Ponto, Reta e Plano

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🧩 Exercício 1 Fácil

Considere os pontos $A$, $B$ e $C$ representados abaixo:

A •---------• B---------• C

Os pontos $A$, $B$ e $C$ são colineares ou não colineares? Justifique.

🔎 Ideia principal

Pontos são chamados de colineares quando pertencem à mesma reta.

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✏️ Passo 1 — Observar a representação

Os três pontos estão sobre uma mesma linha reta:

A •---------• B---------• C

Portanto, existe uma única reta que passa pelos três pontos.

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✏️ Passo 2 — Classificação

Como $A$, $B$ e $C$ pertencem à mesma reta, eles são colineares.

Podemos escrever:

$$A,B,C \in r$$

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🎯 Resultado

$$\boxed{\text{A, B e C são colineares}}$$

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💡 Insight

A palavra colinear pode ser entendida como:

"pertencente à mesma linha."

Assim, sempre que vários pontos estiverem sobre uma mesma reta, eles são colineares.

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🧩 Exercício 2 Fácil

Considere dois pontos distintos $A$ e $B$. Quantas retas distintas podem passar simultaneamente pelos dois pontos?

🔎 Ideia principal

Existe uma propriedade fundamental da Geometria:

Por dois pontos distintos passa uma única reta.

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✏️ Passo 1 — Considerar os pontos

Temos:

$$A \neq B$$

Como os pontos são distintos, podemos traçar uma reta passando pelos dois:

A •---------------------------• B

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✏️ Passo 2 — Determinar a reta

A reta que passa pelos pontos $A$ e $B$ pode ser representada por:

$$\overleftrightarrow{AB}$$

Não existe uma segunda reta diferente que passe simultaneamente pelos mesmos dois pontos.

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🎯 Resultado

$$\boxed{1\text{ reta}}$$

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💡 Insight

Essa propriedade é uma das bases da Geometria:

$$\boxed{\text{Dois pontos distintos determinam uma única reta}}$$

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🧩 Exercício 3 Fácil

Considere o ponto $A$ pertencente à reta $r$.

Como podemos representar matematicamente essa relação?

🔎 Ideia principal

Para indicar que um ponto pertence a uma reta, utilizamos o símbolo:

$$\in$$

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✏️ Passo 1 — Identificar o ponto

O ponto considerado é:

$$A$$

E a reta é:

$$r$$

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✏️ Passo 2 — Utilizar o símbolo de pertencimento

Como $A$ está sobre a reta $r$, escrevemos:

$$A \in r$$

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🎯 Resultado

$$\boxed{A \in r}$$

Lemos:

"A pertence à reta r."

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💡 Insight

Não devemos confundir os símbolos:

$$A \in r$$

significa que $A$ pertence a $r$.

Já:

$$A \notin r$$

significa que $A$ não pertence a $r$.

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🧩 Exercício 4 Médio

Considere três pontos não colineares $A$, $B$ e $C$. Quantos planos distintos passam simultaneamente pelos três pontos?

🔎 Ideia principal

Quando três pontos não pertencem à mesma reta, eles determinam um único plano.

Essa é uma propriedade fundamental da Geometria Espacial.

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✏️ Passo 1 — Identificar a condição

Os pontos são não colineares.

Isso significa que não existe uma única reta contendo simultaneamente $A$, $B$ e $C$.

Podemos representar:

        A •
       /   \
      /     \
     •-------•
     B       C

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✏️ Passo 2 — Determinar o plano

Três pontos não colineares determinam um único plano.

Se chamarmos esse plano de $\alpha$, podemos escrever:

$$A,B,C \in \alpha$$

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🎯 Resultado

$$\boxed{1\text{ plano}}$$

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💡 Insight

Observe a diferença:

• Dois pontos distintos → determinam uma única reta.
• Três pontos não colineares → determinam um único plano.

Essas duas propriedades aparecem constantemente na Geometria.

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🧩 Exercício 5 Médio

Considere os pontos $A$, $B$ e $C$ sobre uma mesma reta, com $B$ entre $A$ e $C$.

Sabendo que:

$$AB = 7\text{ cm}$$

e:

$$BC = 12\text{ cm}$$

determine o comprimento de $AC$.

🔎 Ideia principal

Quando um ponto está entre dois outros pontos de um mesmo segmento, podemos utilizar a adição dos segmentos.

Temos:

A •---------• B----------------• C
      7 cm          12 cm

Como $B$ está entre $A$ e $C$:

$$AC = AB + BC$$

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✏️ Passo 1 — Substituir os valores

Sabemos que:

$$AB = 7$$

e:

$$BC = 12$$

Então:

$$AC = 7 + 12$$

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✏️ Passo 2 — Calcular

$$AC = 19$$

Como as medidas estão em centímetros:

$$AC = 19\text{ cm}$$

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🎯 Resultado

$$\boxed{AC=19\text{ cm}}$$

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💡 Insight

Quando um ponto $B$ está entre $A$ e $C$, vale a relação:

$$\boxed{AC=AB+BC}$$

Essa propriedade será muito importante quando estudarmos segmentos de reta, ponto médio e distância entre pontos.

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📚 Conceitos trabalhados

Neste conjunto de exercícios, utilizamos:

• pontos colineares;
• pontos não colineares;
• reta determinada por dois pontos;
• relação de pertencimento entre ponto e reta;
• plano determinado por três pontos não colineares;
• adição de segmentos.