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Regra do Produto

Nesta lista, vamos praticar a regra do produto, utilizada para calcular a derivada de uma função escrita como o produto de duas ou mais funções.

A regra fundamental é:

(fg)′=f′g+fg′.(fg)'=f'g+fg'.

Em cada questão, procure identificar claramente quais são as funções que estão sendo multiplicadas antes de aplicar a regra.

🧩 Exercício 1 Fácil

Calcule a derivada da função

f(x)=x(x2+3).f(x)=x(x^2+3).

Identificamos:

u(x)=xu(x)=x

e

v(x)=x2+3.v(x)=x^2+3.

Pela regra do produto,

f′(x)=u′(x)v(x)+u(x)v′(x).f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).

Como

u′(x)=1u'(x)=1

e

v′(x)=2x,v'(x)=2x,

temos

f′(x)=1(x2+3)+x(2x).f'(x)=1(x^2+3)+x(2x).

Portanto,

f′(x)=x2+3+2x2f'(x)=x^2+3+2x^2

e

f′(x)=3x2+3.\boxed{f'(x)=3x^2+3}.
🧩 Exercício 2 Fácil

Calcule a derivada da função

f(x)=(2x+1)(x2−4).f(x)=(2x+1)(x^2-4).

Tomamos

u(x)=2x+1u(x)=2x+1

e

v(x)=x2−4.v(x)=x^2-4.

Então,

u′(x)=2u'(x)=2

e

v′(x)=2x.v'(x)=2x.

Aplicando a regra do produto:

f′(x)=2(x2−4)+(2x+1)(2x).f'(x)=2(x^2-4)+(2x+1)(2x).

Desenvolvendo:

f′(x)=2x2−8+4x2+2x.f'(x)=2x^2-8+4x^2+2x.

Logo,

f′(x)=6x2+2x−8.\boxed{f'(x)=6x^2+2x-8}.
🧩 Exercício 3 Fácil

Calcule a derivada da função

f(x)=x3(2x+5).f(x)=x^3(2x+5).

Seja

u(x)=x3u(x)=x^3

e

v(x)=2x+5.v(x)=2x+5.

Temos:

u′(x)=3x2u'(x)=3x^2

e

v′(x)=2.v'(x)=2.

Aplicando a regra do produto:

f′(x)=3x2(2x+5)+x3(2).f'(x)=3x^2(2x+5)+x^3(2).

Então,

f′(x)=6x3+15x2+2x3.f'(x)=6x^3+15x^2+2x^3.

Assim,

f′(x)=8x3+15x2.\boxed{f'(x)=8x^3+15x^2}.
🧩 Exercício 4 Fácil

Considere

f(x)=(x2+1)(x3−2).f(x)=(x^2+1)(x^3-2).

A derivada de ff é:

Temos

u(x)=x2+1u(x)=x^2+1

e

v(x)=x3−2.v(x)=x^3-2.

Logo,

u′(x)=2xu'(x)=2x

e

v′(x)=3x2.v'(x)=3x^2.

Pela regra do produto:

f′(x)=2x(x3−2)+(x2+1)(3x2).f'(x)=2x(x^3-2)+(x^2+1)(3x^2).

Desenvolvendo:

f′(x)=2x4−4x+3x4+3x2.f'(x)=2x^4-4x+3x^4+3x^2.

Portanto,

f′(x)=5x4+3x2−4x.\boxed{f'(x)=5x^4+3x^2-4x}.
🧩 Exercício 5 Médio

Considere

f(x)=x2(x2+2x+1).f(x)=x^2(x^2+2x+1).

Determine f′(1)f'(1).

Definimos

u(x)=x2u(x)=x^2

e

v(x)=x2+2x+1.v(x)=x^2+2x+1.

Suas derivadas são:

u′(x)=2xu'(x)=2x

e

v′(x)=2x+2.v'(x)=2x+2.

Pela regra do produto:

f′(x)=2x(x2+2x+1)+x2(2x+2).f'(x)=2x(x^2+2x+1)+x^2(2x+2).

Em x=1x=1:

f′(1)=2(1+2+1)+1(2+2).f'(1)=2(1+2+1)+1(2+2).

Logo,

f′(1)=2(4)+4=12.f'(1)=2(4)+4=12.

Portanto,

f′(1)=12.\boxed{f'(1)=12}.
🧩 Exercício 6 Médio

Calcule a derivada de

f(x)=(x2−3x)(x3+2).f(x)=(x^2-3x)(x^3+2).

Tomamos

u(x)=x2−3xu(x)=x^2-3x

e

v(x)=x3+2.v(x)=x^3+2.

Então,

u′(x)=2x−3u'(x)=2x-3

e

v′(x)=3x2.v'(x)=3x^2.

Aplicando a regra do produto:

f′(x)=(2x−3)(x3+2)+(x2−3x)(3x2).f'(x)=(2x-3)(x^3+2)+(x^2-3x)(3x^2).

Desenvolvendo o primeiro produto:

(2x−3)(x3+2)=2x4−3x3+4x−6.(2x-3)(x^3+2) = 2x^4-3x^3+4x-6.

O segundo produto é:

(x2−3x)(3x2)=3x4−9x3.(x^2-3x)(3x^2) = 3x^4-9x^3.

Somando:

f′(x)=5x4−12x3+4x−6.f'(x)=5x^4-12x^3+4x-6.

Portanto, a alternativa anterior não corresponde a esse resultado. A expressão correta é:

f′(x)=5x4−12x3+4x−6.\boxed{f'(x)=5x^4-12x^3+4x-6}.
🧩 Exercício 7 Médio

Considere a função

f(x)=x2ex.f(x)=x^2e^x.

Determine f′(x)f'(x).

A função é o produto de

u(x)=x2u(x)=x^2

e

v(x)=ex.v(x)=e^x.

Pela regra do produto,

f′(x)=u′(x)v(x)+u(x)v′(x).f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).

Calculamos:

u′(x)=2xu'(x)=2x

e

v′(x)=ex.v'(x)=e^x.

Portanto,

f′(x)=2xex+x2ex.f'(x)=2xe^x+x^2e^x.

Podemos colocar exe^x em evidência:

f′(x)=ex(x2+2x).\boxed{f'(x)=e^x(x^2+2x)}.

Assim, a primeira alternativa apresenta a forma equivalente correta.

🧩 Exercício 8 Médio

Considere

f(x)=xsen⁡x.f(x)=x\operatorname{sen}x.

Determine f′(π2)f'\left(\frac{\pi}{2}\right).

Temos o produto

f(x)=xsen⁡x.f(x)=x\operatorname{sen}x.

Definimos

u(x)=xu(x)=x

e

v(x)=sen⁡x.v(x)=\operatorname{sen}x.

Então,

u′(x)=1u'(x)=1

e

v′(x)=cos⁡x.v'(x)=\cos x.

Aplicando a regra do produto:

f′(x)=sen⁡x+xcos⁡x.f'(x) = \operatorname{sen}x+x\cos x.

Agora fazemos

x=π2.x=\frac{\pi}{2}.

Como

sen⁡(π2)=1\operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{2}\right)=1

e

cos⁡(π2)=0,\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)=0,

obtemos

f′(π2)=1+π2(0).f'\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1+\frac{\pi}{2}(0).

Logo,

f′(π2)=1.\boxed{f'\left(\frac{\pi}{2}\right)=1}.
🧩 Exercício 9 Médio

Considere a função

f(x)=xln⁡x.f(x)=x\ln x.

Determine f′(e)f'(e).

A função é o produto de

u(x)=xu(x)=x

e

v(x)=ln⁡x.v(x)=\ln x.

Temos:

u′(x)=1u'(x)=1

e

v′(x)=1x.v'(x)=\frac{1}{x}.

Aplicando a regra do produto:

f′(x)=1⋅ln⁡x+x⋅1x.f'(x) = 1\cdot\ln x+x\cdot\frac{1}{x}.

Portanto,

f′(x)=ln⁡x+1.f'(x)=\ln x+1.

Para x=ex=e:

f′(e)=ln⁡e+1.f'(e)=\ln e+1.

Como

ln⁡e=1,\ln e=1,

obtemos

f′(e)=2.\boxed{f'(e)=2}.
🧩 Exercício 10 Médio

Considere

f(x)=exsen⁡x.f(x)=e^x\operatorname{sen}x.

Determine f′(π4)f'\left(\frac{\pi}{4}\right).

Temos

u(x)=exu(x)=e^x

e

v(x)=sen⁡x.v(x)=\operatorname{sen}x.

Suas derivadas são:

u′(x)=exu'(x)=e^x

e

v′(x)=cos⁡x.v'(x)=\cos x.

Pela regra do produto:

f′(x)=exsen⁡x+excos⁡x.f'(x) = e^x\operatorname{sen}x + e^x\cos x.

Colocando exe^x em evidência:

f′(x)=ex(sen⁡x+cos⁡x).f'(x) = e^x(\operatorname{sen}x+\cos x).

Agora fazemos

x=π4.x=\frac{\pi}{4}.

Sabemos que

sen⁡(π4)=cos⁡(π4)=22.\operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{4}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}.

Logo,

f′(π4)=eπ4(22+22).f'\left(\frac{\pi}{4}\right) = e^{\frac{\pi}{4}} \left( \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \right).

Assim,

f′(π4)=2eπ4.\boxed{ f'\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2}e^{\frac{\pi}{4}} }.
🧩 Exercício 11 Médio

Considere

f(x)=xcos⁡x.f(x)=x\cos x.

Determine f′(π)f'(\pi).

Identificamos

u(x)=xu(x)=x

e

v(x)=cos⁡x.v(x)=\cos x.

Então,

u′(x)=1u'(x)=1

e

v′(x)=−sen⁡x.v'(x)=-\operatorname{sen}x.

Aplicando a regra do produto:

f′(x)=cos⁡x−xsen⁡x.f'(x) = \cos x-x\operatorname{sen}x.

Para x=πx=\pi:

f′(π)=cos⁡π−πsen⁡π.f'(\pi) = \cos\pi-\pi\operatorname{sen}\pi.

Como

cos⁡π=−1\cos\pi=-1

e

sen⁡π=0,\operatorname{sen}\pi=0,

temos

f′(π)=−1.f'(\pi)=-1.

Portanto,

f′(π)=−1.\boxed{f'(\pi)=-1}.
🧩 Exercício 12 Médio

Considere

f(x)=(x2+1)e2x.f(x)=(x^2+1)e^{2x}.

Determine f′(0)f'(0).

Temos

u(x)=x2+1u(x)=x^2+1

e

v(x)=e2x.v(x)=e^{2x}.

As derivadas são:

u′(x)=2xu'(x)=2x

e, pela regra da cadeia,

v′(x)=2e2x.v'(x)=2e^{2x}.

Aplicando a regra do produto:

f′(x)=2xe2x+(x2+1)2e2x.f'(x) = 2xe^{2x} + (x^2+1)2e^{2x}.

Para x=0x=0:

f′(0)=2(0)e0+(02+1)2e0.f'(0) = 2(0)e^0 + (0^2+1)2e^0.

Como e0=1e^0=1,

f′(0)=0+2.f'(0)=0+2.

Logo,

f′(0)=2.\boxed{f'(0)=2}.
🧩 Exercício 13 Médio

Considere

f(x)=ln⁡xsen⁡x.f(x)=\ln x\operatorname{sen}x.

Determine f′(π2)f'\left(\frac{\pi}{2}\right).

Definimos

u(x)=ln⁡xu(x)=\ln x

e

v(x)=sen⁡x.v(x)=\operatorname{sen}x.

Então,

u′(x)=1xu'(x)=\frac{1}{x}

e

v′(x)=cos⁡x.v'(x)=\cos x.

Pela regra do produto:

f′(x)=1xsen⁡x+ln⁡xcos⁡x.f'(x) = \frac{1}{x}\operatorname{sen}x + \ln x\cos x.

Agora fazemos

x=π2.x=\frac{\pi}{2}.

Assim,

f′(π2)=1π2sen⁡(π2)+ln⁡(π2)cos⁡(π2).f'\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{1}{\frac{\pi}{2}} \operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{2}\right) + \ln\left(\frac{\pi}{2}\right) \cos\left(\frac{\pi}{2}\right).

Como

sen⁡(π2)=1\operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{2}\right)=1

e

cos⁡(π2)=0,\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)=0,

temos

f′(π2)=2π.f'\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{2}{\pi}.

Portanto,

f′(π2)=2π.\boxed{ f'\left(\frac{\pi}{2}\right)=\frac{2}{\pi} }.
🧩 Exercício 14 Médio

Considere

f(x)=excos⁡x.f(x)=e^x\cos x.

Determine f′(π4)f'\left(\frac{\pi}{4}\right).

Temos

u(x)=exu(x)=e^x

e

v(x)=cos⁡x.v(x)=\cos x.

Logo,

u′(x)=exu'(x)=e^x

e

v′(x)=−sen⁡x.v'(x)=-\operatorname{sen}x.

Pela regra do produto:

f′(x)=excos⁡x−exsen⁡x.f'(x) = e^x\cos x - e^x\operatorname{sen}x.

Colocando exe^x em evidência:

f′(x)=ex(cos⁡x−sen⁡x).f'(x) = e^x(\cos x-\operatorname{sen}x).

Para

x=π4,x=\frac{\pi}{4},

temos

cos⁡(π4)=sen⁡(π4).\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{4}\right).

Portanto,

cos⁡(π4)−sen⁡(π4)=0.\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) - \operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{4}\right) =0.

Assim,

f′(π4)=0.\boxed{ f'\left(\frac{\pi}{4}\right)=0 }.
🧩 Exercício 15 Médio

Considere a função

f(x)=xexsen⁡x.f(x)=xe^x\operatorname{sen}x.

Qual é a expressão correta para f′(x)f'(x)?

Temos três fatores:

f(x)=x⋅ex⋅sen⁡x.f(x)=x\cdot e^x\cdot\operatorname{sen}x.

Podemos primeiro considerar

g(x)=xex.g(x)=xe^x.

Aplicando a regra do produto:

g′(x)=1⋅ex+x⋅ex.g'(x) = 1\cdot e^x+x\cdot e^x.

Logo,

g′(x)=ex(1+x).g'(x)=e^x(1+x).

Agora escrevemos

f(x)=g(x)sen⁡x.f(x)=g(x)\operatorname{sen}x.

Aplicando novamente a regra do produto:

f′(x)=g′(x)sen⁡x+g(x)cos⁡x.f'(x) = g'(x)\operatorname{sen}x + g(x)\cos x.

Substituindo g(x)g(x) e g′(x)g'(x):

f′(x)=ex(1+x)sen⁡x+xexcos⁡x.f'(x) = e^x(1+x)\operatorname{sen}x + xe^x\cos x.

Colocando exe^x em evidência:

f′(x)=ex[(x+1)sen⁡x+xcos⁡x].f'(x) = e^x \left[ (x+1)\operatorname{sen}x+x\cos x \right].

Portanto,

f′(x)=ex[(x+1)sen⁡x+xcos⁡x].\boxed{ f'(x) = e^x[(x+1)\operatorname{sen}x+x\cos x] }.