio porte. As dimensões desse reservatório foram definidas a partir de cálculos técnicos, sendo que a altura do prisma é igual a $x_1x_2$, e o triângulo que forma sua base possui base igual a $x_3x_4$ e altura $x_5x_6$.

Sabendo-se que $x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$ e $x_6$ pertencem aos números reais, tais que

$$2^{x_1}=4,\quad 3^{x_2}=5,\quad 4^{x_3}=6,$$$$5^{x_4}=7,\quad 6^{x_5}=8,\quad 7^{x_6}=9,$$

calcule o volume desse reservatório, em metros cúbicos.

1. Determinar os valores dos expoentes

Utilizando a definição de logaritmo, obtemos

$$x_1=\log_2 4=2.$$$$x_2=\log_3 5.$$$$x_3=\log_4 6.$$$$x_4=\log_5 7.$$$$x_5=\log_6 8.$$$$x_6=\log_7 9.$$

2. Calcular as dimensões do prisma

A altura do prisma é dada por

$$h=x_1x_2=2\log_3 5.$$

A base do triângulo é

$$b=x_3x_4=\log_4 6\cdot\log_5 7.$$

A altura do triângulo é

$$h_t=x_5x_6=\log_6 8\cdot\log_7 9.$$

3. Calcular o volume

O volume de um prisma triangular reto é o produto da área da base pela altura do prisma:

$$V=\frac{b h_t}{2}\cdot h.$$

Substituindo as expressões encontradas:

$$V=\frac{ (\log_4 6)(\log_5 7) (\log_6 8)(\log_7 9) }{2} \cdot2\log_3 5.$$

Cancelando o fator 2:

$$V=(\log_4 6)(\log_5 7) (\log_6 8)(\log_7 9)(\log_3 5).$$

Aplicando a propriedade

$$\log_a b\cdot\log_b c=\log_a c,$$

podemos simplificar os fatores consecutivos:

$$V=\log_4 6\cdot\log_6 8 \cdot\log_3 5\cdot\log_5 7\cdot\log_7 9.$$

Assim,

$$V=\log_4 8\cdot\log_3 9.$$

Como

$$\log_4 8=\frac32 \qquad\text{e}\qquad \log_3 9=2,$$

concluímos que

$$V=\frac32\cdot2=3.$$

Portanto, o volume do reservatório é

$$\boxed{3\text{ m}^3}.$$

Resposta: (B).

🧩 Exercício 17 EFOMMMédio

Uma escola com 120 alunos realizou uma pesquisa uniforme sobre a prática de três esportes: Futebol, Basquete e Vôlei. Verificou-se que 65 alunos praticam Futebol, 50 praticam Basquete, 40 praticam Vôlei, 20 praticam Futebol e Basquete, 25 praticam Futebol e Vôlei, 15 praticam Basquete e Vôlei, 10 praticam os três esportes e 15 alunos não praticam nenhum esporte.

Seja $A$ a probabilidade de um aluno escolhido ao acaso praticar exatamente um dos esportes e $B$ a probabilidade de um aluno escolhido ao acaso praticar pelo menos dois esportes, o resultado da expressão

$$\left(\frac{A^2}{3}\right)+3B$$

é aproximadamente:

Para calcular a expressão, precisamos determinar as probabilidades $A$ e $B$.

1. Calcular a probabilidade de praticar exatamente um esporte

Dos 65 alunos que praticam Futebol, 20 praticam também Basquete e 25 praticam também Vôlei. Como os 10 alunos que praticam os três esportes foram subtraídos duas vezes, devemos adicioná-los novamente:

$$F_{\text{somente}}=65-20-25+10=30.$$

Para os alunos que praticam somente Basquete:

$$B_{\text{somente}}=50-20-15+10=25.$$

Para os alunos que praticam somente Vôlei:

$$V_{\text{somente}}=40-25-15+10=10.$$

Somando os alunos que praticam exatamente um esporte:

$$N_A=30+25+10=65.$$

Portanto, a probabilidade é

$$A=\frac{65}{120}=\frac{13}{24}.$$

2. Calcular a probabilidade de praticar pelo menos dois esportes

Somamos as interseções dos esportes:

$$20+25+15=60.$$

Nessa soma, os 10 alunos que praticam os três esportes foram contados três vezes. Para que sejam contados apenas uma vez, subtraímos duas dessas contagens:

$$N_B=60-2\cdot10=40.$$

Assim,

$$B=\frac{40}{120}=\frac13.$$

3. Calcular a expressão

Substituindo os valores de $A$ e $B$:

$$\frac{A^2}{3}+3B = \frac{1}{3}\left(\frac{13}{24}\right)^2 +3\cdot\frac13.$$

Elevando a fração ao quadrado:

$$=\frac{169}{1728}+1.$$

Logo,

$$=1+\frac{169}{1728} \approx1{,}098.$$

Arredondando para duas casas decimais:

$$\boxed{1{,}10}.$$

Resposta: (B).

🧩 Exercício 18 EFOMMMédio

A soma dos quadrados das funções circulares seno, cosseno e tangente do arco $\frac{2\pi}{5}$, sabendo-se que o lado do pentágono regular estrelado, inscrito em um círculo de raio unitário, é

$$\frac12\sqrt{10+2\sqrt5},$$

vale:

Queremos calcular

$$\operatorname{sen}^2\frac{2\pi}{5} +\cos^2\frac{2\pi}{5} +\operatorname{tg}^2\frac{2\pi}{5}.$$

1. Utilizar a identidade fundamental da trigonometria

Sabemos que

$$\operatorname{sen}^2x+\cos^2x=1.$$

Portanto, a expressão procurada é

$$1+\operatorname{tg}^2\frac{2\pi}{5}.$$

Pela identidade trigonométrica,

$$1+\operatorname{tg}^2x=\frac{1}{\cos^2x}.$$

Logo,

$$S=\frac{1}{\cos^2\frac{2\pi}{5}}.$$

2. Determinar o cosseno do arco

O lado do pentágono regular inscrito em uma circunferência de raio unitário é dado por

$$l=\sqrt{2-2\cos\theta}.$$

Para o arco $\theta=\frac{2\pi}{5}$, o lado informado é

$$l=\frac12\sqrt{10+2\sqrt5}.$$

Elevando ao quadrado:

$$l^2=\frac{10+2\sqrt5}{4}.$$

Como $l^2=2-2\cos\theta$, temos

$$2-2\cos\theta=\frac{10+2\sqrt5}{4}.$$

Isolando o cosseno:

$$\cos\theta =1-\frac{10+2\sqrt5}{8}.$$$$\cos\theta =-\frac{1+\sqrt5}{4}.$$

Esse valor corresponde ao cosseno de $\frac{4\pi}{5}$, e não ao de $\frac{2\pi}{5}$. Para o arco $\frac{2\pi}{5}$, usamos a relação

$$\cos\frac{2\pi}{5}=\frac{\sqrt5-1}{4}.$$

3. Calcular a expressão

Substituindo o valor correto do cosseno:

$$S=\frac{1}{\left(\frac{\sqrt5-1}{4}\right)^2}.$$$$S=\frac{16}{(\sqrt5-1)^2}.$$

Desenvolvendo o quadrado:

$$S=\frac{16}{6-2\sqrt5}.$$

Racionalizando o denominador:

$$S=\frac{16(6+2\sqrt5)}{36-20}.$$$$S=6+2\sqrt5.$$

Portanto,

$$\boxed{S=2(3+\sqrt5)}.$$

Resposta: (C).

🧩 Exercício 19 EFOMMMédio

Considerando que os vértices opostos de um paralelogramo são $A=(0,b)$ e $B=(4,-1)$, e que um outro vértice é $C=(6,a)$, o valor de $(a+b)$, sabendo que a reta que contém a diagonal que passa pelos pontos $C$ e $D$ tem equação

$$\frac{x}{y}=2,$$

é:

1. Determinar as coordenadas do vértice $D$

Em um paralelogramo, as diagonais se intersectam em seus pontos médios. Portanto, a soma das coordenadas de vértices opostos é igual.

Como $A=(0,b)$ e $B=(4,-1)$ são vértices opostos, e $C=(6,a)$, temos

$$A+B=C+D.$$

Comparando as coordenadas $x$:

$$0+4=6+x_D$$$$x_D=-2.$$

Comparando as coordenadas $y$:

$$b-1=a+y_D.$$

2. Utilizar a equação da diagonal $CD$

A reta que contém os pontos $C$ e $D$ satisfaz

$$\frac{x}{y}=2.$$

Isso equivale a

$$x=2y \qquad\Longrightarrow\qquad y=\frac{x}{2}.$$

Como $C=(6,a)$ pertence à reta:

$$a=\frac{6}{2}=3.$$

Como $D=(-2,y_D)$ também pertence à reta:

$$y_D=\frac{-2}{2}=-1.$$

3. Calcular $a+b$

Usando a relação entre as coordenadas dos vértices opostos:

$$b-1=a+y_D.$$

Substituindo $a=3$ e $y_D=-1$:

$$b-1=3-1=2.$$

Logo,

$$b=3.$$

Portanto,

$$a+b=3+3=6.$$$$\boxed{a+b=6}$$

Resposta: (E).

🧩 Exercício 20 EFOMMMédio

Uma escola está organizando um Conselho Escolar com os seguintes critérios: 3 professores, 2 estudantes e 1 responsável. Para tal, estão disponíveis 6 professores ($P_1$ a $P_6$), 5 estudantes ($E_1$ a $E_5$) e 3 responsáveis ($R_1$ a $R_3$). Entretanto, existem duas restrições:

• Se o professor $P_1$ for escolhido, o estudante $E_1$ não pode ser selecionado;
• O responsável $R_3$ só pode participar se o professor $P_6$ também for escolhido.

A quantidade de formas diferentes como esse conselho pode ser formado, respeitando as condições acima, é:

Precisamos escolher 3 professores entre 6, 2 estudantes entre 5 e 1 responsável entre 3, respeitando as duas restrições.

1. Contar as escolhas de professores e responsáveis

Vamos separar os casos conforme o responsável escolhido.

Caso 1: O responsável escolhido é $R_1$ ou $R_2$.

Há 2 possibilidades para o responsável. Como a restrição envolvendo $R_3$ não se aplica, podemos escolher quaisquer 3 professores entre 6:

$$\binom{6}{3}=20.$$

Para cada escolha de professores, precisamos contar as escolhas dos estudantes.

• Se $P_1$ não for escolhido, podemos selecionar quaisquer 2 dos 5 estudantes: $\binom{5}{2}=10$. Há $\binom{5}{3}=10$ escolhas de professores sem $P_1$.
• Se $P_1$ for escolhido, $E_1$ não pode ser selecionado. Assim, escolhemos 2 estudantes entre os 4 restantes: $\binom{4}{2}=6$. Há $\binom{5}{2}=10$ escolhas de professores com $P_1$.

Para cada um dos 2 responsáveis possíveis, o total é

$$10\cdot10+10\cdot6=160.$$

Como há 2 responsáveis nesse caso:

$$N_1=2\cdot160=320.$$

Caso 2: O responsável escolhido é $R_3$.

Nesse caso, o professor $P_6$ precisa ser escolhido. Portanto, as 3 vagas de professor devem incluir $P_6$, e as outras 2 são escolhidas entre os 5 professores restantes:

$$\binom{5}{2}=10.$$

Agora, se $P_1$ não estiver entre esses dois professores, podemos escolher quaisquer 2 estudantes entre os 5. Há $\binom{4}{2}=6$ escolhas de professores que incluem $P_6$, mas não $P_1$.

Se $P_1$ também for escolhido, $E_1$ fica proibido. Há 4 escolhas de professores contendo tanto $P_1$ quanto $P_6$, e para cada uma delas existem $\binom{4}{2}=6$ escolhas de estudantes.

Logo,

$$N_2=6\cdot10+4\cdot6=84.$$

2. Somar os casos

O total de conselhos possíveis é

$$N=N_1+N_2.$$$$N=320+84=404.$$

Portanto, existem

$$\boxed{404}$$

formas diferentes de formar o conselho.

Resposta: (A).