Semirretas

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🧩 Exercício 1 Fácil

Considere a semirreta $\overrightarrow{AB}$. Qual dos pontos representa a origem dessa semirreta?

🔎 Ideia principal

Na representação de uma semirreta, a primeira letra indica a origem.

Assim, em:

$$\overrightarrow{AB}$$

o ponto $A$ é a origem.

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✏️ Passo 1 — Identificar a primeira letra

Temos:

$$\overrightarrow{AB}$$

A primeira letra é:

$$A$$

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✏️ Passo 2 — Interpretar a segunda letra

A segunda letra, $B$, indica um ponto que determina o sentido da semirreta.

Podemos representar:

A •--------------------------→ B

A semirreta começa em $A$ e segue na direção de $B$.

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🎯 Resultado

$$\boxed{A}$$

A origem da semirreta $\overrightarrow{AB}$ é o ponto $A$.

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💡 Insight

Uma regra simples para memorizar:

Na semirreta $\overrightarrow{AB}$, a primeira letra é a origem.

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🧩 Exercício 2 Fácil

Considere os pontos $A$ e $B$ sobre uma mesma reta. Explique a diferença entre as semirretas $\overrightarrow{AB}$ e $\overrightarrow{BA}$.

🔎 Ideia principal

A ordem das letras é importante na representação de uma semirreta.

A primeira letra indica a origem e a segunda indica o sentido.

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✏️ Passo 1 — Analisar $\overrightarrow{AB}$

Na semirreta:

$$\overrightarrow{AB}$$

a origem é $A$.

Ela parte de $A$ e segue na direção de $B$:

A •---------------------------→ B

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✏️ Passo 2 — Analisar $\overrightarrow{BA}$

Na semirreta:

$$\overrightarrow{BA}$$

a origem é $B$.

Ela parte de $B$ e segue na direção de $A$:

A ←---------------------------• B

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✏️ Passo 3 — Comparar

Temos:

$$\overrightarrow{AB}\neq\overrightarrow{BA}$$

As origens são diferentes e os sentidos também são diferentes.

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🎯 Resultado

$$\boxed{\overrightarrow{AB}\text{ e }\overrightarrow{BA}\text{ são semirretas diferentes}}$$

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💡 Insight

Trocar a ordem das letras de uma semirreta muda sua origem.

Por isso:

$$\boxed{\overrightarrow{AB}\neq\overrightarrow{BA}}$$

em geral.

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🧩 Exercício 3 Médio

Considere três pontos colineares na ordem $B$, $A$ e $C$:

B •----------------• A----------------• C

As semirretas $\overrightarrow{AB}$ e $\overrightarrow{AC}$ são opostas? Justifique.

🔎 Ideia principal

Duas semirretas são opostas quando:

• possuem a mesma origem;
• estão sobre a mesma reta;
• possuem sentidos contrários.

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✏️ Passo 1 — Identificar as origens

Considere:

$$\overrightarrow{AB}$$

e:

$$\overrightarrow{AC}$$

As duas começam no ponto $A$.

Portanto, possuem a mesma origem.

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✏️ Passo 2 — Analisar os sentidos

A semirreta $\overrightarrow{AB}$ segue de $A$ em direção a $B$:

B ←----------------• A

A semirreta $\overrightarrow{AC}$ segue de $A$ em direção a $C$:

A •----------------→ C

Os sentidos são contrários.

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✏️ Passo 3 — Verificar a reta

Os pontos $B$, $A$ e $C$ são colineares.

Portanto, as duas semirretas pertencem à mesma reta.

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🎯 Resultado

Todas as condições foram satisfeitas.

Logo:

$$\boxed{\overrightarrow{AB}\text{ e }\overrightarrow{AC}\text{ são semirretas opostas}}$$

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💡 Insight

Para reconhecer semirretas opostas, procure três características:

$$\boxed{\text{mesma origem + mesma reta + sentidos contrários}}$$

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🧩 Exercício 4 Médio

Considere os pontos colineares $A$, $B$ e $C$, nessa ordem:

A •---------• B---------• C

As semirretas $\overrightarrow{AB}$ e $\overrightarrow{AC}$ representam a mesma semirreta? Justifique.

🔎 Ideia principal

Duas semirretas podem ser coincidentes quando possuem a mesma origem e seguem exatamente na mesma direção.

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✏️ Passo 1 — Observar as origens

Temos:

$$\overrightarrow{AB}$$

e:

$$\overrightarrow{AC}$$

As duas possuem origem em $A$.

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✏️ Passo 2 — Observar os sentidos

Os pontos estão organizados assim:

A •---------• B---------• C

Tanto $B$ quanto $C$ estão na mesma direção a partir de $A$.

Portanto, as duas semirretas seguem para o mesmo lado.

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✏️ Passo 3 — Comparar

A semirreta $\overrightarrow{AB}$ continua indefinidamente depois de $B$.

Como $C$ está nessa mesma direção, $\overrightarrow{AC}$ também representa exatamente a mesma região da reta a partir de $A$.

Assim:

$$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}$$

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🎯 Resultado

$$\boxed{\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}}$$

As duas semirretas são coincidentes.

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💡 Insight

Não é necessário que o segundo ponto seja o mesmo.

Se dois pontos estão na mesma direção a partir da mesma origem, as semirretas podem coincidir.

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🧩 Exercício 5 Médio

Duas semirretas $\overrightarrow{AB}$ e $\overrightarrow{AC}$ possuem a mesma origem $A$. Sabendo que $B$, $A$ e $C$ não são colineares, essas semirretas podem ser classificadas como opostas?

🔎 Ideia principal

Para que duas semirretas sejam opostas, elas precisam estar sobre a mesma reta.

A informação de que possuem a mesma origem não é suficiente.

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✏️ Passo 1 — Identificar a origem

As duas semirretas são:

$$\overrightarrow{AB}$$

e:

$$\overrightarrow{AC}$$

Ambas possuem origem em $A$.

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✏️ Passo 2 — Verificar a colinearidade

O problema informa que $B$, $A$ e $C$ não são colineares.

Portanto, os pontos não pertencem à mesma reta.

Assim, as semirretas estão em direções diferentes.

Podemos imaginar:

B •
   \
    \
     A •----------------→ C

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✏️ Passo 3 — Aplicar a definição

Para serem opostas, seria necessário que:

1. tivessem a mesma origem;
2. estivessem na mesma reta;
3. tivessem sentidos contrários.

A primeira condição é satisfeita.

Mas a segunda não é.

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🎯 Resultado

$$\boxed{\text{Não}}$$

As semirretas não são opostas.

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💡 Insight

Ter a mesma origem não significa que duas semirretas sejam opostas.

Para serem opostas, elas precisam estar na mesma reta e seguir em sentidos contrários.

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🧩 Exercício 6 Médio

Considere duas semirretas $\overrightarrow{AB}$ e $\overrightarrow{AC}$ com a mesma origem $A$. Elas formam um ângulo de $60^\circ$. Qual é a medida do ângulo formado pelas semirretas?

🔎 Ideia principal

Um ângulo é formado por duas semirretas que possuem a mesma origem.

Se:

$$\overrightarrow{AB}$$

e:

$$\overrightarrow{AC}$$

possuem origem em $A$, elas podem formar o ângulo:

$$\angle BAC$$

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✏️ Passo 1 — Identificar o vértice

As duas semirretas começam no ponto $A$.

Logo, $A$ é o vértice:

$$\angle BAC$$

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✏️ Passo 2 — Utilizar a informação fornecida

O problema informa que as semirretas formam um ângulo de:

$$60^\circ$$

Portanto, não é necessário realizar nenhum cálculo adicional.

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🎯 Resultado

$$\boxed{\angle BAC=60^\circ}$$

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💡 Insight

As duas semirretas que formam um ângulo têm a mesma origem.

Por isso, na notação:

$$\angle BAC$$

a letra central $A$ indica o vértice.

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📚 Conceitos trabalhados

Neste conjunto de exercícios, utilizamos:

• origem de uma semirreta;
• representação $\overrightarrow{AB}$;
• importância da ordem das letras;
• semirretas opostas;
• semirretas coincidentes;
• colinearidade;
• formação de ângulos por duas semirretas.