Prova discursiva de Matemática do vestibular do ITA 2027 2ª Fase resolvida.

Atenção: as respostas apresentadas nesta página são um gabarito extraoficial, elaborado a partir da resolução das questões. O gabarito oficial do ITA será divulgado posteriormente pela instituição.

🧩 Exercício 1 ITA 2027 — Prova discursivamédio

Descreva todas as progressões aritméticas de 10 números naturais cuja soma resulte em $435$.

Sejam os dez termos da progressão aritmética

$$a,\ a+r,\ a+2r,\ \ldots,\ a+9r,$$

em que $a$ é o primeiro termo e $r$ é a razão.

A soma dos dez termos é dada por

$$S_{10}=\frac{10(a_1+a_{10})}{2}.$$

Como a soma é $435$, temos

$$435=5[a+(a+9r)].$$

Desenvolvendo:

$$435=10a+45r.$$

Dividindo por $5$:

$$87=2a+9r.$$

Isolando $a$:

$$a=\frac{87-9r}{2}.$$

Como $a$ deve ser natural, $r$ precisa ser ímpar. Considerando inicialmente as progressões crescentes, temos $r\geq0$.

Além disso, o primeiro termo deve ser positivo:

$$\frac{87-9r}{2}\geq1.$$

Logo,

$$87-9r\geq2$$$$r\leq\frac{85}{9}.$$

Portanto, os valores possíveis para a razão são

$$r\in\{1,3,5,7\}.$$

Calculando o primeiro termo para cada razão:

Caso 1: $r=1$

$$a=\frac{87-9}{2}=39.$$

A progressão é

$$\boxed{39,40,41,42,43,44,45,46,47,48}.$$

Caso 2: $r=3$

$$a=\frac{87-27}{2}=30.$$

A progressão é

$$\boxed{30,33,36,39,42,45,48,51,54,57}.$$

Caso 3: $r=5$

$$a=\frac{87-45}{2}=21.$$

A progressão é

$$\boxed{21,26,31,36,41,46,51,56,61,66}.$$

Caso 4: $r=7$

$$a=\frac{87-63}{2}=12.$$

A progressão é

$$\boxed{12,19,26,33,40,47,54,61,68,75}.$$

Assim, as quatro progressões crescentes são as apresentadas acima. As progressões decrescentes correspondentes são obtidas invertendo a ordem dos termos.

Se progressões constantes forem consideradas, não há solução, pois a média dos dez termos teria de ser $435/10=43{,}5$, que não é um número natural.

🧩 Exercício 2 ITA 2027 — Prova discursivamédio

Determine todos os valores $x\in\mathbb{R}$ tais que

$$\left|\log_2(2^x+2)\right|>|2x|.$$

1. Simplificar os módulos

Como $2^x>0$, temos

$$2^x+2>2.$$

Como a função logarítmica de base $2$ é crescente,

$$\log_2(2^x+2)>1>0.$$

Logo,

$$\left|\log_2(2^x+2)\right| =\log_2(2^x+2).$$

A desigualdade original torna-se

$$\log_2(2^x+2)>|2x|.$$

Vamos analisar separadamente os casos $x\geq0$ e $x<0$.

2. Caso $x\geq0$

Nesse caso, $|2x|=2x$. Portanto,

$$\log_2(2^x+2)>2x.$$

Elevando ambos os lados como potências de base $2$:

$$2^x+2>2^{2x}.$$

Fazendo $y=2^x$, temos $y\geq1$. Assim,

$$y+2>y^2.$$

Reorganizando e fatorando:

$$y^2-y-2<0$$$$(y-2)(y+1)<0.$$

Como $y\geq1$, a desigualdade implica

$$1\leq y<2.$$

Voltando à variável $x$:

$$1\leq2^x<2.$$

Consequentemente,

$$\boxed{0\leq x<1}.$$

3. Caso $x<0$

Agora, $|2x|=-2x$. A desigualdade fica

$$\log_2(2^x+2)>-2x.$$

Elevando ambos os lados como potências de base $2$:

$$2^x+2>2^{-2x}.$$

Definindo $y=2^x$, temos $0<y<1$. Além disso,

$$2^{-2x}=\frac{1}{y^2}.$$

Logo,

$$y+2>\frac{1}{y^2}.$$

Como $y^2>0$, podemos multiplicar ambos os lados por $y^2$ sem alterar o sentido da desigualdade:

$$y^3+2y^2-1>0.$$

Para fatorar o polinômio, escrevemos

$$y^3+2y^2-1 =(y^3+1)+(2y^2-2).$$

Usando a soma de cubos e colocando o fator comum em evidência:

$$=(y+1)(y^2-y+1)+2(y+1)(y-1).$$

Colocando $y+1$ em evidência:

$$(y+1)(y^2+y-1)>0.$$

Como $y>0$, temos $y+1>0$. Portanto,

$$y^2+y-1>0.$$

Completando o quadrado:

$$y^2+y>\!1$$$$y^2+y+\frac14>\frac54$$$$\left(y+\frac12\right)^2>\frac54.$$

Como $y>0$, temos $y+\frac12>0$. Assim,

$$y+\frac12>\frac{\sqrt5}{2}.$$

Portanto,

$$y>\frac{\sqrt5-1}{2}.$$

Voltando a $y=2^x$:

$$2^x>\frac{\sqrt5-1}{2}.$$

Aplicando o logaritmo de base $2$:

$$x>\log_2\left(\frac{\sqrt5-1}{2}\right).$$

Como estamos no caso $x<0$, obtemos

$$\boxed{ \log_2\left(\frac{\sqrt5-1}{2}\right)<x<0 }.$$

4. Reunir os casos

Para $x\geq0$, encontramos

$$0\leq x<1.$$

Para $x<0$, encontramos

$$\log_2\left(\frac{\sqrt5-1}{2}\right)<x<0.$$

Unindo os dois intervalos:

$$\boxed{ x\in\left( \log_2\left(\frac{\sqrt5-1}{2}\right),\,1 \right) }.$$

🧩 Exercício 3 ITA 2027 — Prova discursivadifícil

Seja $r$ um número real positivo. No plano complexo, considere o polígono cujos vértices são as oito raízes da equação

$$r+iz^8=0.$$

Sabendo que a área desse polígono é $\sqrt{2}$, determine o comprimento de seus lados e o valor de $r$.

1. Determinar as raízes da equação

Partimos da equação

$$r+iz^8=0.$$

Isolando $z^8$:

$$iz^8=-r$$$$z^8=\frac{-r}{i}.$$

Como $\frac{1}{i}=-i$, obtemos

$$\boxed{z^8=ir}.$$

Escrevendo $ir$ na forma trigonométrica:

$$ir=r\left(\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}\right).$$

As oito raízes têm módulo

$$|z|=\sqrt[8]{r}$$

e argumentos dados por

$$\arg(z_k)=\frac{\frac{\pi}{2}+2k\pi}{8}, \qquad k=0,1,\ldots,7.$$

Portanto,

$$\arg(z_k)=\frac{\pi}{16}+\frac{k\pi}{4}.$$

As raízes estão igualmente espaçadas angularmente por $\frac{\pi}{4}$. Logo, elas são os vértices de um octógono regular centrado na origem, cujo raio circunscrito é

$$\boxed{R=\sqrt[8]{r}}.$$

2. Determinar o raio do octógono

A área de um polígono regular de $n$ lados, inscrito em uma circunferência de raio $R$, pode ser calculada dividindo-o em $n$ triângulos isósceles congruentes:

$$A=\frac{nR^2}{2}\sin\left(\frac{2\pi}{n}\right).$$

Para o octógono, $n=8$. Assim,

$$A=4R^2\sin\frac{\pi}{4}.$$

Como $\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$:

$$A=2\sqrt{2}R^2.$$

Sabendo que a área é $\sqrt{2}$:

$$2\sqrt{2}R^2=\sqrt{2}.$$

Dividindo ambos os lados por $2\sqrt{2}$:

$$R^2=\frac12.$$

Como $R>0$:

$$\boxed{R=\frac{1}{\sqrt{2}}}.$$

3. Calcular o comprimento do lado

Seja $\ell$ o comprimento de cada lado do octógono. O ângulo central correspondente a cada lado é

$$\frac{2\pi}{8}=\frac{\pi}{4}.$$

Dividindo o triângulo isósceles formado por dois raios e um lado ao meio, obtemos

$$\frac{\ell}{2}=R\sin\frac{\pi}{8}.$$

Logo,

$$\ell=2R\sin\frac{\pi}{8}.$$

Substituindo $R=\frac{1}{\sqrt{2}}$:

$$\ell=\sqrt{2}\sin\frac{\pi}{8}.$$

Utilizamos a fórmula do seno do ângulo metade:

$$\sin\frac{\pi}{8} =\sqrt{\frac{1-\cos\frac{\pi}{4}}{2}}.$$

Como $\cos\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$:

$$\sin\frac{\pi}{8} =\sqrt{\frac{1-\frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}.$$

Portanto,

$$\ell=\sqrt{2}\sqrt{\frac{1-\frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}.$$

Elevando ao quadrado e simplificando:

$$\ell^2=1-\frac{\sqrt{2}}{2}.$$

Assim, o comprimento do lado é

$$\boxed{\ell=\sqrt{1-\frac{\sqrt{2}}{2}}}.$$

4. Determinar o valor de $r$

Sabemos que o raio circunscrito satisfaz

$$R=\sqrt[8]{r}.$$

Elevando ambos os lados à oitava potência:

$$r=R^8.$$

Como $R=\frac{1}{\sqrt{2}}$:

$$r=\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^8.$$

Logo,

$$r=\left(2^{-\frac12}\right)^8=2^{-4}.$$

Portanto,

$$\boxed{r=\frac{1}{16}}.$$

Resposta final:

O comprimento de cada lado do octógono é

$$\boxed{\ell=\sqrt{1-\frac{\sqrt{2}}{2}}},$$

e o valor do parâmetro é

$$\boxed{r=\frac{1}{16}}.$$

🧩 Exercício 4 ITA 2027 — Prova discursivadifícil

Considere o polinômio

$$p(x)=x^7+3ax^6-x^5-5ax^4+7x^3-7ax^2+9x+a,$$

em que $a$ é um número real. Sabendo que $p(x)$ é divisível pelo polinômio

$$q(x)=x^3-3x-2,$$

determine todas as raízes de $p(x)$.

1. Fatorar o polinômio divisor

Temos

$$q(x)=x^3-3x-2.$$

Testando $x=2$:

$$q(2)=8-6-2=0.$$

Logo, $x-2$ é um fator de $q(x)$. Efetuando a divisão de $q(x)$ por $x-2$, obtemos

$$q(x)=(x-2)(x^2+2x+1).$$

Como

$$x^2+2x+1=(x+1)^2,$$

segue que

$$\boxed{q(x)=(x-2)(x+1)^2}.$$

2. Determinar o valor de $a$

Como $p(x)$ é divisível por $q(x)$, toda raiz de $q(x)$ também é raiz de $p(x)$. Em particular,

$$p(2)=0.$$

Substituindo $x=2$ no polinômio:

$$2^7+3a\cdot2^6-2^5-5a\cdot2^4 +7\cdot2^3-7a\cdot2^2+9\cdot2+a=0.$$

Calculando as potências:

$$128+192a-32-80a+56-28a+18+a=0.$$

Agrupando os termos semelhantes:

$$170+85a=0.$$

Assim,

$$85a=-170$$

e, portanto,

$$\boxed{a=-2}.$$

3. Substituir o valor de $a$

Substituindo $a=-2$ na expressão original:

$$p(x)=x^7-6x^6-x^5+10x^4+7x^3+14x^2+9x-2.$$

Como $p(x)$ é divisível por $q(x)$, podemos dividir o polinômio encontrado por $x^3-3x-2$.

4. Efetuar a divisão polinomial

Dividimos

$$x^7-6x^6-x^5+10x^4+7x^3+14x^2+9x-2$$

por

$$x^3-3x-2.$$

O primeiro termo do quociente é

$$\frac{x^7}{x^3}=x^4.$$

Multiplicando o divisor por $x^4$ e subtraindo do dividendo, obtemos

$$-6x^6+2x^5+12x^4+7x^3+14x^2+9x-2.$$

O próximo termo do quociente é

$$\frac{-6x^6}{x^3}=-6x^3.$$

Multiplicando o divisor por $-6x^3$ e subtraindo, obtemos

$$2x^5-6x^4-5x^3+14x^2+9x-2.$$

O próximo termo é

$$\frac{2x^5}{x^3}=2x^2.$$

Multiplicando o divisor por $2x^2$ e subtraindo, obtemos

$$-6x^4+x^3+18x^2+9x-2.$$

O próximo termo é

$$\frac{-6x^4}{x^3}=-6x.$$

Multiplicando o divisor por $-6x$ e subtraindo, obtemos

$$x^3-3x-2.$$

Por fim, o último termo do quociente é

$$\frac{x^3}{x^3}=1.$$

Subtraindo o divisor multiplicado por $1$, o resto é zero.

Portanto, o quociente é

$$\boxed{x^4-6x^3+2x^2-6x+1}.$$

Assim, a fatoração de $p(x)$ é

$$p(x)=(x^3-3x-2)(x^4-6x^3+2x^2-6x+1).$$

5. Fatorar o polinômio de quarto grau

Já sabemos que

$$x^3-3x-2=(x-2)(x+1)^2.$$

Agora, observamos que o polinômio de quarto grau pode ser fatorado como

$$x^4-6x^3+2x^2-6x+1 =(x^2+1)(x^2-6x+1).$$

De fato, desenvolvendo o produto:

$$(x^2+1)(x^2-6x+1)$$$$=x^4-6x^3+x^2+x^2-6x+1$$$$=x^4-6x^3+2x^2-6x+1.$$

Portanto,

$$p(x)=(x-2)(x+1)^2(x^2+1)(x^2-6x+1).$$

6. Determinar todas as raízes

Igualando cada fator a zero, temos:

• Do fator $x-2=0$:

$$x=2.$$

• Do fator $(x+1)^2=0$:

$$x=-1,$$

que é uma raiz de multiplicidade dois.

• Do fator $x^2+1=0$:

$$x^2=-1$$$$x=\pm i.$$

• Do fator $x^2-6x+1=0$, aplicando a fórmula quadrática:

$$x=\frac{6\pm\sqrt{36-4}}{2}.$$

Logo,

$$x=\frac{6\pm\sqrt{32}}{2}$$

e, simplificando:

$$x=\frac{6\pm4\sqrt2}{2}.$$

Portanto,

$$x=3\pm2\sqrt2.$$

Resposta final

Todas as raízes de $p(x)$ são

$$\boxed{x=2,\quad x=-1,\quad x=\pm i,\quad x=3\pm2\sqrt2}.$$

A raiz $x=-1$ tem multiplicidade dois. O valor do parâmetro é $\boxed{a=-2}$.

🧩 Exercício 5 ITA 2027 — Prova discursivadifícil

Seja $ABC$ um triângulo no plano cartesiano com vértices na elipse de equação

$$2x^2+y^2=6.$$

Sabendo que os vértices $A$ e $B$ têm abscissa $1$ e que o perímetro de $ABC$ é $10$, determine a abscissa do vértice $C$.

1. Determinar as coordenadas dos vértices $A$ e $B$

Como $A$ e $B$ pertencem à elipse e possuem abscissa $1$, substituímos $x=1$ na equação:

$$2x^2+y^2=6.$$

Assim,

$$2(1)^2+y^2=6$$$$y^2=4$$$$y=\pm2.$$

Portanto, podemos tomar

$$A=(1,-2),\qquad B=(1,2).$$

A distância entre esses pontos é

$$AB=2-(-2)=4.$$

2. Utilizar a condição do perímetro

O perímetro do triângulo é $10$:

$$AB+AC+BC=10.$$

Como $AB=4$, segue que

$$AC+BC=6.$$

O conjunto dos pontos cuja soma das distâncias a dois pontos fixos é constante define uma elipse. Portanto, o vértice $C$ pertence à elipse de focos $A=(1,-2)$ e $B=(1,2)$, para a qual

$$AC+BC=6.$$

O centro dessa elipse é o ponto médio de $AB$:

$$O=\left(\frac{1+1}{2},\frac{-2+2}{2}\right)=(1,0).$$

A distância entre os focos é $4$, logo

$$2c=4\Rightarrow c=2.$$

Como a soma das distâncias aos focos é $2a=6$, temos

$$a=3.$$

Pela relação entre os semieixos de uma elipse,

$$b^2=a^2-c^2.$$

Portanto,

$$b^2=9-4=5.$$

Como o eixo maior é vertical, a equação dessa elipse é

$$\boxed{\frac{(x-1)^2}{5}+\frac{y^2}{9}=1}.$$

3. Encontrar a abscissa de $C$

O ponto $C$ pertence tanto à elipse original quanto à elipse de focos $A$ e $B$. Assim, suas coordenadas satisfazem o sistema

$$\begin{cases} 2x^2+y^2=6,\\[4pt] \frac{(x-1)^2}{5}+\frac{y^2}{9}=1. \end{cases}$$

Multiplicando a segunda equação por $45$:

$$9(x-1)^2+5y^2=45.$$

Da primeira equação, temos

$$y^2=6-2x^2.$$

Substituindo na equação anterior:

$$9(x-1)^2+5(6-2x^2)=45.$$

Desenvolvendo:

$$9(x^2-2x+1)+30-10x^2=45.$$$$-x^2-18x-6=0.$$

Multiplicando por $-1$:

$$x^2+18x+6=0.$$

Pela fórmula quadrática:

$$x=\frac{-18\pm\sqrt{18^2-4\cdot1\cdot6}}{2}.$$$$x=\frac{-18\pm\sqrt{300}}{2}.$$

Como $\sqrt{300}=10\sqrt3$, obtemos

$$x=-9\pm5\sqrt3.$$

4. Selecionar a solução válida

Como $C$ pertence à elipse original, sua abscissa deve satisfazer

$$2x^2\leq6,$$

ou seja,

$$|x|\leq\sqrt3.$$

A solução $x=-9-5\sqrt3$ não satisfaz essa condição. A solução válida é

$$\boxed{x=5\sqrt3-9}.$$

Portanto, a abscissa do vértice $C$ é

$$\boxed{5\sqrt3-9}.$$

🧩 Exercício 6 ITA 2027 — Prova discursivadifícil

Determine quantas sêxtuplas ordenadas de números naturais $(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6)$ satisfazem o sistema

$$\begin{cases} x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+3x_6=30,\\ x_1+2x_2+2x_3+2x_4+2x_5+4x_6=52,\\ 2x_1+2x_2+3x_3+3x_4+3x_5+7x_6=76. \end{cases}$$

1. Simplificar o sistema por subtração de equações

Subtraindo a primeira equação da segunda, obtemos

$$x_2+x_3+x_4+x_5+x_6=22.$$

Agora, subtraindo o dobro da primeira equação da terceira, temos

$$x_3+x_4+x_5+x_6=16.$$

Subtraindo a segunda relação obtida da primeira relação, resulta

$$\boxed{x_2=6}.$$

Além disso, da relação

$$x_3+x_4+x_5+x_6=16,$$

segue que

$$\boxed{x_3+x_4+x_5=16-x_6}.$$

2. Determinar $x_1$ em função de $x_6$

Voltando à primeira equação do sistema e substituindo $x_2=6$:

$$x_1+6+x_3+x_4+x_5+3x_6=30.$$

Como $x_3+x_4+x_5=16-x_6$, temos

$$x_1+6+16-x_6+3x_6=30.$$

Simplificando:

$$x_1+2x_6=8.$$

Portanto,

$$\boxed{x_1=8-2x_6}.$$

3. Determinar os valores possíveis de $x_6$

Considerando que os números naturais são positivos, devemos ter

$$x_6\geq1$$

e

$$x_1=8-2x_6\geq1.$$

Assim,

$$8-2x_6\geq1$$$$x_6\leq\frac72.$$

Como $x_6$ é inteiro positivo, os únicos valores possíveis são

$$\boxed{x_6\in\{1,2,3\}}.$$

Para cada um desses valores, basta contar as triplas ordenadas de naturais positivos $(x_3,x_4,x_5)$ cuja soma é $16-x_6$.

4. Contar as triplas para cada valor de $x_6$

Usaremos o método de separadores: o número de soluções inteiras positivas de

$$x_3+x_4+x_5=n$$

é

$$\binom{n-1}{2}.$$

Isso ocorre porque podemos representar $n$ unidades em uma fila e escolher duas das $n-1$ separações internas para dividir as unidades em três grupos não vazios.

• Para $x_6=1$:

$$x_1=8-2=6$$

e

$$x_3+x_4+x_5=15.$$

O número de triplas é

$$\binom{14}{2}=\frac{14\cdot13}{2}=91.$$

• Para $x_6=2$:

$$x_1=8-4=4$$

e

$$x_3+x_4+x_5=14.$$

O número de triplas é

$$\binom{13}{2}=\frac{13\cdot12}{2}=78.$$

• Para $x_6=3$:

$$x_1=8-6=2$$

e

$$x_3+x_4+x_5=13.$$

O número de triplas é

$$\binom{12}{2}=\frac{12\cdot11}{2}=66.$$

5. Somar todas as possibilidades

Como os valores de $x_6$ são distintos, os casos são disjuntos. Portanto, o número total de sêxtuplas ordenadas é

$$N=\binom{14}{2}+\binom{13}{2}+\binom{12}{2}.$$$$N=91+78+66.$$

Logo,

$$\boxed{N=235}.$$

Resposta: existem $\boxed{235}$ sêxtuplas ordenadas, considerando $\mathbb{N}=\{1,2,3,\ldots\}$.

🧩 Exercício 7 ITA 2027 — Prova discursivamédio

Determine todos os valores inteiros $n$ tais que o quociente

$$\frac{2n^3-5n^2-52n+90}{n^2-2n-27}$$

seja um número inteiro.

1. Efetuar a divisão polinomial

Dividindo o numerador pelo denominador, obtemos

$$2n^3-5n^2-52n+90$$

dividido por

$$n^2-2n-27.$$

O primeiro termo do quociente é

$$\frac{2n^3}{n^2}=2n.$$

Multiplicando o divisor por $2n$ e subtraindo:

$$(2n^3-5n^2-52n+90) -(2n^3-4n^2-54n)$$$$=-n^2+2n+90.$$

O próximo termo do quociente é $-1$. Multiplicando o divisor por $-1$ e subtraindo, obtemos o resto:

$$(-n^2+2n+90)-(-n^2+2n+27)=63.$$

Portanto,

$$\frac{2n^3-5n^2-52n+90}{n^2-2n-27} = 2n-1+\frac{63}{n^2-2n-27}.$$

2. Impor a condição de integralidade

Como $n$ é inteiro, $2n-1$ também é inteiro. Assim, o quociente será inteiro se, e somente se,

$$\frac{63}{n^2-2n-27}$$

for inteiro, isto é, se

$$n^2-2n-27$$

for um divisor inteiro não nulo de $63$.

Completando o quadrado:

$$n^2-2n-27=(n-1)^2-28.$$

Como os divisores inteiros de $63$ são

$$\pm1,\ \pm3,\ \pm7,\ \pm9,\ \pm21,\ \pm63,$$

devemos resolver

$$(n-1)^2-28=d,$$

em que $d$ pertence a essa lista.

Logo,

$$(n-1)^2=28+d.$$

Como o lado esquerdo é um quadrado perfeito não negativo, precisamos que $28+d$ seja um quadrado perfeito.

3. Encontrar os quadrados perfeitos possíveis

Testando os divisores de $63$, encontramos:

$d$	$28+d$	Resultado
$-63$	$-35$	Não é quadrado
$-21$	$7$	Não é quadrado
$-9$	$19$	Não é quadrado
$-7$	$21$	Não é quadrado
$-3$	$25$	Quadrado perfeito
$-1$	$27$	Não é quadrado
$1$	$29$	Não é quadrado
$3$	$31$	Não é quadrado
$7$	$35$	Não é quadrado
$9$	$37$	Não é quadrado
$21$	$49$	Quadrado perfeito
$63$	$91$	Não é quadrado

Assim, temos dois casos.

Caso 1: $d=-3$

$$(n-1)^2=25.$$

Portanto,

$$n-1=\pm5,$$

resultando em

$$\boxed{n=-4\quad\text{ou}\quad n=6}.$$

Caso 2: $d=21$

$$(n-1)^2=49.$$

Portanto,

$$n-1=\pm7,$$

resultando em

$$\boxed{n=-6\quad\text{ou}\quad n=8}.$$

4. Verificar o domínio

O denominador original não pode ser zero:

$$n^2-2n-27\neq0.$$

As raízes dessa expressão são $1\pm2\sqrt7$, que não são inteiras. Logo, nenhum dos valores encontrados anula o denominador.

Resposta final

Todos os valores inteiros que satisfazem a condição são

$$\boxed{n\in\{-6,-4,6,8\}}.$$

🧩 Exercício 8 ITA 2027 — Prova Discursivamédio

Considere um retângulo $ABCD$ cujos lados medem $m(\overline{AB})=10$ e $m(\overline{BC})=6$.

Um retângulo $EFGH$ é inscrito em $ABCD$, com $E$ pertencente ao lado $\overline{AB}$ e distinto de $A$ e $B$, e $F$ pertencente ao lado $\overline{BC}$ e distinto de $B$ e $C$.

a) Se $x$ representa a distância do ponto $A$ ao ponto $E$, determine os possíveis valores de $x$.

b) Se a área de $EFGH$ é $30$, determine as medidas de seus lados.

Item (a) — Determinação dos possíveis valores de x

1. Estabelecer um sistema de coordenadas

Vamos posicionar o retângulo $ABCD$ em um sistema cartesiano, adotando:

$$A=(0,0),\quad B=(10,0)$$$$C=(10,6),\quad D=(0,6).$$

Como $E$ pertence ao lado $AB$ e $AE=x$, podemos escrever:

$$E=(x,0).$$

Como $F$ pertence ao lado $BC$, representaremos sua posição por:

$$F=(10,y).$$

2. Determinar as coordenadas de G e H

Como $EFGH$ é um retângulo, seus lados opostos são paralelos e possuem o mesmo comprimento.

Como $G$ pertence ao lado $CD$ e $H$ pertence ao lado $DA$, podemos escrever:

$$G=(10-x,6)$$

e

$$H=(0,6-y).$$

3. Aplicar a condição de perpendicularidade

Em um retângulo, lados consecutivos são perpendiculares. Portanto:

$$\overrightarrow{EF}\cdot\overrightarrow{FG}=0.$$

Calculando os vetores:

$$\overrightarrow{EF}=(10-x,y)$$$$\overrightarrow{FG}=(-x,6-y).$$

Aplicando o produto escalar:

$$(10-x)(-x)+y(6-y)=0.$$

Desenvolvendo:

$$-10x+x^2+6y-y^2=0.$$

Reorganizando:

$$x(10-x)=y(6-y).$$

4. Determinar as condições para x

Completando quadrados na expressão:

$$x(10-x)=y(6-y),$$

obtemos:

$$25-(x-5)^2=9-(y-3)^2.$$

Isolando:

$$(x-5)^2-(y-3)^2=16.$$

Como $y$ representa uma coordenada no interior do lado $BC$, temos:

$$0<y<6.$$

Consequentemente:

$$0\leq (y-3)^2<9.$$

Assim:

$$(x-5)^2=16+(y-3)^2.$$

Portanto:

$$(x-5)^2\geq16.$$

Extraindo a raiz:

$$|x-5|\geq4.$$

Isso implica:

$$x\leq1 \quad\text{ou}\quad x\geq9.$$

Como $E$ é distinto de $A$ e $B$, temos ainda:

$$0<x<10.$$

Logo, os possíveis valores de $x$ são:

$$\boxed{x\in(0,1]\cup[9,10)}.$$

Item (b) — Determinação das medidas dos lados

Sabemos que a área do retângulo $EFGH$ é igual a $30$.

1. Expressar a área em função de x e y

A área do retângulo pode ser calculada pelo módulo do determinante dos vetores consecutivos:

$$A_{EFGH}= \left| \begin{vmatrix} 10-x & y\\ -x & 6-y \end{vmatrix} \right|.$$

Como a área vale $30$:

$$|(10-x)(6-y)+xy|=30.$$

Desenvolvendo:

$$|60-6x-10y+2xy|=30.$$

Podemos reorganizar a expressão:

$$|30+2(x-5)(y-3)|=30.$$

2. Analisar as possibilidades

Da igualdade acima, temos duas possibilidades:

$$30+2(x-5)(y-3)=30$$

ou

$$30+2(x-5)(y-3)=-30.$$

Na primeira possibilidade:

$$2(x-5)(y-3)=0.$$

Logo:

$$(x-5)(y-3)=0.$$

Entretanto, pelo item anterior:

$$x\in(0,1]\cup[9,10).$$

Portanto, $x\neq5$, o que nos leva a:

$$\boxed{y=3}.$$

Na segunda possibilidade:

$$2(x-5)(y-3)=-60.$$

Ou seja:

$$(x-5)(y-3)=-30.$$

Mas, considerando os intervalos de $x$ e $y$:

$$|x-5|<5$$

e

$$|y-3|<3.$$

Assim:

$$|(x-5)(y-3)|<15.$$

Portanto, o produto não pode ser igual a $-30$. Essa possibilidade deve ser descartada.

Concluímos que:

$$\boxed{y=3}.$$

3. Determinar os possíveis valores de x

Retomando a relação obtida no item (a):

$$x(10-x)=y(6-y).$$

Substituindo $y=3$:

$$x(10-x)=3(6-3).$$$$10x-x^2=9.$$

Reorganizando:

$$x^2-10x+9=0.$$

Fatorando:

$$(x-1)(x-9)=0.$$

Portanto:

$$\boxed{x=1\quad\text{ou}\quad x=9}.$$

4. Calcular as medidas dos lados do retângulo

Sabemos que:

$$E=(x,0),\quad F=(10,3)$$

e que:

$$G=(10-x,6),\quad H=(0,3).$$

O comprimento do lado $EF$ é dado por:

$$EF=\sqrt{(10-x)^2+3^2}.$$

Para $x=1$:

$$EF=\sqrt{9^2+3^2}$$$$EF=\sqrt{90}=3\sqrt{10}.$$

O comprimento de $FG$ é:

$$FG=\sqrt{(10-x-10)^2+(6-3)^2}.$$

Para $x=1$:

$$FG=\sqrt{(-1)^2+3^2}$$$$FG=\sqrt{10}.$$

Para $x=9$, as medidas dos lados apenas trocam de posição.

Logo, independentemente da configuração, os lados do retângulo medem:

$$\boxed{\sqrt{10}\quad\text{e}\quad3\sqrt{10}}.$$

Respostas finais

a) Os possíveis valores de $x$ são:

$$\boxed{x\in(0,1]\cup[9,10)}$$

b) As medidas dos lados do retângulo $EFGH$ são:

$$\boxed{\sqrt{10}\quad\text{e}\quad3\sqrt{10}}.$$

🧩 Exercício 9 ITA 2027 — Prova Discursivadifícil

Considere uma pirâmide reta cuja base é um hexágono regular de lado $4$. As faces laterais dessa pirâmide são triângulos isósceles cujo ângulo do vértice superior é $\frac{\pi}{6}$.

Traça-se uma seção plana na pirâmide de modo que essa seção passa pela diagonal maior da base e é paralela a uma das faces laterais. Calcule a área dessa seção.

1. Identificar o formato da seção

Como a seção passa pela diagonal maior $AD$ do hexágono e é paralela à face lateral $VBC$, sua interseção com essa face é o segmento $XY$, paralelo a $BC$.

Pela simetria da pirâmide, a seção $AXYD$ é um trapézio isósceles.

A diagonal maior de um hexágono regular mede o dobro do lado. Como o lado da base mede $4$:

$$AD=2\cdot4.$$

Portanto:

$$\boxed{AD=8}.$$

Para determinar a área do trapézio, precisamos encontrar sua base menor $XY$ e sua altura.

2. Determinar o comprimento da base menor XY

Seja $M$ o ponto médio de $BC$ e $N$ o ponto médio de $XY$.

Como a face $VBC$ é um triângulo isósceles, a mediana $VM$ também é altura e bissetriz do ângulo do vértice.

Além disso, como a seção é paralela à face lateral $VBC$, temos:

$$XY\parallel BC.$$

Como $N$ é o ponto médio de $XY$ e pertence à mediana $VM$, podemos aplicar o teorema da base média no triângulo $VBC$:

$$XY=\frac{BC}{2}.$$

Sabendo que $BC=4$:

$$XY=\frac42.$$

Logo:

$$\boxed{XY=2}.$$

3. Determinar a altura do trapézio

Seja $O$ o centro do hexágono regular e $P$ o ponto médio do lado $EF$.

Pela geometria do hexágono regular, os pontos $M$, $O$ e $P$ são colineares, e $O$ é o ponto médio de $MP$.

Como a seção é paralela à face lateral $VBC$, temos:

$$NO\parallel VP.$$

Observe agora o triângulo $MVP$.

Como $O$ é o ponto médio de $MP$ e $NO$ é paralelo a $VP$, pelo teorema da base média, $N$ é o ponto médio de $MV$ e:

$$NO=\frac{VP}{2}.$$

O segmento $NO$ é perpendicular às bases $AD$ e $XY$ do trapézio, pois $OM$ é perpendicular a $BC$ e $XY\parallel BC$.

Portanto, a altura do trapézio é:

$$\boxed{h=NO=\frac{VP}{2}}.$$

Resta determinar o comprimento de $VP$.

4. Calcular o comprimento de VP

Como $M$ é o ponto médio de $BC$, temos:

$$MB=\frac{BC}{2}=\frac42=2.$$

O ângulo do vértice superior da face $VBC$ mede:

$$\frac{\pi}{6}=30^\circ.$$

Como $VM$ é a bissetriz desse ângulo:

$$\angle BVM=15^\circ.$$

No triângulo retângulo $VMB$, aplicamos a relação da tangente:

$$\tan15^\circ=\frac{MB}{VM}.$$

Substituindo $MB=2$:

$$\tan15^\circ=\frac2{VM}.$$

Isolando $VM$:

$$VM=\frac2{\tan15^\circ}.$$

Utilizando a identidade:

$$\frac1{\tan15^\circ}=\tan75^\circ,$$

obtemos:

$$VM=2\tan75^\circ.$$

Sabemos que:

$$\tan75^\circ=2+\sqrt3.$$

Assim:

$$VM=2(2+\sqrt3).$$

Portanto:

$$\boxed{VM=4+2\sqrt3}.$$

Agora, como a pirâmide é reta, sua altura $VO$ é perpendicular ao plano da base. Como $O$ é o ponto médio de $MP$, os triângulos retângulos $VOM$ e $VOP$ possuem:

• o cateto $VO$ em comum;
• os catetos $OM$ e $OP$ iguais.

Logo, são congruentes e:

$$VP=VM.$$

Consequentemente:

$$\boxed{VP=4+2\sqrt3}.$$

Substituindo na expressão da altura do trapézio:

$$h=\frac{VP}{2}.$$$$h=\frac{4+2\sqrt3}{2}.$$

Portanto:

$$\boxed{h=2+\sqrt3}.$$

5. Calcular a área da seção

A seção é um trapézio cujas bases medem:

$$B=AD=8$$$$b=XY=2$$

e cuja altura é:

$$h=2+\sqrt3.$$

A área de um trapézio é dada por:

$$A=\frac{(B+b)h}{2}.$$

Substituindo:

$$A=\frac{(8+2)(2+\sqrt3)}{2}.$$

Simplificando:

$$A=5(2+\sqrt3).$$

Finalmente:

$$\boxed{A=10+5\sqrt3}.$$

Resposta final:

$$\boxed{10+5\sqrt3\text{ unidades}^2}.$$

🧩 Exercício 10 ITA 2027 — Prova discursivadifícil

Considere a função $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ dada por

$$f(x)=\sqrt{1+\cos(2x)}+\sqrt{1-\cos(2x)}-\operatorname{sen}(x)-\cos(x).$$

Determine todos os números inteiros $k$ tais que a equação $f(x)=k$ possua pelo menos uma solução real $x$ pertencente ao primeiro ou ao terceiro quadrante do círculo trigonométrico.

1. Simplificar a expressão de $f(x)$

Utilizando as identidades trigonométricas

$$1+\cos(2x)=2\cos^2x$$

e

$$1-\cos(2x)=2\operatorname{sen}^2x,$$

obtemos

$$f(x)=\sqrt{2\cos^2x}+\sqrt{2\operatorname{sen}^2x} -\operatorname{sen}x-\cos x.$$

Como $\sqrt{u^2}=|u|$, segue que

$$f(x)=\sqrt2|\cos x|+\sqrt2|\operatorname{sen}x| -\operatorname{sen}x-\cos x.$$

Vamos analisar separadamente os dois quadrantes indicados.

2. Primeiro quadrante

No primeiro quadrante,

$$0<x<\frac{\pi}{2},$$

temos $\operatorname{sen}x>0$ e $\cos x>0$. Portanto,

$$f(x)=(\sqrt2-1)(\operatorname{sen}x+\cos x).$$

Usando a identidade

$$\operatorname{sen}x+\cos x =\sqrt2\operatorname{sen}\left(x+\frac{\pi}{4}\right),$$

obtemos

$$f(x)=(2-\sqrt2)\operatorname{sen}\left(x+\frac{\pi}{4}\right).$$

Como $0<x<\frac{\pi}{2}$, temos

$$\frac{\pi}{4}<x+\frac{\pi}{4}<\frac{3\pi}{4}.$$

Nesse intervalo,

$$\frac{\sqrt2}{2}\leq \operatorname{sen}\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\leq1.$$

Consequentemente,

$$(\sqrt2-1)\sqrt2\leq f(x)\leq2-\sqrt2.$$

Como $\sqrt2-1>0$ e $2-\sqrt2<1$, concluímos que

$$0<f(x)<1.$$

Portanto, não existe valor inteiro de $k$ para o qual $f(x)=k$ tenha solução no primeiro quadrante.

3. Terceiro quadrante

No terceiro quadrante,

$$\pi<x<\frac{3\pi}{2},$$

temos $\operatorname{sen}x<0$ e $\cos x<0$. Assim,

$$f(x)=-(\sqrt2+1)(\operatorname{sen}x+\cos x).$$

Aplicando novamente a identidade trigonométrica,

$$f(x)=-(2+\sqrt2)\operatorname{sen}\left(x+\frac{\pi}{4}\right).$$

Como $\pi<x<\frac{3\pi}{2}$, temos

$$\frac{5\pi}{4}<x+\frac{\pi}{4}<\frac{7\pi}{4}.$$

Nesse intervalo, o seno varia entre $-1$ e $-\frac{\sqrt2}{2}$. Logo,

$$-1\leq \operatorname{sen}\left(x+\frac{\pi}{4}\right) \leq-\frac{\sqrt2}{2}.$$

Multiplicando por $-(2+\sqrt2)$, obtemos

$$1+\sqrt2\leq f(x)\leq2+\sqrt2.$$

Como

$$2<1+\sqrt2$$

e

$$2+\sqrt2<4,$$

segue que

$$2<f(x)<4.$$

Portanto, o único valor inteiro possível é

$$\boxed{k=3}.$$

4. Verificar que $k=3$ é atingido

Para $x=\frac{5\pi}{4}$, que pertence ao terceiro quadrante, temos

$$\operatorname{sen}x=\cos x=-\frac{\sqrt2}{2}.$$

Substituindo na expressão simplificada:

$$f\left(\frac{5\pi}{4}\right) =-(\sqrt2+1)\left(-\sqrt2\right).$$

Assim,

$$f\left(\frac{5\pi}{4}\right)=2+\sqrt2.$$

Esse valor não é inteiro. Para confirmar que $k=3$ é atingido, observamos que a função é contínua no terceiro quadrante e assume valores abaixo e acima de $3$: seu valor tende a $1+\sqrt2<3$ nas extremidades do quadrante e atinge $2+\sqrt2>3$ em $x=\frac{5\pi}{4}$. Pelo teorema do valor intermediário, existe pelo menos um $x$ no terceiro quadrante para o qual $f(x)=3$.

Resposta final

O único número inteiro que satisfaz a condição é

$$\boxed{k=3}.$$