Prova de Física do vestibular do ITA 2027 resolvida.

🧩 Exercício 13 Médio

As interações fundamentais da natureza podem ser interpretadas como sendo mediadas pela troca de partículas. A interação eletromagnética, por exemplo, é mediada pelo fóton, a interação fraca pelos bósons $W^{\pm}$ e $Z^{0}$ e a interação forte por glúons. Dentro do núcleo, prótons e nêutrons interagem via interação forte que, de forma efetiva para esse tipo de sistema, é modelada pela troca de mésons. O píon (ou méson $\pi$) é uma partícula que foi experimentalmente identificada em 1947 por um grupo de pesquisadores do qual fazia parte o brasileiro César Lattes. Seja $m$ a massa de um certo méson cujo alcance característico da interação é $r$. Se essa massa está relacionada apenas com a constante de Planck reduzida $\hbar = h/(2\pi)$, com a velocidade da luz $c$ e com $r$, determine a expressão para $m$ dimensionalmente compatível com essas grandezas.

Análise dimensional

Queremos encontrar a combinação de $\hbar$, $c$ e $r$ que tenha dimensão de massa.

As dimensões fundamentais são:

• $[\hbar] = \mathrm{M L^{2} T^{-1}}$
• $[c] = \mathrm{L T^{-1}}$
• $[r] = \mathrm{L}$

Suponha que

$$m = k\,\hbar^{a}\,c^{b}\,r^{d},$$

onde $k$ é uma constante adimensional. Igualando as dimensões:

$$[\mathrm{M}] = (\mathrm{M L^{2} T^{-1}})^{a}\,(\mathrm{L T^{-1}})^{b}\,(\mathrm{L})^{d}.$$

Expandindo:

$$\mathrm{M}^{1}\,\mathrm{L}^{0}\,\mathrm{T}^{0} = \mathrm{M}^{a}\,\mathrm{L}^{2a+b+d}\,\mathrm{T}^{-a-b}.$$

Obtemos o sistema:

$$\begin{cases} a = 1 \\ -a - b = 0 \\ 2a + b + d = 0 \end{cases}$$

Da primeira equação: $a = 1$.
Da segunda: $-1 - b = 0 \implies b = -1$.
Da terceira: $2(1) + (-1) + d = 0 \implies 1 + d = 0 \implies d = -1$.

Portanto:

$$m \propto \dfrac{\hbar}{c\,r}.$$

A expressão dimensionalmente correta é

$$m = \dfrac{\hbar}{c r}.$$

Resposta

$$\boxed{A) \dfrac{\hbar}{cr}}$$

🧩 Exercício 14 Difícil

Duas esferas homogêneas, em contato entre si, repousam sobre um piso, e a maior também está em contato com um degrau, conforme ilustra a figura. A esfera menor tem massa $m$ e raio $R$, enquanto a maior tem raio $2R$ e está fixa. O coeficiente de atrito estático entre as esferas e entre a esfera menor e o piso é $\mu = \sqrt{2}/8$. Uma força $\vec{F}$, de intensidade aumentada gradativamente, é aplicada horizontalmente na esfera menor a uma altura $3R/2$. Determine a máxima intensidade da força $\vec{F}$ para que a esfera menor ainda permaneça em repouso.

Geometria do problema

A distância entre os centros das esferas é $3R$. O desnível vertical entre os centros é $R$, logo o ângulo $\alpha$ que a linha dos centros faz com a horizontal satisfaz:

$$\sin\alpha = \dfrac{1}{3}, \qquad \cos\alpha = \dfrac{2\sqrt{2}}{3}.$$

A força $\vec{F}$ é aplicada a uma distância $R/2$ acima do centro da esfera menor.

Forças na esfera menor (iminência de escorregamento)

• Peso: $mg$ para baixo.
• Normal do piso: $N_s$ para cima.
• Atrito no piso: $\mu N_s$ para a direita (para produzir torque anti-horário).
• Normal de contato $N$: componentes $N\cos\alpha$ para a esquerda e $N\sin\alpha$ para baixo.
• Atrito de contato: $\mu N$ na direção tangencial (para a esquerda e para cima).

1. Equilíbrio de rotação (em relação ao centro da esfera menor)

O torque de $F$ (horário) é equilibrado pelos torques dos dois atritos (anti-horários):

$$F\cdot\dfrac{R}{2} = \mu N_s\cdot R + \mu N\cdot R$$$$F = 2\mu(N_s + N) = \dfrac{\sqrt{2}}{4}(N_s + N). \tag{1}$$

2. Equilíbrio vertical

$$N_s - mg - N\sin\alpha + \mu N\cos\alpha = 0$$

Como $\mu\cos\alpha = \dfrac{1}{6}$:

$$N_s = mg + N\cdot\dfrac{1}{3} - N\cdot\dfrac{1}{6} = mg + \dfrac{N}{6}. \tag{2}$$

3. Equilíbrio horizontal

Como o atrito no piso aponta para a direita:

$$F + \mu N_s = N\cos\alpha + \mu N\sin\alpha$$$$F = N\left(\cos\alpha + \mu\sin\alpha\right) - \mu N_s.$$

Calculando o coeficiente:

$$\cos\alpha + \mu\sin\alpha = \dfrac{2\sqrt{2}}{3} + \dfrac{\sqrt{2}}{8}\cdot\dfrac{1}{3} = \dfrac{17\sqrt{2}}{24}.$$

Logo:

$$F = N\cdot\dfrac{17\sqrt{2}}{24} - \dfrac{\sqrt{2}}{8}N_s. \tag{3}$$

4. Resolução do sistema

Substituindo (2) em (1):

$$F = \dfrac{\sqrt{2}}{4}mg + \dfrac{7\sqrt{2}}{24}N. \tag{4}$$

Substituindo (2) em (3):

$$F = \dfrac{17\sqrt{2}}{24}N - \dfrac{\sqrt{2}}{8}\left(mg + \dfrac{N}{6}\right)$$$$F = -\dfrac{\sqrt{2}}{8}mg + \dfrac{11\sqrt{2}}{16}N. \tag{5}$$

Igualando (4) e (5):

$$\dfrac{\sqrt{2}}{4}mg + \dfrac{7\sqrt{2}}{24}N = -\dfrac{\sqrt{2}}{8}mg + \dfrac{11\sqrt{2}}{16}N.$$

Dividindo tudo por $\sqrt{2}$:

$$\dfrac{1}{4}mg + \dfrac{7}{24}N = -\dfrac{1}{8}mg + \dfrac{11}{16}N$$$$\left(\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8}\right)mg = \left(\dfrac{11}{16} - \dfrac{7}{24}\right)N$$$$\dfrac{3}{8}mg = \dfrac{19}{48}N$$$$N = \dfrac{18}{19}mg.$$

Substituindo $N$ em (4):

$$F = \dfrac{\sqrt{2}}{4}mg + \dfrac{7\sqrt{2}}{24}\cdot\dfrac{18}{19}mg = \dfrac{\sqrt{2}}{4}mg + \dfrac{21\sqrt{2}}{76}mg$$$$F = \sqrt{2}\,mg\left(\dfrac{19}{76} + \dfrac{21}{76}\right) = \sqrt{2}\,mg\cdot\dfrac{40}{76} = \dfrac{10\sqrt{2}}{19}mg.$$

Resposta final

A máxima intensidade da força $\vec{F}$ para que a esfera menor permaneça em repouso é

$$\boxed{\dfrac{10\sqrt{2}}{19}\,mg}.$$

🧩 Exercício 16 Médio

Em um parque de diversões, uma plataforma horizontal gira em torno de um eixo vertical fixo com velocidade angular constante $\omega$. Sobre a plataforma, a uma distância $R=2,0\,\mathrm{m}$ do eixo, encontra-se um pequeno bloco de massa $m$ em repouso em relação à plataforma. O coeficiente de atrito estático entre o bloco e a plataforma é $\mu_e=0,40$. Um pêndulo simples, de comprimento $\ell=1,0\,\mathrm{m}$, está pendurado em um suporte fixo à plataforma, também a uma distância $R$ do eixo e permanece em equilíbrio em relação à plataforma.

Considerando $g=10\,\mathrm{m/s^2}$ e $\omega$ é aumentada lentamente a partir do repouso, analise as seguintes afirmativas:

I. O bloco começa a deslizar quando $\omega=\sqrt{2}\,\mathrm{rad/s}$.

II. No referencial da plataforma, o pêndulo está em equilíbrio sob a ação do peso, da tração e da força centrífuga, fazendo um ângulo $\alpha$ com a vertical tal que $\mathrm{tg}\,\alpha=\omega^2 R/g$.

III. No referencial do solo, a resultante entre a tração e o peso é não nula, dirigida horizontalmente para o eixo de rotação, fornecendo a força centrípeta da massa pendular.

IV. Quando $\omega=1,0\,\mathrm{rad/s}$, o bloco ainda está em repouso em relação à plataforma, e o ângulo do pêndulo com a vertical é tal que $\mathrm{tg}\,\alpha=0,2$.

Estão corretas apenas as afirmativas

Análise das afirmativas

Afirmativa I

No referencial inercial (ou pelo requisito de força centrípeta), o atrito estático fornece a força centrípeta do bloco:

$$f_{\mathrm{at}} \leq \mu_e mg = 0,40 \cdot m \cdot 10 = 4m.$$

Na iminência de deslizamento:

$$m\omega^2 R = \mu_e mg \implies \omega^2 = \dfrac{\mu_e g}{R} = \dfrac{0,40\cdot 10}{2,0} = 2 \implies \omega = \sqrt{2}\,\mathrm{rad/s}.$$

I é correta.

Afirmativa II

No referencial da plataforma (não inercial), o pêndulo está em equilíbrio sob a ação de três forças: peso ($mg$), tração ($\vec{T}$) e força centrífuga ($m\omega^2 R$, horizontal para fora).

A decomposição das forças fornece:

$$\mathrm{tg}\,\alpha = \dfrac{m\omega^2 r}{mg} = \dfrac{\omega^2 r}{g}, r = l\operatorname{sen}\alpha + R.$$

II é incorreta.

Afirmativa III

No referencial inercial (solo), as únicas forças reais que atuam na massa do pêndulo são o peso e a tração. A resultante dessas duas forças é horizontal e aponta para o eixo de rotação, sendo exatamente a força centrípeta necessária para o movimento circular uniforme da massa pendular.

III é correta.

Afirmativa IV

$$\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{\omega^{2} r}{g} \quad\text{com}\quad r = R + \ell \operatorname{sen}\alpha$$

Quando $\omega = 1\,\mathrm{rad/s}$, não se pode afirmar que $\operatorname{tg}\alpha = 0,2$.

IV é incorreta.

Conclusão

Apenas I e III estão corretas.

$$\boxed{B}$$