Derivadas Básicas

Esta lista reúne exercícios sobre as primeiras regras de derivação estudadas.

As questões começam com aplicações diretas das regras básicas e avançam gradualmente para expressões que exigem a combinação de diferentes regras.

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🧩 Exercício 1 Fácil

Considere a função

$$f(x)=7.$$

Determine $f'(x)$.

A derivada de uma constante é igual a zero.

Portanto:

$$\boxed{f'(x)=0}$$

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🧩 Exercício 2 Fácil

Considere

$$f(x)=x^5.$$

Determine $f'(x)$.

Aplicamos a regra da potência:

$$\frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}.$$

Como $n=5$:

$$f'(x)=5x^{5-1}.$$

Logo:

$$\boxed{f'(x)=5x^4}$$

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🧩 Exercício 3 Fácil

Determine a derivada da função

$$f(x)=3x^4.$$

O número $3$ é uma constante multiplicativa.

Aplicamos a regra da potência:

$$f'(x)=3\cdot4x^{4-1}.$$

Portanto:

$$\boxed{f'(x)=12x^3}$$

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🧩 Exercício 4 Fácil

Considere

$$f(x)=x^7-4x^3.$$

Determine $f'(x)$.

Derivamos cada termo separadamente.

Para o primeiro termo:

$$\frac{d}{dx}(x^7)=7x^6.$$

Para o segundo:

$$\frac{d}{dx}(-4x^3) = -4\cdot3x^2 = -12x^2.$$

Logo:

$$\boxed{ f'(x)=7x^6-12x^2 }$$

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🧩 Exercício 5 Fácil

Determine a derivada de

$$f(x)=2x^6-5x^2+8.$$

Derivamos cada termo:

$$\frac{d}{dx}(2x^6)=12x^5,$$$$\frac{d}{dx}(-5x^2)=-10x$$

e

$$\frac{d}{dx}(8)=0.$$

Portanto:

$$\boxed{ f'(x)=12x^5-10x }$$

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🧩 Exercício 6 Média

Considere

$$f(x)=4x^5-3x^4+2x^2-7x+9.$$

Determine $f'(x)$.

Derivamos termo por termo:

$$\frac{d}{dx}(4x^5)=20x^4,$$$$\frac{d}{dx}(-3x^4)=-12x^3,$$$$\frac{d}{dx}(2x^2)=4x,$$$$\frac{d}{dx}(-7x)=-7$$

e

$$\frac{d}{dx}(9)=0.$$

Logo:

$$\boxed{ f'(x)=20x^4-12x^3+4x-7 }$$

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🧩 Exercício 7 Média

Considere

$$f(x)=\frac{1}{x^3}.$$

Determine $f'(x)$.

Primeiro escrevemos a função como uma potência de expoente negativo:

$$f(x)=x^{-3}.$$

Aplicando a regra da potência:

$$f'(x)=-3x^{-4}.$$

Como

$$x^{-4}=\frac{1}{x^4},$$

temos:

$$\boxed{ f'(x)=-\frac{3}{x^4} }$$

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🧩 Exercício 8 Média

Considere

$$f(x)=\sqrt{x}.$$

Determine $f'(x)$.

Escrevemos a raiz como uma potência:

$$\sqrt{x}=x^{1/2}.$$

Aplicando a regra da potência:

$$f'(x) = \frac12x^{-1/2}.$$

Como

$$x^{-1/2}=\frac{1}{\sqrt{x}},$$

obtemos:

$$\boxed{ f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}} }$$

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🧩 Exercício 9 Média

Considere

$$f(x)=3x^4-2x^3+x^2-5.$$

Determine $f'(2)$.

Primeiro calculamos a derivada:

$$f'(x) = 12x^3-6x^2+2x.$$

Agora substituímos $x=2$:

$$f'(2) = 12(2)^3-6(2)^2+2(2).$$

Então:

$$f'(2) = 12(8)-6(4)+4.$$

Logo:

$$f'(2)=96-24+4.$$

Portanto:

$$\boxed{ f'(2)=76 }$$

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🧩 Exercício 10 Média

Considere

$$f(x)=5x^3-4x^2+7x-1.$$

Determine o valor de $f'(1)$.

Derivando:

$$f'(x)=15x^2-8x+7.$$

Agora fazemos $x=1$:

$$f'(1)=15-8+7.$$

Logo:

$$\boxed{ f'(1)=14 }$$

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🧩 Exercício 11 Fácil

Calcule a derivada da função

$$f(x)=x(x^2+3).$$

Identificamos:

$$u(x)=x$$

e

$$v(x)=x^2+3.$$

Pela regra do produto,

$$f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).$$

Como

$$u'(x)=1$$

e

$$v'(x)=2x,$$

temos

$$f'(x)=1(x^2+3)+x(2x).$$

Portanto,

$$f'(x)=x^2+3+2x^2$$

e

$$\boxed{f'(x)=3x^2+3}.$$

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🧩 Exercício 12 Média

Considere

$$f(x)=2x^5-5x^4+4x^3.$$

Determine $f'(1)$.

Derivando termo por termo:

$$f'(x) = 10x^4-20x^3+12x^2.$$

Para $x=1$:

$$f'(1)=10-20+12.$$

Logo:

$$\boxed{ f'(1)=2 }$$

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🧩 Exercício 13 Difícil

Considere

$$f(x)=x^3(x^2-2x+1).$$

Determine $f'(x)$ expandindo primeiro a expressão.

Primeiro expandimos:

$$f(x) = x^3(x^2-2x+1).$$

Distribuindo:

$$f(x)=x^5-2x^4+x^3.$$

Agora derivamos termo por termo:

$$f'(x) = 5x^4-8x^3+3x^2.$$

Portanto:

$$\boxed{ f'(x)=5x^4-8x^3+3x^2 }$$

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🧩 Exercício 14 Difícil

Considere

$$f(x)=\frac{3}{x^2}+2x^3-5x.$$

Determine $f'(x)$.

Primeiro escrevemos:

$$\frac{3}{x^2}=3x^{-2}.$$

Assim:

$$f(x)=3x^{-2}+2x^3-5x.$$

Aplicando a regra da potência:

$$f'(x) = -6x^{-3}+6x^2-5.$$

Como

$$x^{-3}=\frac{1}{x^3},$$

temos:

$$\boxed{ f'(x) = -\frac{6}{x^3}+6x^2-5 }$$

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🧩 Exercício 15 Difícil

Considere

$$f(x)=4x^3-3x^2+2x-7.$$

Sabe-se que a reta tangente ao gráfico de $f$ no ponto de abscissa $x=1$ possui coeficiente angular $m$.

Determine $m$.

O coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de uma função em $x=a$ é dado por:

$$m=f'(a).$$

Primeiro calculamos a derivada:

$$f'(x)=12x^2-6x+2.$$

Como queremos o coeficiente angular no ponto $x=1$:

$$m=f'(1).$$

Então:

$$m=12(1)^2-6(1)+2.$$

Logo:

$$m=12-6+2=8.$$

Portanto:

$$\boxed{m=8}$$

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Resumo da lista

Nesta lista trabalhamos:

• derivada de constantes;
• regra da potência;
• múltiplos constantes;
• soma e diferença;
• expoentes negativos;
• raízes;
• derivadas de polinômios;
• derivada em um ponto;
• coeficiente angular da reta tangente.

O objetivo é dominar essas regras antes de avançar para combinações mais elaboradas.