EFOMM 2023

🧩 Exercício 1 EFOMMFácil

Da expressão numérica abaixo, resulta um número inteiro $k$.

$$k=\frac{3^{12}-2^{12}}{(3^6+2^6)(3^3+2^3)}$$

A diferença entre o maior e o menor algarismo que compõem $k$ é:

1. Reescrevendo as potências

Observe que:

$$3^{12}=(3^3)^4 \qquad\text{e}\qquad 2^{12}=(2^3)^4$$

Fazendo $a=3^3$ e $b=2^3$, podemos escrever:

$$k=\frac{a^4-b^4}{(a^2+b^2)(a+b)}$$

2. Fatorando o numerador

Utilizamos a diferença de quadrados:

$$a^4-b^4=(a^2-b^2)(a^2+b^2)$$

E sabemos que:

$$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$$

Portanto,

$$a^4-b^4=(a-b)(a+b)(a^2+b^2)$$

Substituindo na expressão de $k$:

$$k=\frac{(a-b)(a+b)(a^2+b^2)} {(a^2+b^2)(a+b)}$$

Cancelando os fatores comuns:

$$k=a-b$$

3. Calculando o valor de $k$

Voltando às potências originais:

$$k=3^3-2^3$$$$k=27-8$$$$\boxed{k=19}$$

4. Calculando a diferença entre os algarismos

O maior algarismo de $19$ é $9$, e o menor é $1$.

Assim,

$$9-1=8$$

Portanto, a alternativa correta é a D.

🧩 Exercício 2 EFOMMMédio

Considere a matriz quadrada $B$, de ordem $3$, representada abaixo.

$$B= \begin{pmatrix} \operatorname{sen}210^\circ & \operatorname{sen}630^\circ & \operatorname{tg}225^\circ\\ 2 & y & -2\\ \cos720^\circ & \cos1440^\circ & \operatorname{tg}180^\circ \end{pmatrix}$$

Se o determinante dessa matriz é igual a $1$, o valor de $y$ corresponde a:

1. Simplificando os valores trigonométricos

Utilizando os valores conhecidos:

$$\operatorname{sen}210^\circ=-\frac12$$

Como $630^\circ=360^\circ+270^\circ$, temos:

$$\operatorname{sen}630^\circ =\operatorname{sen}270^\circ=-1$$

Além disso,

$$\operatorname{tg}225^\circ=1$$$$\cos720^\circ=1$$$$\cos1440^\circ=1$$$$\operatorname{tg}180^\circ=0$$

Portanto, a matriz fica:

$$B= \begin{pmatrix} -\frac12 & -1 & 1\\ 2 & y & -2\\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$

2. Calculando o determinante

Sabemos que o determinante é igual a $1$:

$$\begin{vmatrix} -\frac12 & -1 & 1\\ 2 & y & -2\\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix}=1$$

Aplicando a regra de Sarrus:

$$\begin{aligned} 1={}& \left(-\frac12\right)y\cdot0 +(-1)(-2)(1) +(1)(2)(1)\\ &-\left[ (1)y(1) +(-1)(2)(0) +\left(-\frac12\right)(-2)(1) \right] \end{aligned}$$

Simplificando:

$$1=0+2+2-\left[y+0+1\right]$$$$1=4-y-1$$$$1=3-y$$

3. Isolando $y$

$$y=3-1$$

Portanto,

$$\boxed{y=2}$$

Logo, a alternativa correta é a B.

🧩 Exercício 3 EFOMMMédio

A pirâmide de Quéops, a maior do Egito, tem como base um quadrado de $230$ metros de lado. A reta que passa pelo centro da base e pelo ponto mais elevado (vértice) dessa pirâmide é perpendicular à base.

O segmento de reta com extremos no vértice e no ponto médio de um lado da base forma com o plano da base um ângulo obtuso de medida $\alpha$, tal que $\cos\alpha=-0,6$.

A altura da pirâmide é, aproximadamente, de:

1. Identificando o triângulo retângulo

Seja $V$ o vértice da pirâmide, $O$ o centro da base e $M$ o ponto médio de um dos lados do quadrado.

Como a reta que passa por $V$ e $O$ é perpendicular à base, o triângulo $VOM$ é retângulo em $O$.

A altura da pirâmide é:

$$h=VO$$

Como a base é um quadrado de lado $230$ metros, a distância do centro até o ponto médio de um lado é metade do lado:

$$OM=\frac{230}{2}=115$$

2. Calculando a tangente do ângulo

Sabemos que:

$$\cos\alpha=-0,6=-\frac35$$

Como $\alpha$ é obtuso, seu seno é positivo. Pela relação fundamental da trigonometria:

$$\operatorname{sen}^2\alpha+\cos^2\alpha=1$$$$\operatorname{sen}^2\alpha=1-\frac9{25}$$$$\operatorname{sen}\alpha=\frac45$$

Assim,

$$\operatorname{tg}\alpha =\frac{\operatorname{sen}\alpha}{\cos\alpha}$$$$\operatorname{tg}\alpha =\frac{4/5}{-3/5}=-\frac43$$

Como o ângulo é obtuso, usamos o valor absoluto da tangente para determinar a razão entre a altura e a distância horizontal:

$$\frac{h}{115}=\frac43$$

3. Calculando a altura

Isolando $h$:

$$h=115\cdot\frac43$$$$h=\frac{460}{3}$$$$h\approx153,33$$

Portanto, a altura aproximada da pirâmide é:

$$\boxed{153\text{ metros}}$$

Logo, a alternativa correta é a C.

🧩 Exercício 4 EFOMMFácil

Duas caixas cúbicas $A$ e $B$ têm volumes, em litros, respectivamente iguais a $V$ e $4V$. Calculando-se a razão entre as áreas de suas bases, das caixas $B$ e $A$, respectivamente, obtemos:

1. Relacionando o volume com a aresta do cubo

Seja $a$ a aresta da caixa cúbica $A$ e $b$ a aresta da caixa cúbica $B$.

O volume de um cubo é dado por:

$$V_{\text{cubo}}=\text{aresta}^3$$

Como os volumes das caixas são $V$ e $4V$, temos:

$$a^3=V$$$$b^3=4V$$

Dividindo a segunda igualdade pela primeira:

$$\frac{b^3}{a^3}=\frac{4V}{V}$$$$\left(\frac{b}{a}\right)^3=4$$

Extraindo a raiz cúbica:

$$\boxed{\frac{b}{a}=\sqrt[3]{4}}$$

2. Calculando a razão entre as áreas das bases

Como as bases são quadradas, suas áreas são:

$$A_A=a^2$$$$A_B=b^2$$

Queremos a razão entre a área da base da caixa $B$ e a área da base da caixa $A$:

$$\frac{A_B}{A_A}=\frac{b^2}{a^2}$$

Logo,

$$\frac{A_B}{A_A}=\left(\frac{b}{a}\right)^2$$

Substituindo a relação encontrada:

$$\frac{A_B}{A_A}=\left(\sqrt[3]{4}\right)^2$$$$\frac{A_B}{A_A}=\sqrt[3]{16}$$

Como $16=8\cdot2$, podemos escrever:

$$\sqrt[3]{16}=\sqrt[3]{8\cdot2}$$$$\sqrt[3]{16}=2\sqrt[3]{2}$$

3. Conclusão

Portanto, a razão entre as áreas das bases é:

$$\boxed{\frac{A_B}{A_A}=2\sqrt[3]{2}}$$

Logo, a alternativa correta é a D.

🧩 Exercício 5 EFOMMMédio

Sejam $p$ e $q$ as raízes da equação

$$x^2-2x+k=0$$

em que $k$ é um número real diferente de zero. Se

$$\frac{1}{p^2}+\frac{1}{q^2}=6,$$

então o produto dos possíveis valores de $k$ é:

1. Utilizando as relações de Girard

Pelas relações de Girard, para a equação

$$x^2-2x+k=0,$$

temos:

$$p+q=2$$

e

$$pq=k.$$

2. Transformando a expressão

Queremos calcular:

$$\frac{1}{p^2}+\frac{1}{q^2}=6.$$

Colocando as frações no mesmo denominador:

$$\frac{p^2+q^2}{p^2q^2}=6.$$

Utilizando a identidade

$$p^2+q^2=(p+q)^2-2pq,$$

obtemos:

$$\frac{(p+q)^2-2pq}{(pq)^2}=6.$$

Substituindo $p+q=2$ e $pq=k$:

$$\frac{4-2k}{k^2}=6.$$

3. Encontrando os possíveis valores de $k$

Multiplicando ambos os lados por $k^2$:

$$4-2k=6k^2.$$

Reorganizando:

$$6k^2+2k-4=0.$$

Dividindo por $2$:

$$3k^2+k-2=0.$$

Fatorando:

$$(3k-2)(k+1)=0.$$

Portanto,

$$k=\frac23 \qquad\text{ou}\qquad k=-1.$$

Ambos são possíveis, pois a equação original possui raízes reais para esses valores.

4. Calculando o produto

O produto dos possíveis valores de $k$ é:

$$\frac23\cdot(-1)=-\frac23.$$

Logo,

$$\boxed{-\frac23}$$

A alternativa correta é a B.

🧩 Exercício 6 EFOMMMédio

Analise as proposições abaixo e assinale a alternativa correta.

I) Se $x$ e $y$ são números racionais, então $x^y$ pode ser um número irracional.

II) Se $x$ e $y$ são números irracionais, então o produto $xy$ é também irracional.

III) Para todo $x$ real, tem-se que $x\leq x^4$.

Analisando a proposição I

A afirmação diz que, se $x$ e $y$ são racionais, então $x^y$ pode ser irracional.

Para verificar, basta encontrar um exemplo.

Tomando $x=2$ e $y=\frac12$, ambos racionais, temos:

$$2^{\frac12}=\sqrt2$$

Como $\sqrt2$ é irracional, a proposição I é verdadeira.

Analisando a proposição II

A afirmação diz que o produto de dois números irracionais é sempre irracional.

Entretanto, considere:

$$x=\sqrt2 \qquad\text{e}\qquad y=\sqrt2$$

Ambos são irracionais, mas:

$$xy=\sqrt2\cdot\sqrt2=2$$

Como $2$ é racional, encontramos um contraexemplo.

Portanto, a proposição II é falsa.

Analisando a proposição III

A afirmação diz que, para todo número real $x$:

$$x\leq x^4$$

Basta encontrar um valor real para o qual essa desigualdade não seja satisfeita.

Tomando $x=\frac12$, temos:

$$\frac12\leq\left(\frac12\right)^4$$$$\frac12\leq\frac1{16}$$

Essa desigualdade é falsa, pois $\frac12>\frac1{16}$.

Portanto, a proposição III é falsa.

Conclusão

Apenas a proposição I é verdadeira.

Logo, a alternativa correta é a A.

🧩 Exercício 7 EFOMMMédio

Considere uma função real $f$, cuja lei de formação é dada por:

$$f(x)=|x^2-5x-6|+|x|$$

Sobre essa função, pode-se afirmar que:

1. Analisando o domínio

A função é definida por:

$$f(x)=|x^2-5x-6|+|x|$$

Como os módulos estão definidos para qualquer número real, não há restrições para $x$.

Logo,

$$\boxed{D(f)=\mathbb{R}}$$

Portanto, a alternativa C é falsa.

2. Analisando o comportamento da função

Para estudar os módulos, fatoramos o polinômio:

$$x^2-5x-6=(x-6)(x+1)$$

Suas raízes são $x=-1$ e $x=6$.

Assim, podemos analisar os sinais nos intervalos determinados por $-1$, $0$ e $6$.

Caso 1: $x<-1$

Nesse intervalo, $x^2-5x-6>0$ e $x<0$. Portanto,

$$f(x)=x^2-5x-6-x$$$$f(x)=x^2-6x-6$$

Caso 2: $-1\leq x<0$

Nesse intervalo, $x^2-5x-6\leq0$ e $x<0$. Logo,

$$f(x)=-(x^2-5x-6)-x$$$$f(x)=-x^2+4x+6$$

Caso 3: $0\leq x\leq6$

Nesse intervalo, $x^2-5x-6\leq0$ e $x\geq0$. Assim,

$$f(x)=-(x^2-5x-6)+x$$$$f(x)=-x^2+6x+6$$

Caso 4: $x>6$

Nesse intervalo, os dois termos dentro dos módulos são não negativos. Portanto,

$$f(x)=x^2-5x-6+x$$$$f(x)=x^2-4x-6$$

3. Analisando as alternativas A e B

No intervalo $(2,6)$, a função é:

$$f(x)=-x^2+6x+6$$

Essa parábola tem concavidade voltada para baixo e vértice em:

$$x_v=-\frac{6}{2(-1)}=3$$

Logo, a função é crescente em $(2,3)$ e decrescente em $(3,6)$. Portanto, não é decrescente em todo o intervalo $(2,6)$.

A alternativa A é falsa.

Já no intervalo $(-1,4)$, a função cresce até $x=3$ e decresce de $3$ a $4$. Portanto, também não é crescente em todo esse intervalo.

A alternativa B é falsa.

4. Determinando a imagem da função

Vamos encontrar o menor valor de $f(x)$.

Como os módulos são sempre não negativos,

$$f(x)=|x^2-5x-6|+|x|\geq0$$

Mas podemos obter um limite mais preciso analisando os intervalos.

Para $x<-1$:

$$f(x)=x^2-6x-6$$

Essa expressão é decrescente até $x=-1$, onde vale:

$$f(-1)=1$$

No intervalo $[-1,0)$, a função é $-x^2+4x+6$, que cresce a partir de $f(-1)=1$.

No intervalo $[0,6]$, a função é $-x^2+6x+6$. Seu valor mínimo nesse intervalo ocorre em uma das extremidades:

$$f(0)=6 \qquad\text{e}\qquad f(6)=6$$

Para $x>6$, a função $x^2-4x-6$ é crescente e assume valores maiores que $6$.

Portanto, o menor valor de $f$ é $1$, atingido em $x=-1$.

Além disso, a função assume todos os valores a partir de $1$, pois cresce continuamente de $1$ até valores arbitrariamente grandes.

Assim,

$$\boxed{\operatorname{Im}(f)=[1,+\infty)}$$

A alternativa D é verdadeira.

5. Analisando a alternativa E

Para que $f(x)=0$, seria necessário que:

$$|x^2-5x-6|+|x|=0$$

Como ambos os módulos são não negativos, a soma só pode ser zero se os dois forem simultaneamente nulos.

Em particular, $|x|=0$ implica $x=0$. Mas:

$$|0^2-5\cdot0-6|=6\neq0$$

Logo, a função não possui raízes reais. A alternativa E é falsa.

Conclusão

A única afirmação correta é a de que a imagem da função é $[1,+\infty)$.

Portanto, a alternativa correta é a D.

🧩 Exercício 8 EFOMMMédio

Cid é fã de esportes aquáticos, e seu amigo Paulo convenceu-o a comprar o mais novo modelo de uma motocicleta aquática, cujo valor à vista é de R$ 100.000,00. Outra opção de compra é dar uma entrada de R$ 49.357,60 e parcelar o restante em cinco parcelas dispostas em uma progressão geométrica. Considere que Cid optou por parcelar a compra e, ao pagar a entrada, foi informado de que a segunda parcela seria de R$ 14.400,00 e a quarta parcela de R$ 2.304,00.

Quanto Cid terá de desembolsar ao total para comprar a motocicleta?

1. Identificando a progressão geométrica

As cinco parcelas formam uma progressão geométrica (PG). Vamos representá-las por:

$$a_1,\ a_2,\ a_3,\ a_4,\ a_5$$

Sabemos que:

$$a_2=14.400$$

e

$$a_4=2.304$$

A razão da PG será representada por $q$.

2. Calculando a razão da PG

O termo geral de uma PG é dado por:

$$a_n=a_1q^{n-1}$$

Assim,

$$a_2=a_1q$$

e

$$a_4=a_1q^3$$

Dividindo a quarta parcela pela segunda, temos:

$$\frac{a_4}{a_2}=\frac{a_1q^3}{a_1q}$$$$\frac{2.304}{14.400}=q^2$$$$q^2=0,16$$

Logo,

$$q=\pm0,4$$

Como as parcelas são valores positivos e estão em uma progressão geométrica, a razão negativa não é possível nesse caso. Portanto,

$$\boxed{q=0,4}$$

3. Determinando as cinco parcelas

Como a segunda parcela vale R$ 14.400,00, podemos calcular a primeira:

$$a_2=a_1q$$$$14.400=a_1\cdot0,4$$$$a_1=\frac{14.400}{0,4}$$$$\boxed{a_1=36.000}$$

Agora, multiplicamos cada parcela pela razão $0,4$ para encontrar a seguinte:

$$a_3=14.400\cdot0,4=5.760$$$$a_4=5.760\cdot0,4=2.304$$$$a_5=2.304\cdot0,4=921,60$$

Assim, as parcelas são:

$$36.000;\ 14.400;\ 5.760;\ 2.304;\ 921,60$$

4. Calculando a soma das parcelas

Somando os cinco pagamentos:

$$S_5=36.000+14.400+5.760+2.304+921,60$$$$\boxed{S_5=59.385,60}$$

Esse é o total pago em parcelas.

5. Somando a entrada

A entrada foi de R$ 49.357,60. Portanto, o desembolso total será:

$$T=49.357,60+59.385,60$$$$\boxed{T=\text{R\$ }108.743,20}$$

Logo, a alternativa correta é a C.

🧩 Exercício 9 EFOMMMédio

Seja $g$ uma função polinomial do primeiro grau, decrescente, tal que

$$g(g(x))=9x+8$$

para todo $x$ real.

Considere a progressão aritmética $2,5,8,\ldots,44$.

Pode-se afirmar que o valor numérico de

$$g(2)+g(5)+g(8)+\cdots+g(44)$$

é:

1. Determinando a função $g$

Como $g$ é uma função polinomial do primeiro grau, podemos escrevê-la na forma:

$$g(x)=ax+b$$

Como a função é decrescente, temos $a<0$.

Sabemos que:

$$g(g(x))=9x+8$$

Substituindo $g(x)=ax+b$:

$$g(g(x))=a(ax+b)+b$$$$g(g(x))=a^2x+ab+b$$

Comparando com $9x+8$, obtemos:

$$a^2=9$$

Logo, $a=\pm3$. Como $g$ é decrescente, escolhemos:

$$a=-3$$

Para determinar $b$, comparamos os termos independentes:

$$ab+b=8$$

Colocando $b$ em evidência:

$$b(a+1)=8$$

Substituindo $a=-3$:

$$b(-3+1)=8$$$$-2b=8$$$$b=-4$$

Portanto,

$$\boxed{g(x)=-3x-4}$$

2. Calculando a soma dos termos da PA

A progressão aritmética é:

$$2,5,8,\ldots,44$$

O primeiro termo é $a_1=2$, o último é $a_n=44$ e a razão é $r=3$.

Vamos determinar a quantidade de termos:

$$a_n=a_1+(n-1)r$$$$44=2+3(n-1)$$$$42=3(n-1)$$$$n-1=14$$$$n=15$$

A soma dos termos da PA é:

$$S_{15}=\frac{15(2+44)}{2}$$$$S_{15}=15\cdot23$$$$\boxed{S_{15}=345}$$

3. Calculando a soma pedida

Como $g(x)=-3x-4$, temos:

$$g(2)+g(5)+\cdots+g(44)$$$$=(-3\cdot2-4)+(-3\cdot5-4)+\cdots+(-3\cdot44-4)$$

Colocando os termos em evidência:

$$=-3(2+5+\cdots+44)-4\cdot15$$

Substituindo a soma da PA:

$$=-3\cdot345-60$$$$=-1035-60$$$$\boxed{-1095}$$

Logo, a alternativa correta é a E.

🧩 Exercício 10 EFOMMMédio

Considere as matrizes

$$A= \begin{pmatrix} 2&0&0\\ 0&4&0\\ 0&0&9 \end{pmatrix} \qquad\text{e}\qquad B= \begin{pmatrix} 2&0&-1\\ 0&6&0\\ 3&0&4 \end{pmatrix}$$

Sejam ainda as matrizes $C$ e $D$, tais que

$$C=B^{-1}AB \qquad\text{e}\qquad D=C^2+C$$

Com base nas informações fornecidas, é correto afirmar que:

1. Utilizando a definição de $C$

Temos:

$$C=B^{-1}AB$$

e

$$D=C^2+C$$

Substituindo a expressão de $C$ em $D$:

$$D=(B^{-1}AB)^2+B^{-1}AB$$

Desenvolvendo o quadrado:

$$D=B^{-1}ABB^{-1}AB+B^{-1}AB$$

Como $BB^{-1}=I$, temos:

$$D=B^{-1}A^2B+B^{-1}AB$$

Colocando $B^{-1}$ à esquerda e $B$ à direita em evidência:

$$\boxed{D=B^{-1}(A^2+A)B}$$

2. Calculando $A^2+A$

A matriz $A$ é diagonal:

$$A= \begin{pmatrix} 2&0&0\\ 0&4&0\\ 0&0&9 \end{pmatrix}$$

Logo,

$$A^2= \begin{pmatrix} 4&0&0\\ 0&16&0\\ 0&0&81 \end{pmatrix}$$

Somando as matrizes:

$$A^2+A= \begin{pmatrix} 4&0&0\\ 0&16&0\\ 0&0&81 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2&0&0\\ 0&4&0\\ 0&0&9 \end{pmatrix}$$

Portanto,

$$A^2+A= \begin{pmatrix} 6&0&0\\ 0&20&0\\ 0&0&90 \end{pmatrix}$$

Assim, podemos escrever:

$$D=B^{-1} \begin{pmatrix} 6&0&0\\ 0&20&0\\ 0&0&90 \end{pmatrix} B$$

3. Calculando o determinante de $D$

Utilizamos a propriedade do determinante de um produto de matrizes:

$$\det(D)= \det(B^{-1})\det(A^2+A)\det(B)$$

Como

$$\det(B^{-1})=\frac{1}{\det(B)}$$

temos:

$$\det(D)= \frac{1}{\det(B)} \det(A^2+A)\det(B)$$

Os determinantes de $B$ e $B^{-1}$ se cancelam:

$$\det(D)=\det(A^2+A)$$

Como $A^2+A$ é uma matriz diagonal, seu determinante é o produto dos elementos da diagonal principal:

$$\det(D)=6\cdot20\cdot90$$$$\det(D)=120\cdot90$$$$\boxed{\det(D)=10800}$$

4. Conclusão

O determinante da matriz $D$ é igual a $10800$.

Logo, a alternativa correta é a B.

🧩 Exercício 12 EFOMMMédio

Assinale a alternativa que representa o valor de $a+b+c-d$, sabendo que o sistema abaixo possui infinitas soluções e que $(-1,-3,1)$ é uma dessas soluções.

$$\begin{cases} ax+y+z=d\\ x+y+cz=-1\\ x+by-z=1 \end{cases}$$

1. Determinando $b$, $c$ e $d$ em função de $a$

Sabemos que o sistema possui a solução:

$$(x,y,z)=(-1,-3,1)$$

Substituindo esses valores na primeira equação:

$$a(-1)+(-3)+1=d$$$$-a-2=d$$

Portanto,

$$\boxed{d=-a-2}$$

Agora, substituindo na segunda equação:

$$-1-3+c(1)=-1$$$$-4+c=-1$$$$\boxed{c=3}$$

Por fim, na terceira equação:

$$-1+b(-3)-1=1$$$$-2-3b=1$$$$-3b=3$$$$\boxed{b=-1}$$

2. Utilizando a condição de infinitas soluções

Um sistema linear com infinitas soluções possui uma matriz dos coeficientes cujo determinante é nulo.

A matriz dos coeficientes do sistema é:

$$A= \begin{pmatrix} a&1&1\\ 1&1&c\\ 1&b&-1 \end{pmatrix}$$

Substituindo $b=-1$ e $c=3$:

$$A= \begin{pmatrix} a&1&1\\ 1&1&3\\ 1&-1&-1 \end{pmatrix}$$

Como o sistema possui infinitas soluções:

$$\det(A)=0$$

Calculando o determinante pela primeira linha:

$$\begin{aligned} \det(A) &=a \begin{vmatrix} 1&3\\ -1&-1 \end{vmatrix} - \begin{vmatrix} 1&3\\ 1&-1 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} 1&1\\ 1&-1 \end{vmatrix} \end{aligned}$$

Calculando os determinantes de ordem 2:

$$\det(A)=a(-1+3)-(-1-3)+(-1-1)$$$$\det(A)=2a+4-2$$$$\det(A)=2a+2$$

Igualando a zero:

$$2a+2=0$$$$\boxed{a=-1}$$

3. Calculando $a+b+c-d$

Já encontramos:

$$a=-1,\qquad b=-1,\qquad c=3$$

Além disso,

$$d=-a-2$$

Substituindo $a=-1$:

$$d=-(-1)-2=-1$$

Portanto,

$$a+b+c-d=-1-1+3-(-1)$$$$=-2+3+1$$$$\boxed{a+b+c-d=2}$$

Logo, a alternativa correta é a E.

🧩 Exercício 13 EFOMMFácil

Assinale a alternativa que contém o valor do limite abaixo.

$$\lim_{x\to0}\frac{|2x-1|-|2x+1|}{x}$$

1. Analisando os módulos

Queremos calcular:

$$\lim_{x\to0}\frac{|2x-1|-|2x+1|}{x}$$

Como $x$ se aproxima de zero, podemos analisar os sinais das expressões dentro dos módulos em uma vizinhança de zero.

Para $x$ próximo de zero:

$$2x-1<0$$

e

$$2x+1>0$$

Assim, podemos retirar os módulos considerando os sinais:

$$|2x-1|=-(2x-1)=1-2x$$$$|2x+1|=2x+1$$

2. Simplificando a expressão

Substituindo essas expressões no limite:

$$\lim_{x\to0}\frac{(1-2x)-(2x+1)}{x}$$

Desenvolvendo o numerador:

$$=\lim_{x\to0}\frac{1-2x-2x-1}{x}$$$$=\lim_{x\to0}\frac{-4x}{x}$$

Para $x\neq0$, podemos simplificar:

$$=\lim_{x\to0}(-4)$$

Portanto,

$$\boxed{-4}$$

Conclusão

Logo, a alternativa correta é a A.

🧩 Exercício 14 EFOMMMédio

Rafael está apreciando a vista da cidade de Curitiba numa roda-gigante, com raio de 10 m, que gira a uma taxa de uma volta a cada dois minutos. A velocidade vertical, em metros/minuto, na qual Rafael está subindo, quando seu assento estiver 16 m acima do nível do solo, será de:

1. Determinando a velocidade angular

A roda-gigante possui raio:

$$R=10\text{ m}$$

Como ela completa uma volta a cada dois minutos, seu período é:

$$T=2\text{ min}$$

A velocidade angular é dada por:

$$\omega=\frac{2\pi}{T}$$

Substituindo:

$$\omega=\frac{2\pi}{2}$$$$\boxed{\omega=\pi\text{ rad/min}}$$

2. Determinando a posição vertical

Como o raio da roda é 10 m e o ponto mais baixo está no nível do solo, o centro da roda está a 10 m de altura.

Quando Rafael está a 16 m do solo, sua altura em relação ao centro é:

$$y=16-10=6\text{ m}$$

Seja $\theta$ o ângulo entre o raio que liga o centro ao assento e a vertical para baixo. A distância vertical em relação ao centro pode ser relacionada ao raio por:

$$\cos\theta=\frac{6}{10}$$

Logo,

$$\cos\theta=\frac35$$

Pela identidade trigonométrica fundamental:

$$\operatorname{sen}^2\theta+\cos^2\theta=1$$$$\operatorname{sen}^2\theta=1-\frac9{25}$$$$\operatorname{sen}^2\theta=\frac{16}{25}$$

Como Rafael está subindo, consideramos o sentido positivo da velocidade vertical. Assim,

$$\operatorname{sen}\theta=\frac45$$

3. Calculando a velocidade vertical

A velocidade vertical corresponde à componente vertical da velocidade tangencial.

A velocidade tangencial é:

$$v=R\omega$$

A componente vertical, em módulo, é:

$$v_y=R\omega\operatorname{sen}\theta$$

Substituindo os valores:

$$v_y=10\cdot\pi\cdot\frac45$$$$v_y=8\pi$$

Portanto, a velocidade vertical de Rafael, enquanto sobe, é:

$$\boxed{v_y=8\pi\text{ m/min}}$$

Conclusão

A alternativa correta é a C.

🧩 Exercício 15 EFOMMFácil

Seja $I$ o valor da integral abaixo.

$$I=\int_0^1 (x^2+1)(x^3+3x)^4\,dx$$

O valor de $30I$ é:

1. Identificando uma substituição

Observe que a expressão dentro da potência é:

$$x^3+3x$$

Sua derivada é:

$$\frac{d}{dx}(x^3+3x)=3x^2+3$$

Colocando o fator $3$ em evidência:

$$3x^2+3=3(x^2+1)$$

Assim, o fator $(x^2+1)$ que aparece no integrando está relacionado à derivada da expressão elevada à quarta potência.

2. Fazendo a substituição

Seja:

$$u=x^3+3x$$

Então:

$$du=3(x^2+1)\,dx$$

Logo,

$$(x^2+1)\,dx=\frac{du}{3}$$

Também precisamos alterar os limites de integração:

• Para $x=0$, temos $u=0^3+3\cdot0=0$.
• Para $x=1$, temos $u=1^3+3\cdot1=4$.

Substituindo na integral:

$$I=\frac13\int_0^4u^4\,du$$

3. Calculando a integral

Utilizando a regra da potência:

$$\int u^4\,du=\frac{u^5}{5}$$

Portanto,

$$I=\frac13\left[\frac{u^5}{5}\right]_0^4$$$$I=\frac1{15}(4^5-0^5)$$

Como $4^5=1024$:

$$\boxed{I=\frac{1024}{15}}$$

4. Calculando $30I$

Multiplicando o resultado por $30$:

$$30I=30\cdot\frac{1024}{15}$$$$30I=2\cdot1024$$$$\boxed{30I=2048}$$

Conclusão

Logo, a alternativa correta é a D.

🧩 Exercício 16 EFOMMMédio

Maximiliano e Tânia são amigos que amam os animais. Eles decidiram oferecer serviços de refeições prontas de alimentação natural crua e cozida para pets.

Para iniciar o negócio, os sócios tomaram emprestados R$ 8.000,00 a juros de 5% ao mês, divididos em dezesseis meses, pelo regime de amortização constante.

O valor da oitava prestação é:

1. Calculando a amortização constante

No Sistema de Amortização Constante (SAC), o valor amortizado da dívida é igual em todas as prestações.

A amortização é calculada dividindo o valor inicial da dívida pelo número de parcelas:

$$A=\frac{8000}{16}$$$$\boxed{A=500}$$

Assim, a cada mês, a dívida é reduzida em R$ 500,00.

2. Calculando o saldo devedor antes da oitava prestação

Antes do pagamento da oitava prestação, já terão sido pagas sete amortizações.

O saldo devedor será:

$$SD_7=8000-7\cdot500$$$$SD_7=8000-3500$$$$\boxed{SD_7=4500}$$

3. Calculando os juros da oitava prestação

Os juros são calculados sobre o saldo devedor existente no início do período.

Como a taxa mensal é de 5%:

$$J_8=4500\cdot0{,}05$$$$\boxed{J_8=225}$$

4. Calculando a oitava prestação

A prestação é a soma da amortização com os juros:

$$P_8=A+J_8$$$$P_8=500+225$$$$\boxed{P_8=\text{R\$ }725{,}00}$$

Conclusão

A alternativa correta é a E) R$ 725,00.

🧩 Exercício 17 EFOMMMédio

Camila é uma motorista atenta aos valores da gasolina nos últimos tempos. Suponha que, em determinado momento, o litro da gasolina custava R$ 7,50 e, com uma redução de 12%, devido ao ICMS, o valor do litro da gasolina baixou. De quanto deve ser o reajuste, aproximadamente, que a agência reguladora de preços deve conceder para anular a redução conquistada?

1. Calculando o preço após a redução

O preço inicial era de R$ 7,50. Com uma redução de 12%, o novo preço será:

$$7{,}50(1-0{,}12)=7{,}50\cdot0{,}88$$$$\boxed{6{,}60}$$

2. Calculando o reajuste necessário

Para anular a redução, o preço precisa voltar a R$ 7,50.

O reajuste percentual deve ser calculado sobre o preço reduzido, isto é, R$ 6,60:

$$\text{Reajuste}=\frac{7{,}50-6{,}60}{6{,}60}\cdot100\%$$$$=\frac{0{,}90}{6{,}60}\cdot100\%$$$$\approx13{,}636\%$$

Portanto, o reajuste necessário é aproximadamente:

$$\boxed{13{,}6\%}$$

Conclusão

Alternativa correta: E.

Observe que uma redução de 12% não é anulada por um aumento de 12%, pois os percentuais são calculados sobre bases diferentes.

🧩 Exercício 18 EFOMMDifícil

Determine o valor da constante $k$, para que a função definida no intervalo $[0,1]$ seja uma função de densidade de probabilidade:

$$f(x)=kx-kx^3$$

A seguir, calcule a probabilidade:

$$p=P(0{,}2<f(x)<0{,}6)$$

Os valores de $k$ e $p$, respectivamente, são:

1. Determinando a constante $k$

Para que $f(x)$ seja uma função densidade de probabilidade, sua integral no intervalo $[0,1]$ deve ser igual a 1:

$$\int_0^1 f(x)\,dx=1$$

Substituindo a função:

$$\int_0^1 (kx-kx^3)\,dx=1$$

Colocando $k$ em evidência:

$$k\int_0^1(x-x^3)\,dx=1$$

Integrando:

$$k\left[\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{4}\right]_0^1=1$$$$k\left(\frac12-\frac14\right)=1$$$$\frac{k}{4}=1$$

Portanto,

$$\boxed{k=4}$$

2. Interpretando a probabilidade pedida

Com $k=4$, temos:

$$f(x)=4x-4x^3$$

A probabilidade solicitada é:

$$P(0{,}2<f(X)<0{,}6)$$

Isso significa que precisamos identificar os valores de $x$ no intervalo $[0,1]$ para os quais a função está entre $0{,}2$ e $0{,}6$ e, em seguida, integrar a densidade nesses intervalos.

A função cresce até $x=\frac{1}{\sqrt3}$ e depois decresce. Por isso, a região que satisfaz a desigualdade é formada por dois intervalos.

3. Encontrando os limites dos intervalos

Resolvemos as equações:

$$4x-4x^3=0{,}2$$

e

$$4x-4x^3=0{,}6$$

Equivalentemente:

$$x-x^3=0{,}05$$

e

$$x-x^3=0{,}15$$

As raízes relevantes em $[0,1]$ são aproximadamente:

$$\begin{aligned} x-x^3=0{,}05 &: \quad x\approx0{,}0501 \quad\text{ou}\quad x\approx0{,}9740\\ x-x^3=0{,}15 &: \quad x\approx0{,}1536 \quad\text{ou}\quad x\approx0{,}9144 \end{aligned}$$

Assim, a desigualdade é satisfeita aproximadamente nos intervalos:

$$(0{,}0501;\,0{,}1536) \quad\text{e}\quad (0{,}9144;\,0{,}9740)$$

4. Calculando a probabilidade

Uma primitiva da densidade é:

$$F(x)=2x^2-x^4$$

Logo,

$$\begin{aligned} p\approx{}& \left[F(x)\right]_{0{,}0501}^{0{,}1536}\\ &+\left[F(x)\right]_{0{,}9144}^{0{,}9740} \end{aligned}$$

Substituindo os limites aproximados, obtemos:

$$\boxed{p\approx0{,}066}$$

Conclusão

O valor da constante é:

$$\boxed{k=4}$$

Entretanto, o valor da probabilidade, seguindo literalmente o enunciado, é aproximadamente $0{,}066$, que não aparece nas alternativas.

É necessário conferir o enunciado ou as alternativas da questão original.

🧩 Exercício 19 EFOMMMédio

Considere um grupo de 40 alunos da EFOMM cuja média de notas na monografia é de 8,6 pontos. A nota média dos alunos de Máquinas é de 9,5 pontos. Por outro lado, a média das notas dos alunos de Náutica é de 8,0 pontos. A quantidade de alunos de Máquinas nesse grupo é:

1. Definindo as incógnitas

Seja $m$ a quantidade de alunos de Máquinas e $n$ a quantidade de alunos de Náutica.

Como o grupo possui 40 alunos:

$$m+n=40$$

Logo,

$$n=40-m$$

2. Utilizando a média ponderada

A média do grupo é 8,6. Portanto, a soma das notas dos 40 alunos é:

$$40\cdot8{,}6=344$$

A soma das notas dos alunos de Máquinas é $9{,}5m$, enquanto a soma das notas dos alunos de Náutica é $8(40-m)$.

Assim:

$$9{,}5m+8(40-m)=344$$

Desenvolvendo:

$$9{,}5m+320-8m=344$$$$1{,}5m=24$$$$m=\frac{24}{1{,}5}$$$$\boxed{m=16}$$

Conclusão

A quantidade de alunos de Máquinas é 16.

Alternativa correta: B.

🧩 Exercício 20 EFOMMMédio

Considere as seguintes afirmações como verdadeiras:

“Se é noite e não chove, então Luiz vai ao futebol.”

“Se não faz frio ou Luiz vai ao futebol, então Paula vai ao futebol.”

Considerando que, em determinada noite, Paula não foi ao futebol, é correto afirmar que, nessa noite:

1. Representando as proposições

Vamos utilizar:

• $N$: é noite;
• $C$: faz frio;
• $L$: Luiz vai ao futebol;
• $P$: Paula vai ao futebol;
• $R$: chove.

A primeira afirmação pode ser escrita como:

$$(N\land\neg R)\Rightarrow L$$

A segunda afirmação é:

$$(\neg C\lor L)\Rightarrow P$$

Sabemos que Paula não foi ao futebol:

$$\neg P$$

2. Aplicando a contrapositiva da segunda afirmação

A contrapositiva de uma implicação é logicamente equivalente à afirmação original.

Temos:

$$(\neg C\lor L)\Rightarrow P$$

Sua contrapositiva é:

$$\neg P\Rightarrow\neg(\neg C\lor L)$$

Como $\neg P$ é verdadeira:

$$\neg(\neg C\lor L)$$

Pela lei de De Morgan:

$$C\land\neg L$$

Portanto, podemos concluir que:

• Fez frio.
• Luiz não foi ao futebol.

3. Utilizando a primeira afirmação

A primeira afirmação diz:

$$(N\land\neg R)\Rightarrow L$$

Sabemos que é noite e que Luiz não foi ao futebol.

Como a implicação é verdadeira, seu antecedente não pode ser verdadeiro. Assim:

$$\neg(N\land\neg R)$$

Pela lei de De Morgan:

$$\neg N\lor R$$

Como o enunciado afirma que estamos em uma noite, $N$ é verdadeiro. Logo, resta:

$$\boxed{R}$$

Portanto, choveu.

Conclusão

Nessa noite, fez frio, Luiz não foi ao futebol e choveu.

Alternativa correta: C.